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2024-2025 学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知正项等比数列{ }， 2 4 = 16，则 3 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
2.已知 与 之间的一组数据：
1 2 3 4
5.5 4 3.5 3

若 与 满足回归方程 = + 5，则 =( )
A. 2 B. 45 5 C.
2 D. 45 5
3.在正方体 ′ ′ ′ ′中， 为底面 的中心，则直线 ′ 与 ′ ′所成的角为( )
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
4.小明在注册某账号的密码时，想在 1，2，3， ， 中组成无重复的五位字符的密码，要求 与 相邻，则
可以设置不同的密码的个数为( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
5.已知圆锥的表面积为 12 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为( )
A. 4 B. 4 33 C. 8 D.
8 3
3
6.已知曲线 ( ) = ( + 1)3在点(1,8)处的切线与直线 = 平行，则 =( )
A. 8 B. 12 C. 13 D. 14
7.已知四棱锥 ，底面 是边长为 2 的菱形，∠ = 60°， ⊥ ， 与底面 所成角
为 60°， = 2，则 到平面 的距离是( )
A. 12 B. 1 C.
3
2 D.
3
2
8.袋子 中有 2 张 10 元纸币和 4 张 1 元纸币，袋子 中有 6 张 5 元纸币.现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出
几点就从两个袋子中各取出几张纸币，则从 中取出的纸币的面值之和大于从 中取出的纸币的面值之和的
概率为( )
A. 7 B. 23 C. 3 D. 2930 90 10 90
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设某车床生产的零件长度为随机变量 ， ～ (5,1)，则下列说法正确的是( )
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A. ( + 3) = 8 B. (3 + 1) = 4
C. (2 ≤ ≤ 8) = 1 2 ( > 8) D. (6 ≤ ≤ 7) < (4 ≤ ≤ 5)
10.等差数列{ }的前 项和为 ， 3 = 1， 4 = 8，则下列说法正确的是( )
A. 5 = 3 B.数列{ 2 1}的第 10 项为 13
C. 1 数列{ }的前 项和 +1 25 10
D. 的最大值为 8
11.已知棱长为 3 的正方体 1 1 1 1，动点 满足 = 2 ，下列结论正确的是( )
A.正方体棱上满足条件的 的个数为 3
B.正方体棱上满足条件的 所在的平面去截正方体，截面面积为 2 3
C. 1正方体棱上满足条件的 所在的平面去截正方体，被截去较小部分的体积为2
D.点 到正方体各顶点距离的最大值为 2 + 34
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.(2 + 1 5 ) 的展开式中，
3的系数是______(用数学填写答案)．
13.已知 ∈ [1,2]， + + 2 ≤ 0 恒成立，则 的取值范围是______．
14.在一个数字转换程序中， 1， 2分别输入正整数 ， ，经该转换程序处理后输出的数值为 ( , )，该
程序运行满足以下 3 个条件：
① (1,1) = 1；② ( + 1,1) = 4 ( , 1) + 3；③ ( , + 1) = ( , ) + 3．
若 2输入 2025，且输出的数值为 6103，则 1输入的正整数为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ( + 2) ．
(1)求 ( )的单调区间及最值；
(2)设 ( ) = ( ) ，讨论 ( )在区间[ 1,1]上的零点个数．
16.(本小题 15 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 4 = 4 2, 2 +1 = 2 + 3( ∈ )，等比数列{ }的前 项和为 ，且
+1 = + 2( ∈ )．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
(2)令 = ，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在正方体 ′ ′ ′ ′中， ， 分别是棱 ， 上的动点．
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(1)设 ， 分别为 、 的中点.证明： //平面 ′ ′；
(2)设 = ．
( )证明： ′ ⊥ ′ ；
( )当三棱锥 ′ 的体积取得最大值时，求平面 ′ 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查 200 名市民，得到如下数据：
单位：人
商场购物意愿
性别 合计
喜欢在商场购物不喜欢商场购物
男性 60 30 90
女性 90 20 110
合计 150 50 200
(1)根据小概率值 = 0.050 的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联．
(2)采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中
男性人数 的分布列和期望．
(3)某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有 1 个红球、1 个白球、4 个黄球的不透明盒子中，依
次有放回随机地摸取 1 个球.规则如下：每摸中 1 次红球，奖励 10 元购物券；当消费者摸中红球的个数比
黄球个数多 1 时，抽奖结束，否则抽奖继续.记甲在 次摸球后抽奖结束且获奖 30 元购物券的概率为 ( )，
求当 ( )取最大值时 的值．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + ) , = + + + ．
临界值表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
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19.(本小题 17 分)
已知 ( ) = + + ( ∈ )．
(1)若 ( )为偶函数，求 的值；
(2)若 ( )在区间(0, )内有两个不同的极值点 1， 2，求证： 1 + 2 > ；
(3)当 = 2 时，定义复数 = ( ) + ′( )， ∈ ， 为虚数单位，记

= =1 ，求证：对任意 ∈
，
( +1)
复数 的模均满足| | < 10 + 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.80
13.( ∞, 2]
14.3
15.(1)导函数 ′( ) = + ( + 2) = ( + 3) ，令 ′( ) = 0，解得 = 3．
当 > 3 时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
当 < 3 时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
1
因此当 = 3 时，函数 ( )取最小值为 ( 3) = 3， ( )没有最大值．
因此函数 ( )单调递增区间为( 3, + ∞)，单调递减区间为( ∞, 3)，
且 ( ) 1没有最大值，最小值为 ( 3) = 3．
(2) ( ) = ( ) ，由(1)，可知 ( )在[ 1,1]上递增，而 ( 1) = 1 ， (1) = 3 ．
根据 的不同取值，分情况讨论：
< 1①当 时，对于 ∈ [ 1,1]，由于 ( ) ≥ ( 1) =
1
> ，则 ( ) > 0 恒成立，故 ( )没有零点．
②当 > 3 时，由 ( ) ≤ (1) = 3 < ，即 ( ) < 0 恒成立，故 ( )没有零点；
1
③当 ≤ ≤ 3 时，由 ( )的单调性，可知存在唯一 ∈ [ 1,1]，使 ( ) = 0，
故 ( )有唯一零点 = ．
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综上，当 ∈ ( ∞, 1 ) ∪ (3 , + ∞)时， ( )在[ 1,1]上没有零点；
当 ∈ [ 1 , 3 ]时， ( )在[ 1,1]上有 1 个零点．
16.(1)由等差数列{ }的前 项和为 ，且 4 = 4 2, 2 +1 = 2 + 3( ∈ )，
4 + 6 = 4(2 + ) = 2 = + 2 = 2 + 3 = 2 3 = 1可得 1 1 ，即 1，又 3 1 1 ，即 ，解得 11 = 2 ．
所以 = 1 + ( 1) × 2 = 2 1．
在等比数列{ }中，当 ≥ 2 时，由 +1 = + 2( ∈ )，可得 = 1 + 2，
相减可得 +1
+1
= ( + 2) ( 1 + 2) = ，得 = 2，
当 = 1 时，2 1 = 1 + 2，解得 1 = 2， = 2，
所以 = 2 ．
(2)因为 = = (2 1)2 ，
所以 = 1 × 2 + 3 × 22 + 5 × 23 + + (2 1) × 2 ，①
2 = 1 × 22 + 3 × 23 + 5 × 24 + + (2 1) × 2 +1，②
① ②得 = 2 + 2 × 22 + 2 × 23 + + 2 × 2 (2 1) × 2 +1
23 2×2 +1= 2 + 1 2 (2 1) × 2
+1 = (3 2 )2 +1 6，
解得 +1 = (2 3)2 + 6，
所以 = (2 3)2 +1 + 6．
17.(1)证明：如图，以 为坐标原点， ， ， ′所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 ， ， 分别是棱 ， 的中点，
则 ′(0,0, )， ′( , , )， (0, 12 , 0)， (
1
2 , , 0)，
所以 ′ ′ = ( , , 0)， = (
1 , 12 2 , 0)，
则 ′ ′ = 2 ，所以 ′ ′// ，
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又 平面 ′ ′， ′ ′ 平面 ′ ′，
所以 / /平面 ′ ′．
(2)(ⅰ)证明：设 = = ，则 (0, ,0)， ( , , 0)，
所以 ′ = ( , , )， ′ = ( , , )， ′ ′ = ( )( ) + 2 = 0，
所以 ′ ⊥ ′ ．
(ⅱ) 1在正方体 ′ ′ ′ ′中， ′ = 3 △ ′，
若三棱锥 ′ 的体积取得最大值，
则 △ 取得最大值，又 = = ．
1
2
△ = 2 =
1
2 ( ) ≤
1
2 (
+ )2 = ，2 8

当且仅当 = 时，即 = 2时取等号，即 ， 分别是棱 ， 上中点，
由 1′( , 0, )， (0, 2 , 0)， (
1
2 , , 0)，
得 ′ = ( , 1
1 1
2 , )，
= ( 2 , 2 , 0)，
平面 的法向量为 = (0,0,1)，
设平面 ′ 的法向量为 = ( , , )，
⊥ ′ ′
1
= 0 + = 0则 ，则 ，即 21 1 ，
⊥ = 0 2 + 2 = 0
令 = 1， = 1， = 32，
则 = (1, 1, 32 )，| | =
17，| | = 1．
2
设平面 ′ 与平面 夹角为 ，
3
则 =
| | 2 3 17
| || | = 17 =×1 17
，
2
所以平面 ′ 与平面 夹角的余弦值为3 17．17
18.(1)假设零假设 0：性别与商场购物意愿无关，
200×(60×20 30×90)2 200
将题干数据代入公式可以得到： 2 = 90×110×150×50 = 33 ≈ 6.061 > 3.841，
所以根据小概率值 = 0.050 的独立性检验，推断性别与商场购物意愿有关；
(2)因为调查数据中男性人数：女性人数= 2：3，
所以抽取的 5 人中 2 人是男性，3 人是女性，
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所以随机变量 的可能取值为 0，1，2，
2 1 1 2
( = 0) = 3 = 32 10， ( = 1) =
3× 2 = 32 5， ( = 2) =
2 1
2
= ，
5 5 5 10
所以 的分布列如下：
0 1 2
3 3 1
10 5 10
3 3 1 4
将表格数据代入期望公式可以得到： ( ) = 0 × 10 + 1 × 5+ 2 × 10 = 5；
(3)由题干信息易知，甲共抽中 3 次红球，并且第 次摸到红球，前 1 次抽到 2 次黄球、2 次红球，
且是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有 4 1种，
1 2 1 2 1则“ 次摸球后抽奖结束且甲获奖 30 元购物券”的概率 ( ) = 2 4 ( )3( )2( ) 5 = 2 4 ( )2( ) 2 1 6 3 6 1 3 6 ，
( ≥ 5)，
于是 ( + 1) ( ) = 2 4( 2 )2( 1 ) 1 2 4 2 2 1 2 ( 1)! 1 2 2 2 24 5 3 6 1 ( 3 ) ( 6 ) = 4!( 5)! × ( 6 ) × ( 3 ) × 3( 4)，
因为 ≥ 5，所以上式小于 0，故 ( + 1) < ( )，
即 ( )单调递减，则当 = 5 时， ( )取最大值．
19.(1)易知函数 ( )的定义域为 ，关于原点对称．
由 ( )为偶函数，可得 ( ) = ( )，
即 + = + + ，
可得 2 = 0，故 = 0．
(2)证明：由题意， ′( ) = + ，
若 ( )在区间(0, )内有两个不同的极值点 1， 2，
则 1， 2满足 + = 0， = 1，2．

若 1， 2有一者为2，

不妨设 1 = ，则 22
2 + 2 = 2
2 ≠ 0，矛盾，则 1， 2均不为2，
1 1 2 2
那么 = = 1
．
2

令 ( ) = ∈ (0, ， 2 ) ∪ (

2 , )，
则 ( 1) = ( 2)，

且 ′( ) = ( + ) +( ) cos2
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则当 ∈ (0, )时， > 0， > 0 且 > 2 > 0，
则 ′( ) > 0，故 ( )在(0, 2 )上递增．
由于 1， 2不相等，则 1， 2 (0, 2 )，故 1， 2 ∈ ( 2 , )，从而 1 + 2 > ．
(3)证明：当 = 2 时， = + + [ + 2 ( 1) ]．
记 = + ， = + 2 ( 1) ，
= = + =
(1 ) (1 )
则 =1 =1 =1 ，于是 =1 1 + 1 ，

且 = ( =1 =1 ) + 2

=1 ( 1)
= (1 ) (1 ) 1 1 + ( 1) 1，

因此 = (1 + ) (1 ) + (1 ) (1 ) + [( 1) 1 1 1]
( +1)
= (1 + ) 1 + (1 )
1
1 + [( 1)
1]．
由| 1 + 2| ≤ | 1| + | 2|，
( +1)
可得| | ≤ |(1 + ) 1 1 | + |(1 ) 1 | + 2
( +1) = 2
( +1)
1 + 2
1
1 + 2 = 2

1 + 2 2．
( +1)
因 1 > 2．53 1 = 14.625 > 10 2且 2 2 < 1 ，则| | < 10 + 1．
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