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2024-2025 学年四川省宜宾市高县中学高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = ，集合 = { | 1 ≤ ≤ 1}， = { 2, 1,0,1,2}，则( ) ∩ =( )
A. {2} B. { 2,2} C. { 1,0,1} D. {0,1,2}
2.已知函数 ( ) = 2 ′(0) ，则 ′(0) =( )
A. 12 B. 1 C. 0 D. 2
3.已知 ：| 1| ≤ 2， ： 2 2 3 < 0，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知正六棱锥 底边 = 2，体积为 6 3，则该正六棱锥的表面积为( )
A. 12 3 B. 18 3 C. 12 + 6 3 D. 6 3 + 6 13
5.已知连续型随机变量 服从正态分布 (1,4)，记函数 ( ) = ( ≤ )，则 ( )的图象( )
A.关于直线 = 2 对称 B.关于直线 = 4 对称
C. (1, 1关于点 2 )成中心对称 D.关于点(1,2)成中心对称
6.衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第 (1 ≤ ≤ 5, ∈ )天进店消费的人数为
[ 5

，且 与 2 ]([ ]表示不大于 的最大整数)成正比，第 1 天有 15 人进店消费，则第 2 天进店消费的人数为( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
2 2
7.已知 ， ， > 0 > +4 + ，且 ，则2 +8 ( )的最小值为( )
A. 12 B.
3
4 C. 1 D.
3
2
8.过点 ( 1,0)向曲线 ： 2 2 + 2 2 = 0( 为正整数)引斜率为 ( > 0)的切线 ，切点为 ( , )，
则下列结论不正确的是( )
A. = B. = 4 +2 +1
C. 2025
2
=1 = 2026 D.

数列{ }的前 项和为 = 2 2 +
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.已知随机变量 ～ (6, 2 )，则( )
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A. ( ) = 3
B. ( + 1) = 52
C.函数 ( ) = 2 + ( 3 ) (0, + ∞) 7在 上单调递增的概率为64
D. 21函数 ( ) = 2 + 2 3 + 有零点的概率为32
10.已知△ 1的面积为4，若 2 + 2 + 2 = 2， =
1
4，则( )
A. = sin2 + sin2 B. = 2
C. + = 62 D.
2 + 2 = 3
11.设 ( )是定义域为 的奇函数，且 = (2 + 2 ) 的图象关于直线 = 2对称，若 0 < ≤ 时， ( ) =
( ) ，则下列说法正确的是( )
A. ( + 2 )为偶函数 B. ( )在( ,

2 )上单调递减
C. 2025 =1 ( ) = 1
D. ( )在区间[0,2025 ]上有 3543 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人参加一项创新大赛，要求选出的 3 人中必须有女生，且男生中的甲
和女生中的乙至少要有 1 人在内，则有______种不同选法(用数字作答)．
13.已知△ 的面积为 ，且∠ ，∠ ，∠ 所对的边记为 ， ， ，满足 4 2 = 2 + 2，则 2的最大值为______．
14
2 2
.设双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 在曲线 上，| 1| = 13，| 2| =
7, cos∠ 1 2 =
11
13，则 的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 是△ 的内心，若 = 2， 3 = ．
(1)求角 ；
(2)延长 交 于点 = 2 3，若 3 ，求△ 的周长．
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16.(本小题 15 分)
根据历史资料显示，某种疾病的自然痊愈率为 20%.为深入研究该种疾病的痊愈情况与患者身体素质指标的
关系，研究人员收集了部分患者的数据，其中 8 名患者的身体素质综合评分 (满分 100 分)和痊愈所需时间
(天)的数据如表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
40 50 60 70 80 90 30 20
30 25 20 15 10 8 36 40
(1)根据表中数据，得到痊愈所需时间和身体素质综合评分近似为线性相关关系，建立 关于 的一元线性回

归模型( 的计算结果精确到小数点后 2 位)；
(2)根据(1)所求的经验回归方程，计算 2 号患者痊愈时间的残差；
(3)某药企针对该疾病研发了一种新药，认为该药可将治愈率提高到 80%.医院为检验其疗效，把此药给 6
个病人服用，试验方案为：若这 6 个病人中至少有 3 人痊愈，则认为这种药有效；否则认为这种药无效.求
经此试验认定该药无效的概率 ，并根据 值的大小解释试验方案是否合理．



附：对于一组数据( 1, 1)，( 2, 2)， ，( , )，其回归直线方程 = + 的斜率和截距的最小二乘法


( )( )
估计公式分别为 = =1 = =1
2 2
， = ．
=1 =1 ( )2
17.(本小题 15 分)
1
已知三次函数 ( ) = 3
3 + 12 (2 1)
2 2 12．
(1)当 = 3 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论 = ( )的单调性．
18.(本小题 17 分)
如图 1，菱形 的边长为 2，∠ = 60°，将△ 沿 折起至△ (如图 2)，且点 为 的中点．
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(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若 = 9，求平面 与平面 夹角的余弦值．
19.(本小题 17 分)
2 2
①离心率为 2 ；②经过点 ( 3, 2 )；③| 1| = 3，请在上述三个条件中选择一个作为已知条件，回答
下列问题．
2 2
已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1， 2，且椭圆经过点 ( 2, 1)，_____．
(1)求椭圆的方程；
(2)过 的斜率为 ( ≠ 0)的直线 与椭圆交于点 (异于点 )，过 1与直线 垂直的直线交椭圆于点 ， ，记
中点为 ( 1, 1)，记 的中点为 ( 2, 2)

，求满足 1
2 2 +1
=2 2
的直线 的斜率 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.22
13. 77
14.43
15.(1)由正弦定理及 3 = 得， 3 = ，
因为 ≠ 0，所以 3 = ，即 = 3，
而 ∈ (0, ) ，所以 = 3．
(2)因为点 是△ 的内心，
所以 是∠ 的平分线，即∠ = ∠ = 6，
因为 △ = △ + △ ，
1 1 1
所以2 ∠ = 2 ∠ + 2 ∠ ，
即 32 =
2 3 1
3 2+
2 3 1，3 2
整理得 3 = 2( + )①，
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由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
所以 4 = 2 + 2 = ( + )2 3 ②，
由①②得 4 = ( + )2 2( + )，
解得 + = 1 ± 5，
因为 + > 0，所以 + = 1 + 5，
所以△ 的周长为 + + = 2 + 1 + 5 = 3 + 5．
16. (1) = 1由题意可知， 8 (40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 30 + 20) = 55，

= 18 (30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 8 + 36 + 40) = 23，
8 =1 = 40 × 30 + 50 × 25 + 60 × 20 + 70 × 15 + 80 × 10 + 90 × 8 + 30 × 36 + 20 × 40 = 8100，
8 2 2 =1 = 40 + 50
2 + 602 + 702 + 802 + 902 + 302 + 202 = 28400，
8

= =1 8 = 8100 8×55×23所以 8 2 2 28400 8×552 ≈ 0.48， =1 8

所以 = 23 ( 0.48) × 55 ≈ 49.4，

所以 关于 的一元线性回归方程为 = 0.48 + 49.4；

(2)由(1)可知 关于 的一元线性回归方程为 = 0.48 + 49.4，

把 = 50 代入，得 = 0.48 × 50 + 49.4 = 25.4，
所以 2 号患者痊愈时间的残差为 25 25.4 = 0.4；
(3)设 表示这 6 个病人中痊愈的人数，则 ～ (6,0.8)，
设 =“经过试验该药被认定无效”，事件 等价于{ ≤ 2}，
则 = { ≤ 2} = 2 6 =0 6 0．8 0．2 = 0.01696，
由题意可知，如果新药是有效的，则当痊愈的病人数不超过 2 人时，认定新药无效，此时作出了错误的判
断，
因为作出错误判断的概率很小，属于小概率事件，所以试验方案是合理的．
17. 5 1解：(1)当 = 3 时， ( ) = 3 + 22 2 2．
所以 ′( ) = 3 2 + 5 2，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线斜率为 ′(1) = 6，又 (1) = 1，
所以 = 6( 1) + 1，整理可得 6 5 = 0，
故曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 6 5 = 0；
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(2) ′( ) = 2 + (2 1) 2 = ( )( + 2)，
若 = 0，由 ( ) = ( + 2) = 0 可得 = 2，
当 ∈ ( ∞, 2)时， ′( ) > 0， ( )为增函数，当 ∈ ( 2, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )为减函数，
当 > 0 时， ′( ) = ( 1)( + 2) = 0，可得 = 1 或 = 2，
所以 ( )在( ∞, 2) ( 1， , + ∞)为增函数，在( 2,
1
)上为减函数，
当 < 0 时，
若 12 < < 0， ( )在( ∞,
1
)，( 2, + ∞)
1
为减函数，在( , 2)上为增函数，
若 = 12， ′( ) ≤ 0， ( )在 上为减函数，
< 1若 2， ( )
1 1
在( ∞, 2)，( , + ∞)为减函数，在( 2, )上为增函数，
综上可得：
若 = 0， ( )在( ∞, 2)上为增函数，在( 2、+∞)上为减函数，
当 > 0 时， ( )在( ∞, 2) ( 1， , + ∞)为增函数，在( 2,
1
)上为减函数，
当 < 0 时，
1 < < 0 ( ) ( ∞, 1若 2 ， 在 )，( 2, + ∞)
1
为减函数，在( , 2)上为增函数，
若 = 12， ( )在 上为减函数，
若 < 12， ( )在( ∞, 2)
1
，( , + ∞)为减函数，在( 2,
1
)上为增函数，
18.(1)证明：连接 ，交 于点 ，连接 ， ，
在菱形 中， ⊥ ， = ，且 既是 的中点，也是 的中点，
又∵ ∠ = 60°，∴△ 是等边三角形，
显然 = ，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
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∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
在折叠过程中，始终有 = ，又 是 的中点，
∴ ⊥ ，又 ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(2)在边长为 2 的菱形 中，∠ = 60°，∴ = 2 3，
以 为原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，作 ⊥平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ( 3, 0,0)， (0,1,0)， ( 3, 0,0)，
∴ = ( 3, 1,0)， = ( 2 3, 0,0)， = ( 3, 1,0)，
设 ( , 0, )，∴ = ( 3, 0, )，
∴ = 2 3 × ( 3) = 9，解得 = 32 ，
又∵折叠过程中， = = 3，
∴ | | = 2 + 2 = 3，
解得 = 32，
∴ ( 3 , 0, 3 )，∴ = ( 3 32 2 2 , 0,
3 )， 2 = (
3
2 , 0,
3
2 )，
由(1)知 ⊥平面 ，
∴ 2平面 的一个法向量为 1 = 3
= ( 3, 0,1)，
平面 的法向量为 2 = ( , , )，
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2 = 3 + = 0
则 ，
2 =
3
2 +
3
2 = 0
取 = 3，则 = 3， = 1，∴ 2 = ( 3, 3, 1)，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 = |cos < 1, 2 > | =
4 2 13
2 13 = 13 ．
∴ 2 13平面 与平面 夹角的余弦值为 13 ．
2 1
2 + 2 = 1
19.解：(1) 2若选①，离心率为 2 ，由题意得
2 = 2 + 2，
= 2 2
= 2
2 2
解得 = 2，所以椭圆方程为 4 + 2 = 1．
= 2
2
若选②，经过点 ( 3, 2 )．
2
2 +
1
2 = 1
将点 ( 2, 1)、 ( 3, 22 )
= 2
代入椭圆方程得 3 1 ，解得 = 2，
2 + 2 2 = 1
2 2
所以椭圆方程为 4 + 2 = 1．
若选③，| 1| = 3．
2 1
2 + 2 = 1 = 2
2
由题意得 = 2 + 2 ，解得 = 2，
( 2 + )2 + 1 = 3 = 2
2 2
所以椭圆方程为 4 + 2 = 1；
(2)由题意得直线 的方程为 = ( 2) + 1，点 ( 3, 3)，
2 2+ = 1
联立直线 方程与椭圆方程 4 2 ，
= ( 2) + 1
消去 并整理得(1 + 2 2) 2 + (4 4 2 2) + 4 2 4 2 2 = 0，
由 = (4 4 2 2)2 4(1 + 2 2)(4 2 4 2 2) = 16 2 +
16 2 + 8 = 16( + 22 )
2 > 0 2，则 ≠ 2 ，
2
2 + = 4 2 4 2+
2
所以 3 1+2 2 ，则
3
1 = 2 =
2 2 2
1+2 2 ，
由(1)知 1( 2, 0)，
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1
所以直线 的方程为 = ( + 2)，即 = 2，
设点 ( 4, 4)， ( 5, 5)，
2 +
2
= 1
联立直线 方程与椭圆方程 4 2 ，
= 2
消去 并整理得( 2 + 2) 2 + 2 2 2 = 0，
因为 > 0，所以 4 + 5 =
2 2
2+2 ，
因为 是 + 中点，所以 = 4 5 2 2 2 = 2+2，
2 2 2 2
所以 2 = 2 2 = 2+2 2 = 2+2，
2 2 2 2
1 2 = 2 +1 2
2 2 +1
因为 2 ，所以
1+2
2 2 2
= 2 ，
2+2
化简得 2 3 + 2 2 2 2 = 0，则( 2 1)(2 + 2) = 0，解得 =± 1 或 = 22 (舍去)，
所以满足条件的斜率 的值为 1 或 1．
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