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(共25张PPT)
浙教版八年级上册
2.6 探索勾股定理（1）
P
R
Q
（1）正方形P的面积是
个单位面积。
正方形Q的面积是
个单位面积。
(2) 如何求正方形R的面积是？
请说出你的想法。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
9
16
温故知新：
P
Q
C
R
(1)
用了“补”的方法
P
Q
C
R
用了“割”的方法
Q
SR=7×7-4× ×3×4=25
SR=1×1+4× ×3×4=25
（1）正方形P的面积是
个单位面积。
正方形Q的面积是
个单位面积。
P
R
Q
（图中每个小方格代表一个单位面积）
9
16
25
(2) 正方形R的面积是
个单位面积。
观察所得到的各组数据，说出一个等式。
9+16=25
32+42=52
A
B
C
（1）换一个图形试试：
正方形A的面积是
个单位面积。
正方形B的面积是
个单位面积。
正方形C的面积是
个单位面积。
4
9
13
观察所得到的各组数据，说出一个等式。
4+9=13
P
Q
R
a
c
b
SP+SQ=SR
a2+b2=c2
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
猜想一个等式：
赵爽
东汉至三国时代吴国人
为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》
证明：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
如果a,b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，则
a
b
c
猜想证明：
(1)
C
C
a
b
c
a
b
c
面积算两次：
一方面，大正方形边长为（a+b）,
面积为（a+b）2
另一方面，S4个直角三角形+S小正方形
=4× ab+c2
综合起来可得：
展开，得：a2+2ab+b2=c2+2ab
化简，得：
a2+b2=c2
a
c
b
a
b
c
数学教育家波利亚：为了得到一个方程，
我们必须把同一个量以两种不同的方法表示
出来， 即将一个量“算两次”，从而建立相等关系，
这就是算两次原理。
《奥数教程》主编单（shan)壿(cun)：算两次
从二个方面考虑一个适当量，“一方面……，
另一方面……，综合起来可得……
猜想证明：
b
a
c
b
a
c
面积算两次：
综合起来可得：
(a+b)2=2ab+c2
一方面，直角梯形上底为a,下底为b,高为（a+b）,
面积为 （a+b)(a+b)=
另一方面，2S小直角三角形+S等腰直角三角形=2× ab+ c2
=
2× ab+ c2
a2+2ab+b2=c2+2ab
a2+b2=c2
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”因此这一性质也称为勾股定理.
勾
股
1.自编一道求直角三角形中未知边的长的计算题
求下列直角三角形中未知边的长:
4
5
x
x= =3
.
x= =13
.
x= =
.
.
1
x
2
12
5
x
┑
已知在△ABC中, ∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=c
（1）若 a=1, b=2, 求c；
（2）若 a=15, c=17, 求b.
c2=a2+b2=12 +22 =5
∵c>0,
(1)
∴c=
(2)
∵b>0 , ∴b=8.
=172 -152
=64.
=(17＋15)(17－15)
b2 = c2 -a2
A
C
B
┚
a
b
c
例2 如图，是一个长方形零件图,根据所给的尺寸（单位：mm）,求两孔中心A，B之间的距离.
A
B
C
40
90
160
40
解:过A作铅垂线,过B作水平线,两线交于点C,则∠C =90。
AC=90-40=50(mm),
BC=160-40=120(mm).
由勾股定理，得
AB2=AC2+BC2
=502+1202=16900（mm2）
∵AB>0
∴AB=130(mm).
答:两孔中心A,B之间的距离为130mm.
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
①
81
144
x
y
z
②
③
625
576
144
169
x= =15
.
y= =5
.
z= =7
.
当堂检测：
2.借助圆规和刻度尺， 在数轴上准确表示
-1
0
1
2
2
1
0
2
构造直角三角形，借助勾股定理解决
.
.
3. 在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：
“今有池方一丈，葭生其中央，
出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”
这道题的意思是说：有一个边长为一丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，
芦苇露出水面一尺，若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好与水面齐平，
问水有多深？芦苇有多长（1丈=10尺）？请你解决这个问题.
解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，1丈=10尺
x2+52=(x+1)2 , x=12
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
连续递推，豁然开朗
7cm
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
49
A
B
C
D
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
50
40
30
5.有一根长为70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是
50cm、40cm、30cm的木箱中，能放进去吗？
70cm
=
思维拓展，更上一层
=
A
B
C
D
＞
70=
能
谢谢
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