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15. 1. 2 线段的垂直平分线
旧知链接
图 15 - 1 - 37 中的图形是轴对称图形吗 如果是 ,请作出它们的对称轴.
① ② ③ ④
图 15 - 1 - 37
(2) 如果两个图形关于某条直线对称 ,那么对称轴是任何一对 所连 的 线.
(3) 与一条线段两个端点距离相等的点 ,在这条线段的 上.
(
图
15
-
1
-
38
)新知速递
如图 15 - 1 - 38 所示 ,直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线 ,P 为直线 CD 上的一点 , 已知线段 PA = 5 ,则线段 PB 的长度为( ) .
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 .
如图 15 - 1 - 39 所示 ,AC = AD ,BC = BD ,则有( ) .
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C. AB 与 CD 互相垂直平分
D. CD 平分∠ACB.
图 15 - 1 - 39
如图 15 - 1 - 40 所示的尺规作图是作( ) .
线段的垂直平分线 B. 一个半径为定值的圆
一条直线的平行线 D. 一个角等于已知角
(2) 如图 15 - 1 - 41 所示 ,l 是线段 AB 的垂直平分线 ,则 PA = ,理由是 .
(3) 如图 15 - 1 - 42 所示 ,在△ABC 中 ,BC = 8 cm ,边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ,交边 AC 于点 E , △BCE 的周长等于 18 cm ,求 AC 的长.
1
图 15 - 1 - 40
图 15 - 1 - 41
图 15 - 1 - 42
基础训练
下列说法中正确的是( ) .
点 P 满足 PA = PB ,则过点 P 的直线垂直平分线段 AB
等腰三角形顶角的平分线就是它对边的垂直平分线
到直线上距离相等的两点间的线段被这条直线垂直平分
点 M 满足 AM = BM ,则 M 点在线段 AB 的垂直平分线上
在△ABC 内部有一点 P ,到△ABC 的三个顶点的距离相等 , 即 PA = PB = PC ,则点 P 一定是( ) .
三角形三边中线的交点 B. 三角形三条高的交点
三角形三边垂直平分线的交点 D. 三角形三个角的平分线的交点
如图 15 - 1 - 43 所示 , △ABC 中 ,AB = AC ,D 是 BC 的中点 ,AC 的垂直平分线分别交 AC ,AD ,AB 于点 E ,O ,F ,则图中全等的三角形的对数是 .
(4) 如图 15 - 1 - 44 所示 ,在△ABC 中 ,分别以点 A 和点 B 为圆心 ,大于 的长 为半径画弧 ,两弧相交于点 M ,N ,作直线 MN ,交 BC 于点 D ,连接 AD. 若△ADC 的周长为 10 ,AB = 7 ,则△ABC 的周长为( ) .
图 15 - 1 - 43
2
A. 7 B14 C. 17 D. 20 图 15 - 1 - 44
拓展提高
如图 15 - 1 - 45 所示 ,在三角形 ABC 中 ,边 BC 的垂直平分线 DE 交边 BC 于点 D ,交边 AB 于点 E. 若三角形 EDC 的周长为 24 ,三角形 ABC 与四边形 AEDC 的周长之差为 12 ,求线段 DE 的长.
如图 15 - 1 - 46 所示 ,E 是∠AOB 的平分线上一点 ,EC⊥OA ,ED⊥OB ,垂足分别为 C ,D. 求证 :①OC = OD;②OE 是 CD 的垂直平分线.
如图 15 - 1 - 47 所示 ,在三角形 ABC 中 ,AB = AC ,O 是三角形 ABC 内一点 ,且 OB = OC. 试说明 :AO ⊥BC.
图 15 - 1 - 45 图 15 - 1 - 46 图 15 - 1 - 47
为了推进农村新型合作医疗制度改革 ,准备在某镇新建一个医疗点 P ,使点 P 到该镇所属 A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等(A ,B ,C 不在同一直线上 ,地理位置如图 15 - 1 - 48 所示) ,请你用尺 规作图的方法确定医疗点 P 的位置.
要求 :写出已知、求作 ;不写作法 ,保留作图痕迹.
发散思维
如图 15 - 1 - 49 所示 ,A ,B ,C 是新建的三个居民小区 ,政府在到三个居民小区距离相等的地方修建了一 所学校 ,现规划修建居民小区 D ,要求如下 :
到学校的距离和其他小区到学校的距离相等 ;
控制人口密度 ,有利于生态环境建设 ,试确定你认为较合适的居民小区 D 的位置.
图 15 - 1 - 48
图 15 - 1 - 49

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