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2024-2025学年海南省定安县高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列，其中，，则( )
A. B. C. D.
2.已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为( )
A. B. C. D.
3.设随机变量，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在处有极值，则( )
A. B. C. D.
5.记事件为“抛一枚硬币正面向上”，事件为“掷一颗骰子点数为”，则条件概率为( )
A. B. C. D.
6.用，，，，，可以组成无重复数字的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知的展开式中第项的系数为，则实数( )
A. B. C. D.
8.是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的公比为，，，则( )
A. B.
C. D. 数列是公比为的等比数列
10.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数在区间上单调递减
B.
C. 函数在处取极大值
D. 函数在区间内有两个极小值点
11.若，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ______．
13.已知、的取值如表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中数据的值为______．
14.年春节，电影哪吒之魔童闹海大卖，使得哪吒成为网络最新顶流某公司以哪吒为原型设计了小型钥匙扣，其质量服从正态分布单位：，现抽取个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为______结果四舍五入保留整数
参考数据：若，则，，．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
有名男生、名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数算出具体数字
排成前后两排，前排人，后排人；
全体排成一排，女生必须站在一起；
全体排成一排，男生互不相邻；
全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边．
16.本小题分
已知数列的首项，且满足
求证：数列为等比数列；求数列的通项公式；
记，求数列的前项的和．
17.本小题分
已知函数为实常数．
当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；
讨论函数的单调性．
18.本小题分
为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如表：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数
不是每天都整理数学错题人数
合计
计算，的值，并判断是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望．
附：．
19.本小题分
为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入图是该公司年至年的年份代码和年研发投入单位：亿元的散点图，其中年份代码分别对应年份．
根据散点图，分别用模型，作为年研发投入单位：亿元关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图所示的残差图结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中，．
根据残差图，判断模型和模型哪一个更适宜作为年研发投入单位：亿元关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由；
根据中所选模型，求出关于的经验回归方程；
设该科技公司的年利润单位：亿元和年研发投入单位：亿元满足且，问该科技公司哪一年的年利润最大？
附：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题意，先在人中选出人，排在前排，有种排法，剩下人，排在后排，有种排法，
则有种排法；
根据题意，分步进行分析：
将名女生看成一个整体，有种排法，
将这个整体与名男生全排列，有种排法，
则有种排法；
根据题意，分步进行分析：
先将名女生全排列，有种排法，
排好后有个空位，在个空位中任选个，安排名男生，有种排法，
则有种排法；
根据题意，分种情况讨论：
甲不排在最右边，则乙有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其他个位置，
此时有种排法；
甲排在最右边，则乙有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其他个位置，
此时有种排法；
则一共有种不同的排法．
16.证明：由，得，
又，
所以是以为首项，以为公比的等比数列；
解：由知，，
所以，
则，
可得
．
17.当时，函数，那么导函数，
根据导函数，得，根据导函数，得，
所以在上递增，在上递减，
所以在上递增，在上递减，
因此当时，函数有最小值为，
由于，，因此当时，函数有最大值；
根据函数，得导函数，
当时，导函数在上恒成立，因此函数在上递增，
当时，由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增．
18.根据题意可得，，
零假设为：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”；
不是每天都整理数学错题的学生有人，其中数学成绩总评优秀人数为，
的所有可能值为，，，，
又，，，，
所以的分布列为：
所以．
19.解：根据图可知，模型的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型的残差波动性很小，基本分布在的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型更适宜．
设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为
由题设可得，
当取对称轴即，即时，年利润有最大值，
故该公司年的年利润最大．
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