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(共26张PPT)
浙教版八年级上册
2.7 直角三角形全等的判定
（1）两边及其夹角；
（2）两边及一边的对角．
两边+一角
A
B
C
SSA不能判定全等．
SAS能判定全等．
两边及一边的对角．
A
B
C
SSA不能判定全等．
对角限制------
900
SSA在什么情况下能判定全等？
两边及一边的对角．
对角限制------
900
猜想：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
已知：在Rt△ABC和Rt△A B C 中，AC=AC,AB=AB.
证明：Rt△ABC≌ Rt△A B C
∵ Rt△ABC和Rt△A B C
∴ BC2=AB2 - AC2
B C 2=A B 2 - A C 2
又∵ AC=A C ,AB=A B .
∴BC=B C
在△ABC和△A B C 中
A B=A B
A C=A C BC= B C
∴△ABC≌△A B C ( SSS )
证明：
法1：
简写：“斜边、直角边定理”或“HL”
A B=A B
A C= A C
∴Rt△ABC≌Rt△ A B C (H L)
直角三角形全等的判定方法
几何语言表示：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
在Rt△ABC和Rt△ A B C 中
注意：“HL”是仅适用于直角三角形
分析：AC=A'C'，无论RtΔABC和RtΔ A'B'C'的位置如何。
我们总是可以通过作旋转、平移、轴对称变换得到图形，如图，即Ａ'Ｃ' 和ＡＣ重合，点Ｂ'和点Ｂ分别在ＡＣ两侧。
Ａ
Ｃ
Ｂ
A/
C/
B/
如图，在Δ ABC和Δ A'B'C'中， ∠ C= ∠ C'=Rt∠，AB=A'B'， AC=A'C',说明Δ ABC和Δ A'B'C' 全等的理由。
（ A ）
'
'
(Ｃ)
Ａ
Ｃ
Ｂ
B
'
┓
┓
1
2
解∵ ∠ 1= ∠ 2=90 °
∴ Ａ，C，B'在同一直线上，AC ⊥BB’
∵ AB=A'B'
∴ BC=B'C'（等腰三角形三线合一）
∵ AC=A'C'（公共边）
∴ RtΔABC ≌ RtΔA'B'C'（SSS）
构造平角
两个900
三点共线
法2：
直角三角形全等的判定
一般三角形全等的判定
SAS
ASA
AAS
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
SSS
知识小结：
1.在两个三角形中,如果有两条边及它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等(简记为SAS)
2.在两个三角形中,如果有两个角及它们的夹边对应相等,
那么这两个三角形全等(简记为ASA)
3.在两个三角形中,如果有两个角及其中一个角的对边对应相等,
那么这两个三角形全等(简记为AAS)
4.在两个三角形中,如果有三条边对应相等,
那么这两个三角形全等(简记SSS)
简写：“斜边、直角边定理”或“HL”
A B=A B
A C= A C
∴Rt△ABC≌Rt△ A B C (H L)
几何语言表示：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
在Rt△ABC和Rt△ A B C 中
注意：“HL”是仅适用于直角三角形
(1) _______,∠A=∠D ( ASA )
(2) AC=DF,________ (SAS)
(3) AB=DE,BC=EF ( )
(4) AC=DF, ______ (HL)
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )
B
C
A
E
F
D
1.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.
AC=DF
BC=EF
HL
AB=DE
AAS
学以致用：
2、如图，已知 P是∠AOB内部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上.请说明理由。
O
P
D
E
A
B
1
2
解: 作射线OP
在Rt Δ PDO 和 RtΔ PEO中：
PD=PE
OP=OP
∴ RtΔ PDO ≌ RtΔ PEO（HL）
∵ PD ┴ OA，PE ┴ OB，
∴ ∠ PDO= ∠ PEO=Rt ∠
∴ ∠ 1= ∠ 2，即点P在∠ AOB的平分线上。
同学们，你得出什么结论？
角平分线的判定：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
新知讲解
角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
几何语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.
O
A
B
C
P
D
E
┐
┐
P
A
O
B
C
D
E
角的平分线的性质定理与判定定理的关系
点在角的平分线上
性质定理
(角的内部)点到角的两边的距离相等
判定定理
新知讲解
3. 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等.（2）点P在∠A的平分线上
证明：（1）过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.
点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
B
C
P
N
M
D
E
F
（2）
∵PD⊥AB,PF⊥AC，且PD=PF
∴点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
　　三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
当堂检测：
1.自画共斜边的两个全等直角三角形
如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD,垂足分C,D,BD=AC.
求证:BC=AD.
A
B
D
C
┓
┓
=
证明:
∵ AC⊥BC,AD⊥BD(已知）,
∴∠C=∠D=90°.
在Rt△ABC 和 Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL),
∴BC=AD(全等三角形的对应边相等）.
.
如图，AC=AD，∠C=∠D=Rt∠ ，
你能说明BC与BD相等吗？
解：BC=BD，理由如下：
AB=AB,
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD(全等三角形对应边相等).
在Rt△ACB和Rt△ADB中
2.自画斜边相等的两个全等直角三角形
已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点,
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF.
求证：AB=AC.
D
B
C
A
E
F
┓
┓
证明：∵ DE⊥AB，DF⊥AC∴ ∠BED=∠CFD=Rt∠
∵ D是BC的中点 ∴ BD=CD
在RtΔBDE 和 RtΔCDF中，
∴ RtΔBDE ≌ RtΔCDF（HL）
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
∴ AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）
BD=CD,
DE=DF
.
如图，∠B=∠E=Rt∠，AB=AE，∠1=∠2，则∠3=∠4 ，请说明理由。
∵ ∠1=∠2
∴AC=AD
∴在Rt△ABC和Rt△ADE中
∵ ∠B=∠E=Rt∠
AC=AD
AB=AE
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ADE （ ）
HL
∴ ∠3=∠4
2.再过点M作OA的垂线
1.如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON
3.过点N作OB的垂线,两垂线交于点P
4.那么射线OP就是∠AOB的平分线.
A
B
O
●
●
●P
M
N
3.给你一块有刻度的三角板，作出∠AOB的平分线
连续递推，豁然开朗
4.已知：如图，在△ABC中,AD⊥BC于点D,E是AC上一点，且BF=AC,DF=DC.求证：BE⊥AC.
证明：
∵AD⊥BC
∴∠BDF=∠ADC=900
在Rt△BDF和Rt△ADC中
∴ Rt△BDF≌ Rt△ADC （ ）
HL
BF=AC,
DF=DC
A
B
C
D
E
F
┓
⌒
⌒
⌒
⌒
1
2
3
4
∴∠1=∠2
∵∠3=∠4
∵∠1+∠3=900
∴∠2+∠4=900
∴BE⊥AC
谢谢
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