资源简介

(共71张PPT)
4.1 相交线
第四章 相交线和平行线　
第1课时 对顶角
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
邻补角
对顶角
知1－讲
感悟新知
知识点
邻补角
1
1. 相交线 有一个公共点的两条直线是相交线，这个公共点叫交点 .
特别提醒：(1) 相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系；(2)两条直线相交有且只有一个交点 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 邻补角是成对出现的，单独一个角不能称为邻补角.
2. 互为邻补角的“两要素”：
(1)有一条边是公共边；
(2)另一边互为反向延长线 .
感悟新知
2. 邻补角 如果两个角既相邻又互补，那么这两个角 互为邻补角 .
3. 邻补角与补角的关系
(1)互为邻补角是互为补角的特殊情况，互为邻补角的两个角除具备两角互补这一数量关系外，还要具备相邻的位置关系；
(2) 一个角的邻补角最多有两个，但一个角的补角可以有多个.
知1－讲
知1－练
感悟新知
如图 4.1-1，直线 AB、 CD、 EF 相交于点 O，请找出图中∠ AOC、∠ EOB 的邻补角 .
例1
知1－练
感悟新知
解：∠ AOC 的邻补角是∠ AOD 和∠ BOC；
∠ EOB 的邻补角是∠ BOF 和∠ AOE.
解题秘方：根据邻补角定义的“两要素”找已知角的邻补角 .
知1－练
感悟新知
1-1.下列选项中∠ 1与 ∠ 2互为邻补角的是( )
D
感悟新知
知2－讲
知识点
对顶角
2
1. 定义 两个角有相同的顶点，并且一个角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角 .
特别提醒： 对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系， 一个角的对顶角只有一个 .
示图 ∠ 1 和∠ 2 互为对顶角
感悟新知
知2－讲
2. 性质 对顶角相等 .
特别提醒： (1)两个角互为对顶角，它们一定相等；
(2)相等的两个角不一定是对顶角.
知2－讲
感悟新知
特别解读
对顶角的位置关系和数量关系：
1. 位置关系：有公共顶点，两边互为反向延长线.
2. 数量关系：对顶角相等.
感悟新知
知2－练
如图 4.1-2， 直线 AE 与 CD 相 交 于 点 O， OC 平 分∠ AOB.
(1)请找出图中∠ 3 的对顶角；
(2)若∠ 3=25°，求∠ 1 的度数 .
例2
知2－练
感悟新知
解题秘方：根据对顶角的位置特征找对顶角；
解： ∠ 3 的对顶角是∠ 2.
(1)请找出图中∠ 3 的对顶角；
知2－练
感悟新知
解题秘方：根据对顶角的数量关系求未知角的度数 .
解：由对顶角相等，得∠ 2= ∠ 3=25° .
因为 OC 平分∠ AOB，所以∠ 1= ∠ 2=25° .
(2)若∠ 3=25°，求∠ 1 的度数 .
知2－练
感悟新知
2-1. [中考· 兰州]如图，直 线 AB 与 CD 相交于点 O，则∠ BOD=( )
A. 40° B. 50°
C. 55° D. 60°
B
对顶角
性质
定义
相交线
定义
性质
邻补角
对顶角
4.1 相交线
第四章 相交线和平行线　
第2课时 垂线
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
垂线
垂线的画法及基本事实
垂线段及点到直线的距离
知1－讲
感悟新知
知识点
垂线
1
1. 定义 当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为直角时，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
●垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系， 是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线.
●垂直的定义具有双重作用： 已知直角得线垂直，已知线垂直得直角.
感悟新知
2. 表示符号 直线 AB、 CD 互相垂直，记作“ AB ⊥ CD”，读作“ AB 垂直于 CD” .
知1－讲
感悟新知
3. 推理格式
如图 4.1-10，因为∠ AOC=90° (已知)，
所以 AB ⊥ CD(垂直的定义) .
反过来：因为 AB ⊥ CD(已知)，
所以∠ AOC=90° (垂直的定义) .
知1－讲
知1－练
感悟新知
如图 4.1-11，直线 AB、 CD 相交于点 O， OE ⊥ AB 于点 O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数 .
例1
知1－练
感悟新知
解：因为 OE ⊥ AB，所以∠ AOE=90° .
又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，
∠ COE=40° ，
所以∠ AOC=90° －40° =50° .
所以∠ BOD= ∠ AOC=50° .
解题秘方：利用垂直的定义求∠ AOE，利用对顶角的性质将要求的角向已知角转化 .
知1－练
感悟新知
1-1. [中考· 北京]如图，点O在直线AB上，OC⊥ OD．若∠ AOC=120°，则∠ BOD 的大小为( )
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
A
知1－练
感悟新知
将一张长方形纸片按如图 4.1-12 所示的方式折叠，使
A' E 和 B' E 在同一条直线上， EF、 EG 为折痕，判断 EF 与 EG 的位置关系 .
例2
知1－练
感悟新知
解题秘方：利用折叠的性质求出两条直线的夹角，根据夹角的度数判断两条直线的位置关系 .
知1－练
感悟新知
解：因为三角形 A' EF 是由三角形AEF 折叠得到的，
四边形 B' EGC' 是由四边形 BEGC 折叠得到的，
所以∠ AEF= ∠ A' EF， ∠ BEG= ∠ B' EG.
所以∠ A' EF= ∠ AEA' ， ∠ A' EG= ∠ A' EB.
所 以 ∠ FEG= ∠ A' EF+ ∠ A' EG= ∠ AEA' +
∠ A' EB= (∠ AEA' + ∠ A' EB) = × 180°=90° .
所以 EF ⊥ EG.
知1－练
感悟新知
2-1.如图，同一平面内的三条直线交于点O， ∠ 1=30°，∠ 2=60°，则AB与CD的关系是( )
A. 平行
B. 垂直
C. 重合
D. 以上均有可能
B
感悟新知
知2－讲
知识点
垂线的画法及基本事实
2
1. 垂线的画法 经过一点(已知直线上或已知直线外)，已知直线的垂线，步骤如下：
感悟新知
知2－讲
步骤 内容 示图
一落 让三角尺的一条直角边落在已 知 直 线 上，使其与已知直线重合 . 过点 P 画直线 l 的垂线
点 P 在直线 l 外 点 P 在直线 l 上
二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点. 三画 沿 此 直 角 边 画 直 线，则这条直线就是已知直线的垂线 .
知2－讲
感悟新知
特别提醒
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线， 垂足不一定在这条线段或射线上，可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上 .
感悟新知
知2－讲
2. 垂线的基本事实 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
特别提醒： 基本事实中的唯一性隐含着两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在已知直线上也可以在已知直线外 .
感悟新知
知2－练
在图 4.1-13 中，分别过点 P 作 AB 的垂线 .
例3
知2－练
感悟新知
解题秘方：利用三角尺和直尺根据画垂线的步骤进行操作 .
解：如图 4.1-14.
知2－练
感悟新知
3-1.已知 直线 AB，CB， l 在同一平面内，若 AB ⊥ l，垂 足 为 B，CB ⊥ l，垂足也 为 B，则 下 列 图 形 中，符合题意的是( )
A
感悟新知
知3－讲
知识点
垂线段及点到直线的距离
3
1. 垂直平分线
我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 .
感悟新知
知3－讲
2. 垂线段
(1) 定义： 过直线外一点画已知直线的垂线，连结这点与垂足的线段，叫做这点到已知直线的垂线段 .
(2)性质： 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短 .
感悟新知
知3－讲
3. 点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的 垂线段的长度，叫做点到直线的距离 .
(1) 垂线段与点到直线的距离的区别： 垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度 .
(2) 点到直线的距离与两点间的距离的区别：
两点间的距离 点到直线的距离
定义 连结两点的线段的长度 . 从 直 线 外 一 点 到 这 条直线的垂线段的长度 .
性质 两点之间，线段最短 . 垂线段最短 .
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段.
2. 联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线与已知直线互相垂直.
知3－练
感悟新知
(1)如图 4.1-15，在三角形 ABC 中，∠ ACB=90°，
CD ⊥ AB， 垂足为 D. 若 AC=4 cm， BC=3 cm， AB= 5 cm， 则点 A 到直线 BC 的距离为_______ cm，点 B 到直线 AC 的距离为_____cm，
点 C 到直线 AB 的距离为_______ cm.
例4
4
3
2.4
知3－练
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义求值、确定范围 .
知3－练
感悟新知
解：根据点到直线的距离的定义可知，
点 A 到直线 BC 的距离是线段 AC 的长，
点 B 到直线 AC 的距离是线段 BC 的长，
点 C 到直线 AB 的距离是线段 CD 的长 .
由题意知 AC=4 cm， BC=3 cm， AB=5 cm.
易知 S 三角形 ABC= AC· BC= AB· CD，
所以 AC· BC=AB· CD，进而可得 CD=2.4 cm.
知3－练
感悟新知
(2)点 P 为直线 m 外一点，点 A、 B、 C 为直线 m 上三点，PA=4 cm， PB=5 cm， PC=2 cm，则点 P 到直线 m 的距离( )
A. 等于 4 cm B. 等于 2 cm
C. 小于 2 cm D. 不大于 2 cm
知3－练
感悟新知
解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度，而垂线段是该点与这条直线上各点的连线中最短的 . 从已知的条件看， PC 是三条线段中最短的，但不一定是所有连线中最短的，所以点 P 到直线 m 的距离应该不大于 2 cm.
答案:D
知3－练
感悟新知
方法点拨：1. 直角三角形中斜边上的高可以通过“面积法” 来求，即两直角边的乘积等于斜边乘斜边上的高 .
2. 求点到直线的距离的关键就是找准垂线段，虽然垂线段最短，但不是在给出的线段中最短的那条就是垂线段 .
知3－练
感悟新知
4-1. [期末· 巴中]如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB=4 m，AC=6 m，则点A到DE的距离可能为( )
A. 6 m B. 5 m
C. 4 m D. 3 m
D
知3－练
感悟新知
4-2.如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶， M、 N是位于公路AB两侧的两所学校，若汽车在公路上行驶时会对学校教学造成影响，试通过画图分别确定出汽车行驶时对M、 N两所学校影响最大的位置.
知3－练
感悟新知
解：如图，C点是汽车行驶时对学校M影响最大的位置，D点是汽车行驶时对学校N影响最大的位置．
垂线
垂线段
性质
垂线
垂线的
基本事实
点到直线
的距离
4.1 相交线
第四章 相交线和平行线　
第3课时
同位角、内错角、同旁内角
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
同位角
内错角
内错角
知1－讲
感悟新知
知识点
同位角
1
1. 定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角 .
特别提醒：
(1) 同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；
(2) 在“三线八角”中，有 4 对同位角 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
●同位角是成对出现的.
●同位角的顶点不是公共的.
●“同”表示“相同”，“位” 表示“位置”“同位角” . 可理解为“相同位置的两个角”，两个同位角的位置关系具有“同上、同左”或“同上、同右”或“同下、同左”或 “同下、同右”的特征.
感悟新知
2. 位置特征
知1－讲
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
同位角 在 截 线 同 侧，在两 条 被 截 直 线 同一方 形 如 字 母“ F”(或倒 置、反 置、旋 转的字母“ F”)
知1－练
感悟新知
如图 4.1-23，∠ 1 和∠ 2 不是同位角的是( )
例1
知1－练
感悟新知
解：A、 B、 C 选项中， ∠ 1 与∠ 2 分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，是同位角，不符合题意；
D 选项中， ∠ 1 与∠ 2 是由四条直线构成的，不是同位角，符合题意．
解题秘方：根据同位角的定义进行识别 .
答案：D
知1－练
感悟新知
1-1.如图，直线a、 b被直线c所截，下列各组角是 同位角的是( )
A.∠ 1与∠ 2
B.∠ 1与∠ 3
C.∠ 2与∠ 3
D.∠ 3与∠ 4
B
感悟新知
知2－讲
知识点
内错角
2
1. 定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角 .
特别提醒：
(1) 内错角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；
(2) 在“三线八角”中，有 2 对内错角 .
知2－讲
感悟新知
特别解读
●内错角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线，另一对边不共线.
●内错角的顶点不是公共的.
●“内”可理解为夹在两直线之间，“错”可理解为交错，即位于第三条直线的两侧.内错角的位置关系具有“同内、异侧”的特征.
感悟新知
知2－讲
2. 位置特征
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
内错角 在 截 线 两 侧，在两 条 被 截 直 线 之间 形 如 字母“ Z”(或倒 置、反 置、旋 转的字母“ Z”)
感悟新知
知2－练
[母题 教材 P178 练习 T2 ]如图 4.1-24，试找出图中与∠ 2 是同位角、内错角的角 .
例2
知2－练
感悟新知
解题秘方：根据同位角及内错角的定义进行识别 .
解：在 AF 和 AG 被 DE 所截的这个基本图形中，可以看出∠ 6 和∠ 2 处于“同一个位置”，因此∠ 2 的同位角为∠ 6.
根据内错角的定义可知∠ 2 和∠ 8 是内错角 .
故∠ 2 的同位角为∠ 6， ∠ 2 的内错角为∠ 8.
知2－练
感悟新知
2-1. [月考· 北京]下列图形中，∠ 1 和∠ 2是内错角的是( )
B
感悟新知
知3－讲
知识点
同旁内角
3
1. 定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在两条直线之间，且它们都在第三条直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角 .
特别提醒：
(1) 同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；
(2) 在“三线八角”中，有 2 对同旁内角 .
感悟新知
知3－讲
2. 位置特征
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
同旁内角 在 截 线 同 旁，在两 条 被 截 直 线 之间 形如字母“ U”(或倒置、反置、旋转)
知3－讲
感悟新知
特别解读
●同旁内角是成对出现的.
●同旁内角的顶点不是公共的.
●“同旁”即在第三条直线的同一旁，“内”表示夹在两直线之间.同旁内角的位置关系具有“同内、同侧”的特征.
知3－练
感悟新知
[母题 教材 P181 习题 A 组 T4 ]如图 4.1-25，∠ B 与图中哪些角是同旁内角？分别指出它们是哪两条直线被哪条直线所截得的同旁内角？
例3
知3－练
感悟新知
解题秘方：先画出∠ B 的两边，然后按照同旁内角的定义找出另一条直线，再确定另一个角 .
解：∠ B 与∠ EAB 是直线 DE、 BC 被直线 AB 所截得的同旁内角； ∠ B 与∠ CAB 是直线 AC、 BC 被直线 AB 所截得的同旁内角； ∠ B 与∠ ACB 是直线 AB、 AC 被直线 BC 所截得的同旁内角 .
知3－练
感悟新知
3-1. [期末· 眉山]如图，在三角形ABC中与∠ A构成同旁内角的角有( )
A. 5个 B. 4个
C. 3个 D.2个
A
同位角、内错角、同旁内角
两直线
内错角
三线八角
同位角
同旁内角
内部
第三条直线
同侧

展开更多......

收起↑