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(共22张PPT)
浙教版八年级上册
2.7 探索勾股定理（2）
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
如果a,b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，则
a
b
c
请说出其逆命题
温故知新：
猜想： 如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
b
c
C
a
B
A
如何证明？
简要说明：
作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1=a=CB,
在C1N上截取C1A1=b=CA,
连接A1B1.
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2 .
∴ A1B1=AB ，∴ △ABC ≌△A1B1C1 . （SSS）
∴ ∠C=∠C1=90°，∴ △ABC是直角三角形.
a
c
b
A
C
B
b
a
C1
M
N
B1
A1
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.
证明： △ABC是直角三角形
几何语言：
∵在△ABC中，a2 + b2 = c2
∴则△ABC是直角三角形.
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
b
c
C
a
B
A
勾股定理的逆定理：
大约在公元前2700年，古埃及人已经建成了世界闻名的七十多座大大小小的金字塔。当时的生产工具很落后，没有直角三角板，更没有任何的先进的测量仪器。可是，这些金字塔的塔基却都是正方形，这确实是个谜？你想了解古埃及人用什么方法得到直角呢？
古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。
《几何原本》记载了古埃及人得到直角的方法：
为什么会是直角呢？
1
4
8
(13)
埃及三角形
归纳总结
定理 勾股定理 勾股定理的逆定理
内容 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
条件 直角三角形 a2＋b2＝c2
结论 a2＋b2＝c2 直角三角形
用途 是直角三角形的一个性质 判定直角三角形的一种方法
1.自编几道三边长为正整数且构成直角三角形的习题
学以致用：
92+122=152
2.以下两组数有什么特点？
1、都是正整数；
(1) 6，8，10; (2)9，12，15;
2、都满足a2+b2=c2。
知识点：勾股数
3.埃及三角形：边长之比为3：4：5的直角三角形，
4.埃及三角形的代数表达：3n,4n,5n
62+82=102
　 　 　 2倍 3倍 3 4 5 6 8 10 9 12 15
5 12 13 10 24 26 15 36 39
8 15 17 16 30 34 24 45 51
7 24 25 14 48 50 21 72 75
勾股数扩大n (n为正整数)倍,还是勾股数
3.常见勾股数
3n 4n 5n
5n 12n 13n
8n 15n 17n
7n 24n 25n
4. 根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形
①a＝ b＝1，c＝
②
例3、已知△ABC三条边长分别为a,b,c,且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m,n是正整数)。△ABC是直角三角形吗？请说明理由
解：∵ a=m2－n2，b=2mn，c＝m2＋n2
∴a2+b2=(m2－n2)2+(2mn)2
＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2
＝(m2＋n2)2
＝m4＋2m2n2＋n4
＝c2
∴△ABC是直角三角形
变式： 已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1(n为
大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，
哪一条边所对的角是直角？请说明理由
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1，
AC =(n +1) =n4 +2n +1，
∴AB +BC = AC .
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
先确定AB、BC、AC、
的大小
课堂小结
一定是直角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
1.三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是: ( )
A. 直角三角形; B. 是锐角三角形;
是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形.
2.已知 ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角.
A
直角
∠ A
当堂检测：
夯实基础，稳扎稳打
3.边长满足关系(a-b)(a2+b2-c2)=0, △ABC是( )
A、直角三角形 B、等腰三角形
C、等腰直角三角形
D、直角三角形或等腰三角形
连续递推，豁然开朗
a-b=0,
a=b
等腰三角形
a2+b2-c2=0,
a2+b2=c2
直角三角形
直角三角形或等腰三角形
D
4．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝90°.求这个四边形的面积．
解：连接AC.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，即AC2＝32＋42＝25，AC＝5.
A
B
C
D
在△ACD中，∵AC2＋CD2＝52＋122＝169，
AD2＝132＝169，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴这个四边形的面积为 ×3×4＋ ×5×12＝36.
5
变式：5.若零件的形状及边长如图（2）所示,你还能求面积吗
图（2）
A
B
C
D
3
12
13
4
换汤不换药
勾股定理+勾股定理逆定理
S零件=30-6=24
（1）CD⊥AB
（2）BC⊥AC
1
A
C
B
D
2
3
6.如图，在三角形ABC中，AB=4，
BC=2，BD=1，CD= ，判断
下列结论是否正确，并说明理由.
思维拓展，更上一层
换汤不换药
勾股定理+勾股定理逆定理
谢谢
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