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(共84张PPT)
4.2 平行线
第四章 相交线和平行线　
第1课时 平行线
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平行线的定义及表示方法
平行线的画法
平行线的基本事实及其推论
知1－讲
感悟新知
知识点
平行线的定义及表示方法
1
1. 定义 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 .
特别提醒： 平行线定义的三要素：
(1) 在同一平面内；
(2) 不相交；
(3) 都是直线 .
感悟新知
知1－讲
特别解读
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系：相交和平行.
重合的直线视为一条直线，不属于相交与平行中的任何一种位置关系.
感悟新知
2.表示方法
　　 用“ ∥ ”表 示 平 行，如 图 4.2-1 所 示，两 条 直 线 AB、CD 互 相 平 行 记 作“ AB ∥ CD”或“ CD ∥ AB”，读 作“ AB平行于 CD”或“ CD 平行于 AB” .
知1－讲
知1－练
感悟新知
判断下列说法是否正确，并说明理由：
(1)不相交的两条直线是平行线；
(2)在同一平面内，两条不相交的线段是平行线 .
例1
知1－练
感悟新知
解：(1)不正确 . 理由：根据定义，它缺少了“在同一平面内”这一条件 .
(2)不正确 . 理由：定义中是两条不相交的“直线”，而不是“线段”，线段不相交不代表线段所在的直线不相交 .
解题秘方：根据平行线的定义进行辨析 .
知1－练
感悟新知
1-1.下列说法正确的是( )
A. 两条直线不相交则平行
B. 两条射线不平行则相交
C. 若两条线段平行，则它们不相交
D. 若两条线段不相交，则它们平行
C
感悟新知
知2－讲
知识点
平行线的画法
2
1. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤
一落： 把三角尺的一边落在已知直线上；
二靠： 紧靠三角尺的另一边放一直尺；
三移： 把三角尺沿着直尺移动使原先落在已知直线上的
边经过已知点；
四画： 沿三角尺过已知点的边画直线 . 此直线即为已知直
线的平行线 .
感悟新知
知2－讲
2. 示图(如图 4.2-2)
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.
2. 画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.
3. 借助三角尺画平行线时，必须要保持紧靠，否则画出的直线不平行.
感悟新知
知2－练
[母题 教材 P184 练习 T2 ]读下列语句，并画出图形： AB、 CD是两条直线， P 是直线 AB、 CD 外的一点，直线 EF 经过点 P 与AB 平行，直线 MN 经过点 P 与 CD 垂直 .
例2
解题秘方：按照语句的要求，结合平行线的画法进行作图 .
知2－练
感悟新知
解：当直线 AB、 CD 相交时，如图 4.2-3 ①所示，当直线AB、 CD 平行时，如图 4.2-3 ②所示 (画法不唯一) .
知2－练
感悟新知
2-1.如图，按要求画图．
(1)经过BC上一点P画AB的平行线，交AC于点T；
(2)过点C画MN∥ AB．
解：如图，PT即为所作．
如图，MN即为所作．
感悟新知
知3－讲
知识点
平行线的基本事实及其推论
3
1. 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 .
特 别 提 醒： 平 行 线 基 本 事 实 的 前 提 是“过 直 线 外 一点”，若点在直线上，则不可能有平行线 .
特别解读
“有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性.
感悟新知
知3－讲
2. 平行线基本事实的推论 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 .
简称： 平行于同一条直线的两条直线平行 .
表达方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b.
知3－练
感悟新知
[母题 教材 P184 练习 T3 ]如图 4.2-4，直线 a ∥ b，
b ∥ c， d 与a 相交于点 M.
(1)试判断直线 a、 c 的位置关系，并说明理由；
(2)判断直线 c 与 d 的位置关系，
并说明理由 .
例3
知3－练
感悟新知
解题秘方：根据平行线的基本事实及其推论判定两条直线的位置关系 .
解：因为 a ∥ b， b ∥ c，所以 a ∥ c.
理由：如 果 两 条 直 线 都 和 第 三 条 直 线 平
行，那么这两条直线也互相平行 .
(1)试判断直线 a、 c 的位置关系，并说明理由；
知3－练
感悟新知
解：因为直线 a、 d 都过点 M，且 a ∥ c，
所以 d 与 c 相交 .
理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 .
(2)判断直线 c 与 d 的位置关系，并说明理由 .
知3－练
感悟新知
3-1.下列说法正确的有( )
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③若直线 a ∥ b，a ∥ c， 则 b ⊥ c；
④若直线 a ∥ b，b ∥ c， 则 c ∥ a.
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
D
平行线
画法
平行线的
基本事实
平行线基本
事实的推论
平行线
定义
4.2 平行线
第四章 相交线和平行线　
第2课时 平行线的判定
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平行线的判定方法 1
平行线的判定方法 2
平行线的判定方法 3
过直线外一点作已知直线的平行线
平行线判定方法的推论
知1－讲
感悟新知
知识点
平行线的判定方法 1
1
1. 判定方法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 .
简写成： 同位角相等，两直线平行 .
“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行) . 它构建起了角的大小关系与直线的位置关系的桥梁 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
构成同位角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对同位角相等，这两条被截线才平行.
感悟新知
2. 表达方式 如图 4.2-8.
因为∠ 1= ∠ 2(已知)，
所以 a ∥ b(同位角相等，两直线平行) .
知1－讲
知1－练
感悟新知
[母题 教材 P187 例 3 ]如图 4.2-9，已知直线 AB、 CD 被直线EF 所截，∠ 1+ ∠ 2=180°， AB 与 CD 平行吗？请说明理由 .
例1
知1－练
感悟新知
解：AB ∥ CD. 理由如下：
因为∠ 1+ ∠ 2=180° ，
∠ 2+ ∠ 3=180° ，所以∠ 1= ∠ 3.
所以 AB ∥ CD(同位角相等，两直线平行) .
解题秘方：找出一对同位角，通过已知条件说明这对同位角相等，从而说明两条直线平行 .
知1－练
感悟新知
1-1.木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是( )
A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 以上结论都不正确
A
感悟新知
知2－讲
知识点
平行线的判定方法 2
2
1. 判定方法 2
　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么
这两条直线平行 .
简写成： 内错角相等，两直线平行 .
　　利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角，再说明这两条被截直线平行 .
感悟新知
知2－讲
2. 表达方式 如图 4.2-10.
因为∠ 1= ∠ 2(已知)，
所以 a ∥ b(内错角相等，两直线平行) .
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 构成内错角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对内错角相等，这两条被截线才平行.
2. “内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的.
感悟新知
知2－练
[母题 教材 P186 例 1 ]如图 4.2-11，在三角形 ABC 中，已知∠ ADE=60°， DF 平分∠ ADE，∠ 1=30°，试说明： DF ∥ BE.
例2
知2－练
感悟新知
解题秘方：先找出 DF、 BE 这两条被截线对应的一对内错角，然后利用条件说明这对内错角相等，从而说明这两条被截线平行 .
知2－练
感悟新知
解：因为 DF 平分∠ ADE，
所以∠ EDF= ∠ ADE.
又因为∠ ADE=60° ，所以∠ EDF=30° .
又因为∠ 1=30° ，所以∠ EDF= ∠ 1.
所以 DF ∥ BE(内错角相等，两直线平行) .
知2－练
感悟新知
2-1.如图，在四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，依据“内错角相等，两直线平行” 来判定 AD ∥ BC，可选择的一组内错角是__________．(填一种答案即可)
∠3与∠4
(答案不唯一)
感悟新知
知3－讲
知识点
平行线的判定方法 3
3
1. 判定方法 3
　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那
么这两条直线平行 .
简写成： 同旁内角互补，两直线平行 .
感悟新知
知3－讲
2. 表达方式 如图 4.2-12.
因为∠ 1+ ∠ 2=180° (已知)，
所以 a ∥ b(同旁内角互补，两直线平行) .
知3－讲
感悟新知
方法点拨
用数量关系判定两直线平行的方法：
在“三线八角”中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，只要其中一个结论成立，就可得到两直线平行.
知3－练
感悟新知
[母题 教材 P188 练习 T2 ]如图 4.2-13，直线 AE、 CD 相交于点 O，如果∠ A=110°，∠ 1=70°，就可以说明 AB ∥ CD，这是为什么？
例3
知3－练
感悟新知
解题秘方：找出 AB、 CD 被 AE 所截形成的同旁内角，利用两个角之间的数量关系来说明这两条直线平行 .
解：因为∠ 1= ∠ AOD， ∠ 1=70° ，
所以∠ AOD=70° . 又因为∠ A=110° ，
所以∠ A+ ∠ AOD=180° (等式的性质) .
所以 AB ∥ CD(同旁内角互补，两直线平行) .
知3－练
感悟新知
3-1.如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥ DF的是( )
A. ∠ 1= ∠ 2
B. ∠ 4+ ∠ 2=180°
C. ∠ 2= ∠ 3
D. ∠ A= ∠ 1
A
感悟新知
知4－讲
知识点
过直线外一点作已知直线的平行线
4
过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的平行线的作法(如图 4.2-14)：
(1) 在直线 AB 上取一点 Q，经过点 P 和点 Q，作直线 MN；
(2) 作∠ MPD= ∠ PQB，并使得∠ MPD
与∠ PQB是一对同位角；
(3) 反向延长射线 PD，得到直线 CD，
直线 CD 就是过点 P 所要求作的直线 AB 的平行线 .
感悟新知
知4－练
利用尺规作图：如图 4.2-15，过点 C 作直线 AB 的平行线，并说明理由(不写作法，但保留作图痕迹)．
例4
知4－练
感悟新知
解题秘方：根据平行线的判定，利用已经掌握的做一个角等于已知角得到平行线 .
解：如图 4.2-15 所示， CF 即为所求．
因为∠ DCF= ∠ DEB，
所以 CF ∥ AB．
知4－练
感悟新知
4-1.如图，用尺规作出了 CD ∥ OA，作 图 痕 迹 中，弧 GD是( )
A. 以点 C 为圆心， OE的长为半径的弧
B. 以点 C 为圆心， EF的长为半径的弧
C. 以点G为 圆 心， EF的长为半径的弧
D. 以点G为圆心， OE的长为半径的弧
A
感悟新知
知5－讲
知识点
平行线判定方法的推论
5
1. 推论 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 .
表达方式： 如图 4.2-16，直线 a、 b、c 在同一平面内 .
因为 a ⊥ b， a ⊥ c，所以 b ∥ c.
感悟新知
知5－讲
2. 拓展
a、 b、 c 为同一平面内的三条不重合的直线，有下列结论：
(1) a ⊥ b；(2) a ⊥ c；(3) b ∥ c.
已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立 .
特别解读
三条直线在同一平面内是前提，丢掉这个前提，结论不一定成立.
知5－练
感悟新知
如图 4.2-17， AB ⊥ EF 于 B， CD ⊥ EF 于 D，∠ 1= ∠ 2.
(1)请说明 AB ∥ CD 的理由 .
(2)试问 BM 与 DN 是否平行？为什么？
例5
知5－练
感悟新知
解题秘方：根据平行的几种判定方法的模型，从图中找出符合判定的条件，选用合适的方法进行说明 .
解：∵ AB ⊥ EF， CD ⊥ EF，
∴ AB ∥ CD.
(1)请说明 AB ∥ CD 的理由 .
知5－练
感悟新知
解： BM ∥ DN. 理由如下：
∵ AB ⊥ EF， CD ⊥ EF， ∴∠ ABE= ∠ CDE=90° .
又∵∠ 1= ∠ 2，
∴∠ ABE－ ∠ 1= ∠ CDE－ ∠ 2，即∠ MBE= ∠ NDE.
∴ BM ∥ DN(同位角相等，两直线平行) .
(2)试问 BM 与 DN 是否平行？为什么？
知5－练
感悟新知
5-1.在同一平面内有两两不重合的直线l1、l2 和 l3， l1 ⊥ l2， l2 ⊥ l3，则直线l1与l3的位置关系是( )
A.互相平行
B.互相垂直
C.相交但不垂直
D.无法判断
A
平行线的判定
条件
内错角相等
两直线平行
平行线的判定
同位角相等
同旁内角互补
在同一平面内，
垂直于同一条直线
结论
4.2 平行线
第四章 相交线和平行线　
第3课时 平行线的性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平行线的性质 1
平行线的性质 2
平行线的性质 3
平行移动作图
知1－讲
感悟新知
知识点
平行线的性质1
1
1. 性质 1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 .
简写成： 两直线平行，同位角相等 .
2. 表达方式 如图 4.2-27，因为 a ∥ b(已知)，
所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，同位角相等) .
感悟新知
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆.
感悟新知
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系；
(2)平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
[ 中考·济南 ] 如图 4.2-28，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠ 1=70°，那么∠ 2 的度数是( )
A. 20° B. 25°
C. 30° D. 45°
例1
知1－练
感悟新知
解：如 图 4.2-28， ∵ AB ∥ CD， ∠1= 70° ， ∴∠3=∠ 1=70° ，
∴∠ 2=180° －90°－70° =20° .
解题秘方：利用平行线的性质 1 建立已知角(∠ 1)与待求角(∠ 2)之间的数量关系 .
答案：A
知1－练
感悟新知
方法点拨：利用平行线的性质 1 求角度时，主要看要求的角与已知角是不是已知的平行线被第三条直线所截得的同位角，若是，可直接求出；若不是，还需要通过中间角进行转化 .
知1－练
感悟新知
1-1. [中考· 台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______ .
140°　
感悟新知
知2－讲
知识点
平行线的性质2
2
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .
简写成： 两直线平行，内错角相等 .
感悟新知
知2－讲
2. 表达方式 如图 4.2-29.
图 4.2-29
因为 a ∥ b(已知)，
所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，内错角相等) .
知2－讲
感悟新知
特别警示
并不是所有的内错角都相等，只有在“两直线平行”的前提下，才有内错角相等.
感悟新知
知2－练
[ 中考·张家界 ] 如图 4.2-30，已知直线 AB ∥ CD， EG 平分∠ BEF，∠ 1=40°，则∠ 2 的度数是( )
A.70° B.50°
C.40° D.140°
例2
知2－练
感悟新知
解题秘方：由平角的定义得到∠ BEF 的度数，再由角平分线的定义可得∠ BEG 的度数，最后利用两直线平行，内错角相等即可求解．
知2－练
感悟新知
解：∵∠ 1=40° ，
∴∠ BEF=180° － ∠ 1=180° － 40° =140° ，
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG= ∠ BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
感悟新知
2-1. [中 考· 烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图 所 示，已 知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为 ______.
78°
感悟新知
知3－讲
知识点
平行线的性质3
3
1. 性质 3 两条平行直线被第三条直线所截， 同旁内角互补 .
简写成： 两直线平行，同旁内角互补 .
感悟新知
知3－讲
2. 表达方式 如图 4.2-31.
图 4.2-31
因为 a ∥ b(已知)，
所以∠ 1+ ∠ 2=180° (两直线平行，同旁内角互补) .
知3－讲
感悟新知
特别警示
当两直线平行时，同旁内角是互补的关系而不是相等的关系.
知3－练
感悟新知
[ 中考·重庆 A 卷 ] 如图 4.2-32， AB ∥ CD， AD ⊥ AC，若∠ 1=55°，则∠ 2 的度数为( )
A.35° B.45°
C.50° D.55°
例3
知3－练
感悟新知
解题秘方：根据∠ 1 的度数和平行线的性质 3，可以求得∠ BAC 的度数，然后根据 AD ⊥ AC，即可得到∠ 2 的度数 .
解：∵ AB ∥ CD， ∴∠ BAC+ ∠ 1=180° .
又∵∠ 1=55° ， ∴∠ BAC=125° .
∵ AD ⊥ AC， ∴∠ CAD=90° .
∴∠ 2= ∠ BAC － ∠ CAD=35° .
答案：A
知3－练
感悟新知
3-1. [中考· 陕西]如图， l∥ AB，∠ A=2∠ B. 若∠ 1=108° ，则∠ 2的度数为( )
A.36° B.46°
C.72° D.82°
A
感悟新知
知4－讲
知识点
平行移动作图
4
平行移动作图的一般步骤
平行移动作图可以得到许多美丽的图案，在具体作图
时，应抓住作图的“四个步骤”——定、找、移、连 .
(1) 定： 确定平行移动的方向和距离；
(2)找： 找出表示图形的关键点(如图形的顶点、拐点等)；
(3) 移： 以关键点为起点作与移动方向平行且与移动距离相等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
感悟新知
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
感悟新知
知4－练
如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为1 个单位长度)上的小船向右平行移动 6 个单位长度，再向上平行移动 3 个单位长度，请在方格纸上画出小船平行移动后的图形 .
例4
知4－练
感悟新知
解题秘方：将图形中的关键点按照指定的方向和距离平行移动得到对应点，再按原图形的顺序依次连结对应点 .
知4－练
感悟新知
解：如图 4.2-34，找到小船的 7 个关键点，并依次标上字母 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G.
把点 A 向右平行移动 6 个单位长度，
知4－练
感悟新知
到达点 A 1，然后把点 A 1 向上平行移动 3 个单位长度，到达点A' ，用同样的方法分别将小船的其他关键点 B、 C、 D、 E、 F、G 平行移动得到对应点 B' 、 C' 、 D' 、 E' 、 F' 、 G' ，顺次连结对应点即可得到平行移动后的图形 .
知4－练
感悟新知
4-1.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平行移动，使点A移动到点A′ ，点B、 C的对应点分别是点B′、 C′ .
(1) 画出平行移动后的三角形A′ B′ C′；
解：如图，三角形A′B′C′即为所求．
知4－练
感悟新知
(2)请连结AA′、 CC′ , 则这两条线段的关系是_________ .
如图．　
平行且相等
平行线的性质
条件
内错角相等
平行线的性质
同位角相等
同旁内角互补
结论
两直线
平行

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