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2024-2025 学年甘肃省武威八中高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角 的终边过点 (3, 4)，则 2 的值为( )
A. 12 12 24 2425 B. 25 C. 25 D. 25
2.数据 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的 80%分位数为( )
A. 7 B. 7.2 C. 7.5 D. 8
3.若| | = |1 2 |，则实数 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是 4 的倍数的概率为( )
A. 13 B.
1 C. 14 5 D.
1
6
5.设向量 = ( , 1)， = (4, )，且 ， 方向相反，则 的值是( )
A. 2 B. 2 C. ±2 D. 0
6.下面中错误的是( )
A. 80° 20° + 80° 20° = 60°
B. 75° = 45°cos( 30°) + 45°sin( 30°)
C. sin( + 45°) + cos( + 45°) = 45°
D. cos( 6 ) =
1
2 +
3
2
7.已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ，则 ⊥ D.若 ， ⊥ ，则 ⊥
8.如图，水平放置的四边形 的斜二测画法的直观图为矩形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = 2， ′是
′ ′的中点，则 的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列命题正确的是( )
A.三点确定一个平面 B.一条直线和直线外一点确定一个平面
C.圆心和圆上两点可确定一个平面 D.梯形可确定一个平面
10 3 1.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为4 , 2 .记事件 为“两人都击中”，事件
为“至少 1 人击中”，事件 为“无人击中”，则下列说法正确的是( )
A.事件 与 是互斥事件 B.事件 与 是对立事件
C.事件 与 7相互独立 D. ( ∪ ) = 8
11.关于函数 ( ) = 3 3 2 + 1, ∈ ，下列说法正确的有( )
A. ( ) 3 1 1的最大值为 2，最小值为 3 2
B. ( ) 5 的单调递增区间为[ 12 , + 12 ], ∈
C. ( )的最小正周期为 2
D. ( )的对称中心为( 6 +
1
2 , 2 ), ∈
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,1)， = (0, 2)，则 与 的夹角是______．
2
13.已知 满足 tan( 2 ) = 4 2 + 2 13，则 2 cos = ______．
14.如图，在正方体 1 1 1 1中， 1与平面 1 1所成的角等于______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
设平面向量 = ( 3 , cos2 )， = ( , 1)，函数 ( ) = 2
．
(Ⅰ)当 ∈ [0, 2 ]时，求函数 ( )的最小值；
(Ⅱ) 1 若锐角 满足 ( 2 ) = 3，求 cos(2 + 6 )的值．
16.(本小题 15 分)
如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2．
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(1)证明： ⊥ 1 ；
(2)求三棱锥 1的体积．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < 2 )的部分图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式；
(2)函数 ( )在 ∈ [ 6 , 3 ]上的最大值，并确定此时 的值．
18.(本小题 17 分)
某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了 200 名年龄在[20,45]内的市民进行
了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，
[35,40)，[40,45]．
(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；
(2)利用频率分布直方图，估计 200 名市民的年龄的平均数和第 80 百分位数；
(3)若从第 3，4 组用分层抽样的方法选取 5 名市民进行座谈，再从中选取 2 人在座谈会中作重点发言，求
作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率．
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19.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 cos + (cos 3sin )cos = 0．
(1)求 的大小；
(2)若 + = 1，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 4
13.14
14.45°．
15(Ⅰ)平面向量 = ( 3 , cos2 12 )， = ( , 1)，函数 ( ) = ．
则 ( ) = = 3 + 12 cos
2 = 32 2
1
2 2 = sin(2

6 )，
由 ∈ [0, 2 ]，
得 2 6 ∈ [

6 ,
5
6 ]，
故 ( ) = sin(
1
6 ) = 2．
(Ⅱ) ( 2 ) = sin(

6 ) =
1
3，
因为 为锐角，
所以 6 < 6 < 3，

则 cos( 6 ) = 1 sin
2( 6 ) =
2
3 2，

则 cos(2 + 6 ) = cos[2(

6 ) +

2 ] = 2(

6 )
= 2 ( 46 ) cos( 6 ) = 9 2．
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16.证明：(1) ∵ 1 1 1 1是正方体，
∴ 1 ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ 1 ⊥ ，
∵ ⊥ ， 1 ∩ = ，
∴ ⊥平面 1 ，
∵ 1 平面 1 ，
∴ ⊥ 1 ，
(2)解：∵ 1 ⊥平面 ，
∴ 1是三棱锥 1 的高，
∴ 1 1 4 1 = 1 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 3．
17.(1)由题意得 ( )的最大值为 = 2，
( ) 2 4 3的周期 满足4 = 3，可得 = = 3，解得 = 2，
因为 = 6时， ( )
3
取得最大值，所以2 6 + = 2 + 2 ( ∈ )，
3
结合 0 < < 2，解得 = 4， ( )的解析式为 ( ) = 2 ( 2 + 4 )．
(2)由(1)得 ( ) = 2 ( 3 + 3 3 2 4 )，当 ∈ [ 6 , 3 ]时，0 ≤ 2 + 4 ≤ 4，
3
所以当2 + 4 = 2时，即 = 6时， ( )取得最大值，最大值为 2．
18.(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为 0.02 × 5 = 0.1，
故年龄在[40,45]内的市民人数为 200 × 0.1 = 20．

(2)平均数为 = (22.5 × 0.01 + 27.5 × 0.07 + 32.5 × 0.06 + 37.5 × 0.04 + 42.5 × 0.02) × 5 = 32.25；
前三组的频率和为 0.01 × 5 + 0.07 × 5 + 0.06 × 5 = 0.7，
第四组的频率为 0.04 × 5 = 0.2，所以第 80 百分位数在第四组[35,40)内，
所以第 80 35 + 0.1百分位数为 0.2 × 5 = 37.5．
(3)由图知，第 3，4 组的人数频率之比为 3：2，
所以用分层抽样的方法在第 3，4 组市民抽取 5 名参加座谈，
应从第 3，4 组中分别抽取 3 人，2 人．
记第 3 组的 3 名市民分别为 1， 2， 3，第 4 组的 2 名市民分别为 1， 2，
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则从 5 名中选取 2 名作重点发言的所有情况有：( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 1)，( 1, 2)，( 2, 3)，( 2, 1)，
( 2, 2)，( 3, 1)，( 3, 2)，( 1, 2)，共 10 种．
其中第 4 组的 2 名 1， 2至少有一名被选中的有：( 1, 1)，( 1, 2)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 3, 1)，( 3, 2)，
( 1, 2)，共有 7 种，
7
所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为10．
19.解：(1)由已知得： cos( + ) + 3 = 0，
即 3 = 0，
∵ ≠ 0，∴ 3 = 0，即 = 3，
又 为三角形的内角，
则 = 3；
(2) ∵ + = 1 1，即 = 1 ， = 2，
∴由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，
即 2 = 2 + 2 = ( + )2 3
= 1 3 (1 ) = 3( 1 )2 + 12 4，
∵ 0 < < 1，∴ 14 ≤
2 < 1，
1
则2 ≤ < 1．
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