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2024-2025 学年江西省抚州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数 满足 = 3 4 ，则 的虚部为( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
2.如图所示，梯形 ′ ′ ′ ′是平面图形 用斜二测画法得到的直观图， ′ ′ = 2 ′ ′ =
2 ′ ′ = 1，则下列说法正确的是( )
A. = 1
B. = 2
C.四边形 的周长为 5
D.四边形 的面积为 3
3.已知向量 = ( 1, 2) = (1, ) > 1， ，“ 2”是“ 与
的夹角为钝角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4 = 2 13° 1 3 1 50°.设 1 tan213 ， = 2 6° 2 6°， = 2 ，则有( )
A. > > B. < < C. < < D. < <
5 7.已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为8，且该圆锥的母线是底面半径的 2倍，若△
的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为( )
A. 40 B. (40 + 40 2) C. 40 2 D. (40 + 80 2)
6.函数 ( ) = sin(2 + ) 的图象向左平移3个单位得到函数 ( )的图象，若函数 ( )是奇函数，则
=( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 33 3
7.已知非零平面向量 、 、 ，满足| | = 4，| | = 2，若 与 的夹角为3，则| |的最小值为( )
A. 2 3 2 B. 3 C. 2 3 + 2 D. 32
8.已知△ 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 是 上的三等分点(靠近点 )且 = 2，( ) =
( + )( )，则 + 2 的最大值是( )
A. 4 B. 2 3 C. 4 3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.若复数 = + ( , ∈ )( 为虚数单位)，其中真命题为( )

A. + ∈ B.若 = = 1，则 4 = 4
C. 1若 为虚数，则 也为虚数 D.若| + | = 1，则| |的最大值为 2
10.已知函数 ( ) = 2 ( + ) + 1( > 0, | | < 2 )，满足 ( ) + (

3 ) = 2，且对任意 ∈ ，都有
( ) ≥ ( 5 12 )，当 取最小值时，则下列说法错误的是( )
A. ( ) 图象的对称轴方程为 = 12 +

3， ∈
B. ( ) 在[ 12 , 6 ]上的值域为[ 3, 2]
C. ( ) [ 在 6 , 3 ]上单调递减
D.若方程| ( ) 1| = 1 在(0, )上有且只有 5 个根，则 ∈ ( 5 , 17 4 12 )
11.如图，在正三棱柱 1 1 1中， 、 分别是棱 ， 1 1的中点，连接
， ， 1 ， 是线段 的中点， 是线段 上靠近点 的四等分点，则下
列说法正确的是( )
A.平面 //平面 1
B.直线 与平面 所成的角为3
C.三棱锥 的体积与正三棱柱 1 1 1的体积之比为 1：48
D.若 = 2 1 = 4，则过 ， ， 三点作平面 ，截正三棱柱 1
2 39
1 1所得截面图形的面积为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 cos( 4 ) = 5 ( 4 + )，则 = ______．
13.已知 = (2,4)， = ( 1,3)，则 在 方向上的投影向量的坐标为______．
14.如图，在正四棱台 1 1 1 1中， 1 1 = 2， = 6，若该四棱
台的体积为52 3，则该四棱台的外接球表面积为______．
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，以 为始边作角 与 (0 < < < )，它们的终边分别与单位圆相交于点 、 ，已知点 的坐标为
( 3 , 45 5 )．
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(1) 3 5 求 sin cos 的值；
(2)若 ⊥ ，求 3 + 4 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2( 14 + ) 3 2 1,0 < < 2，且函数 = ( + )的图象关于 轴对称．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2) 6函数 ( ) = 2 2( 5 ) + (
6
5 )， ∈ [ 2 , ]，若 ( ) ≤ 1 恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
在△ 中、角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 + 3 = 0．
(1)求角 的大小；
(2)已知 = 2 7， = 2，设 为 边上一点，且 为角 的平分线，求△ 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图所示，正方形 1 1 与矩形 所在平面互相垂直， = 3 ， 1 ∩ 1 = ， 为线段 上一
点．
(1)当 //平面 1 ，求证： 为 的中点；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 1 ⊥平面 1 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理
由．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 = ( )，若存在实数 ， ( ≠ 0)，使得对于定义域内的任意实数 ，均有 ( ) = ( + ) +
( )成立，则称函数 ( )为“可平衡”函数；有序数对( , )称为函数 ( )的“平衡”数对．
(1)若 ( ) = 2 + 1，求函数 ( )的“平衡”数对；
(2)若 = 3，判断 ( ) = 是否为“可平衡”函数，并说明理由；
(3)若 1、 ∈

2 且( 1, 2 )、( 2, 4 )均为函数 ( ) = cos
2 (0 < ≤ 6 )的“平衡”数对，求
2
1 + 22的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.23
13.(1,2)
14.358 3
15.(1)依题意， = 4 3 5 3 5 293，所以 sin cos = tan 1 = 7；
(2)由 ⊥ ，得 = 2，
则 = sin( 2 ) = =
3 4
5， = cos( 2 ) = = 5，
所以 3 + 4 = 3 × 35 + 4 ×
4
5 = 5．
16.(1) ( ) = 2 2( 4 + ) 3 2 1

= 1 cos( 2 + 2 ) 3 2 1
= 2 3 2
= 2 (2 3 )，
又因为函数 = ( + )的图象关于 轴对称，
所以函数 = ( + )是偶函数，
因为 ( + ) = 2 (2 + 2 3 )，
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所以 2 5 3 = 2 + ( ∈ )，解得 = 12 + 2 ( ∈ )，
由 0 < < 1 52，所以 = 12，
所以 ( ) = 2 ( 56

3 )；
(2) ( ) = 2 2( 6 6 2 5 ) + ( 5 ) = 8 ( 3 ) + 2 ( 3 )，
令 = sin( 3 )，

因为 ∈ [ 2 , ]，

所以 3 ∈ [
2
6 , 3 ]，sin(

3 ) ∈ [
1
2 , 1]，
故 ∈ [ 12 , 1]，
则 8 2( 3 ) + 2 (

3 ) = 8
2 + 2 ，
因为 ( ) ≤ 1 恒成立，
所以 8 2 + 2 1 ≤ 0 1在区间[ 2 , 1]上恒成立，
令 ( ) = 8 2 + 2 1，
则 ′( ) = 16 + 2 ，
′( 1 ) ≤ 0
则有 21 ，解得 ≤ 3， ( 2 ) ≤ 0
′(1) ≥ 0
或 ，无解，
(1) ≤ 0
故 的取值范围为：( ∞,3]．
17.(1)根据题意可知， + 3 = 0，
根据正弦定理得 = 3 ，
而 > 0，则 = 3，又 ∈ (0, )，∴ = 2 3；
(2)在△ 中，根据余弦定理得 28 = 2 = 2 + 2 2 = 4 + 2 4 120°，
整理得 2 + 2 24 = 0，而 > 0，解得 = 4，
由 为角 的平分线及 △ + △ = △ ，
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1 sin + 1 sin = 1 2 = = 4得2 3 2 3 2 3，则 + 3，
∴△ 的面积为 = 1 4 3 4 3△ 2 × 4 × 3 × = ．2 3
18.(1)证明：因为 1 1 为正方形， 1 ∩ 1 = ，
所以 为 1的中点，
又因为 //平面 1 ，平面 1 ∩平面 1 = 1， 平面 1，
所以 // 1，
又因为 为 1的中点，所以 为 的中点；
(2)存在，当 为 的一个三等分点(靠近 点)时，平面 1 ⊥平面 1 ，
理由如下：
设 ∩ = ，
因为 1 1 为正方形，所以 1 ⊥ ，
又因为 =平面 1 1 ∩平面 ，平面 1 1 ⊥平面 ， 1 平面 1 1 ，
所以 1 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又因为在矩形 中，设 = ，
因为 = 3 ， = 3 ，设 = = 3 ，
1 在矩形 中，因为 tan∠ = = ，tan∠ = = 3，
当 tan∠ = tan∠ 时，
1
即 = 3，
1
解得 = 3，
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因此∠ = ∠ ，

又因为∠ + ∠ = 2，

所以∠ + ∠ = 2，

在△ 中，∠ = 2，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又因为 平面 1 ，所以平面 1 ⊥平面 1C.
在线段 上是存在点 ，当 为 的一个三等分点(靠近 点)时，
平面 1 ⊥平面 1C.
19.(1)因为 ( ) = 2 + 1 为“可平衡”函数，
所以对于任意实数 ，均有 ( ) = ( + ) + ( )成立，
即 ( 2 + 1) = ( + )2 + 1 + ( )2 + 1 成立，
即( 2) 2 + 2 2 2 = 0 对于定义域内的任意实数 恒成立，
故只有 = 2， = 0 符合题意，
所以函数 ( )的“平衡”数对为(2,0)；
(2)是，理由如下：
当 = 3时， ( ) = 3 ， ( + ) + ( ) = cos( + ) + cos( ) = 2 ，
若 ( ) = 是“可平衡”函数，
则 3 = 2 ，
所以 = 32 ，

解得 =± 6 + 2 , ( ∈ )，
所以 存在，
所以 ( ) = 是“可平衡”函数；
(3)由题意可得 1cos2 = cos2( +
2
2 ) + cos ( 2 ) = 2
2 ， 2cos2 = cos2( +

4 ) + cos
2( 4 ) = 1，

因为 0 < ≤ 6，
所以 1 = 2 2
1
， 2 = cos2 = 1 + tan
2 ，
2 2 41 + 2 = 4 + (1 + tan2 )2 = 5 4 + 2 2 + 1，
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令 = tan2 ，则 ∈ (0, 13 ],
则 2 21 + 2 = 5 2 + 2 + 1，
由二次函数的性质可知 = 5 2 + 2 + 1 在 ∈ (0, 13 ]上单调递增，
所以 5 2 + 2 + 1 ∈ (1, 209 ]，
即 21 + 22 ∈ (1,
20
9 ]．
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