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广东省深圳高级中学集团2024-2025学年第二学期初三第一次模拟考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）
1．（2025九下·深圳开学考） 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵该图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵该图不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、 ∵该图是轴对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．（2025九下·深圳开学考）四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法，如标注为“1502”的电阻，第四位数字“2”为10的幂指数，对应的阻值（单位：Ω）为150×102=15000，则标注为“1502”的电阻阻值用科学记数法表示为（　　）
A．150×102 B．15×103 C．1.5×104 D．1.5×105
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 15000=1.5×104
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数．
3．（2025九下·深圳开学考）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025九下·深圳开学考）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小聪想了解该图案的面积是多少，他采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此他估计此不规则图案的面积大约为（　　）
A．6m2 B．5 m2 C．4m2 D．3m2
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4 ，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为，
∴x=6，
故答案为：A.
【分析】 根据几何概率知识和折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解.
5．（2025九下·深圳开学考）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知∠ABO=60°，OC=OD，AB//CD，则 ∠BOD的大小为（　　）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： ∵∠ABO=60°，AB∥CD，
∴∠DCO=∠ABO=60°，
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠CDO=60°，
∴∠BOD=∠DCO+∠CDO=60°+60°=120°，即∠BOD的大小为120°
故答案为：D.
【分析】 由平行线的性质结合等边对等角可得∠DCO=∠CDO=60°，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解.
6．（2025九下·深圳开学考）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作于，地面于，
依题意可得：，，，
∴，
∴坐垫离地面高度约为，
故答案为：A．
【分析】作于，地面于，依题意可得，，，再根据正弦定义可得CH，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．（2025九下·深圳开学考）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元 设每件商品降价χ元，由题意可列方程（　　）
A．（60-x）（20+4x）=1400 B．（40-x）（20+4x） =1400
C．（60 -x）（20+2x）=1400 D．（40-x）（20+0.5x）=1400
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设每件商品降价x元，
由题意可得：（60-20-x）（20+4x）=1400，
即（40-x）（20+4x）=1400，
故答案为：B.
【分析】 设每件商品降价x元，则每件的利润为（60-20-x）元，根据总利润=每件的利润×件数即可得解.
8．（2025九下·深圳开学考）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→B→C的路径运动，过点P作PQ⊥AC，垂足为Q.设点P运动的路程为x，PB与PO的差为y，）与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段DE，EF与x轴的交点，则图2中点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（　　）
A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象；A字型相似模型
【解析】【解答】解： 当x=0时，PB-PQ=5，此时点P、Q都在点A处，
∴PB-PQ=AB-0=5，
∴AB=5，
当x=9时，点P从点A运动到点C处，
∴AB+BC=9，
∴BC=4，
∵∠C=90°，
∴AC=3，
∴sinA=，
由题意得：当y=0时，PB与PQ的长相等，
设BP长为a，则PQ为a，AP=5-a，
∵PQ⊥AC，
∴∠PQA=90°，
∴
a=，
如图，当点P运动到到BC的中点是，PB=PQ，此时PB=2，
∴点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的路程长为：，
故时长为=
故答案为：.
【分析】根据图2中当x=0时纵坐标为5，当x=9时，点P运动到点C处，判断出相关线段的长度，进而根据当PB与PQ的长两次相等时，点P的运动路程，除以2即为所求的时间.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025九下·深圳开学考） 因式分解：ax2-a=　 　.
【答案】a(x-1)(x+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 原式=a（x2-1）=a（x+1）（x-1） .
故答案为：a（x+1）（x-1）.
【分析】 先提公因式a，再利用平方差进行分解.
10．（2025九下·深圳开学考）关于x的一元二次方程x2一2x=m有两个不相等实数根，则m的值可能是　 　.（只需写出一个即可）
【答案】0（比-1大即可，）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 由题意得，Δ=（-2）2-4×1×（-m）＞0，
解得：m＞-1，
∴m的值可能是0，
故答案为：0.(答案不唯一)
【分析】 由题意可得Δ＞0，计算即可.
11．（2025九下·深圳开学考）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人恰好选中同一种的结果，再根据概率公式即可求出答案.
12．（2025九下·深圳开学考）如图，已知矩形ABCD的一边AD落在y轴的正半轴，它的顶点B与对角线BD的中点E均在反比例函数的图象上，则矩形ABCD的面积为　 　.
【答案】8
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设B(a，)，D（0，b），
∴BD中点E坐标（），
∵E在反比例函数上，
∴，
∴b=，
∴D（0，），
∴AB=a，AD=，
∴矩形ABCD的面积为=8，
故答案为：8.
【分析】设B(a，)，D（0，b），利用中点公式表示E点坐标，结合反比例函数，求出a，b满足的关系式，从而表示AB与AD的值，进而表示出面积.
13．（2025九下·深圳开学考） 在菱形ABCD中，，将沿BE翻折至，BF，CF的延长线分别交AD于H，G两点，若，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解： 分别过点D，E作RD⊥BC的延长线，EW⊥BC的延长线，且过F作ZN⊥BC分别交BC，AD于点N，Z，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，BC=CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCR=60°，
设BC=CD=5r，
∴在Rt△CDR中， sin∠DCR=，
∴DR=，
∵AD∥BC，RD⊥BC的延长线，EW⊥BC的延长线，
∴ZN=DR=，
∵，
∴CE=2r，DE=3r，
∴在Rt△BEW中，sin∠DCR=，cos∠DCR=，
∴EW=，CW=r，
BE=，
BF2-BO2=FO2=EF2-OE2，
即BF2-（BE-OE）2=EF2-OE2，
∴OE=，
FO= ，
∴FC=，
，
∴FN=
∴ZF=，
∵ △GHF∽△CBF，
∴，
故答案为：.
【分析】根据所做辅助线，，设CE=2r，ED=3r，根据菱形的性质和勾股定理分别求出DR，EW，CW，BE，再根据折叠，在△BFE中，利用勾股定理，表示OE长，从而得到FO，FC的长，进而在△BFC中，利用双勾股，表示得到FN的长，从而FZ=ZN-FN，最后得到.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025九下·深圳开学考）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可求出答案.
15．（2025九下·深圳开学考）先化简：，再从-3， 0， 3中选取一个适当的数代入求值.
【答案】解：原式=
=
因为 ，，所以 ，，所以 x 只能为 0，当 时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】 根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出x只能为0，代入化简后的式子计算.
16．（2025九下·深圳开学考）小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95
乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97
甲、乙两种吉他得分统计表
品牌 平均数 中位数 众数
甲 87.9 90
乙 87.3 97
（1）________，________；
（2）从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由．
【答案】（1），
（2）甲
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
故答案为：89；90
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案.
（2）由甲、乙两种吉他得分的方差，比较得出，即可求出答案.
（3）根据平均数的意义即可求出答案.
（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
17．（2025九下·深圳开学考）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
18．（2025九下·深圳开学考）在矩形ABCD中，连接AC.
（1）如图1，请用尺规在边AD上求作一点P，连接PC，使PD+PC=AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，已知点P在边AD上，且PD+PC=AD，连接PB，交AC于点O，若AB=6，AD=8，求 AQ 的长.
【答案】（1）解：如图，即为所作；
【方法一】
【方法二】
（2）解：解：如图，∵PD+PC=AD，又 PD+PA=AD，
∴PA=AC，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=6，
∵AD=8，
∴AC=10，
设 PA=AC=x，
∴PD=8-x，
∴x2=(8-x)2+62，
解得 x=，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△APQ∽△CBQ，
∴
∴
又 AQ+CQ=AC=10
∴AQ=
【知识点】尺规作图-垂直平分线；8字型相似模型
【解析】【分析】
（1）作AC的垂直平分线交AD于P，点P即为所求；
（2）设PA=AC=x，则PD=8-x，由勾股定理可得x的值， 证明△APQ∽△CBQ，再由相似三角形的性质计算即可得解.
19．（2025九下·深圳开学考）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）.为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门。经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观。
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）.由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢
（1）【分析问题】
①二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（2，m）和（5，m），此抛物线的对称轴为直线　 　.
②如图2，已知二次函数，经过点（0，6）， 且与的图象均经过（2，0）和（5，0），则a2的取值范围是　 　.
（2）【解决问题】
以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以O，M为端点的拱门表示原拱门，EF表示大树，当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离h的取值范围.
【答案】（1）x=；
（2）解：如图所示，将点 F分别向左右两侧平移 3 个单位得到点 B、C，
将 BC向上平移 2+8=10 个单位，矩形 ABCD即为大树生长空间.
由题意得，OM=3，MF=10，BF=CF=3 ，
∴B（10，0），D（16，10）；
设新拱门抛物线解析式为 y= ax2 + bx，
∴抛物线顶点坐标为，
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得b1 = 2，b2 = 0 （不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为 y= ax2 + 2x，
将 B(10，0)代入得， 0 =102 a+10× 2 ，解得 a= -，
=5，
∵原拱门拱顶距地面为 4 米，
∴ 4 < h≤ 5，
将 D(16，10)代入得，10 =162 a+16× 2 ，解得 a= -，
∴，
将(25，0)代入得， 0 = 252 a+ 25× 2 ，解得 a= - ，
∴，
∴ ，
综上所述，h的取值范围是 4 < h≤ 5 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）①由中点坐标公式得：轴x==，
故答案为：x=；
②由题意得：y1=a1（x-2）（x-5）=a1（x2-7x+10），则10a=6，则a1=，由图可知y2开口比y1小，∴，
故答案为：
【分析】 （1）由中点坐标公式得：x==；
（2）由题意得：y1=a1（x-2）（x-5）=a1（x2-7x+10），则10a=6，则a1=， 由题意知，y2的开口比y1的小，即可求解；
（3）由拱顶到地面的距离为拱门宽的一半，得到 ，得到抛物线的表达式为：y=ax2+2x，将点B、D、H坐标分别带函数表达式，即可求解.
20．（2025九下·深圳开学考）综合与探究
在正方形ABCD中，AB=4，点E是AB边上的动点，连接CE.
（1）【探索发现】如图1，过点D作DF⊥CE，求证：△CFD∽△EBC；
（2）【类比探究】如图2，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，当△CFD是等腰三角形时，求此时AE的长度与△CFD的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，将△CFD沿CE翻折得到△CFG，FG交BC于点H，请直接写出线段CH的最小值.
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，∠DCF+∠BCE=90°
∵DF⊥CE，
∴∠DFC=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠BCE=∠CDF
∴△CFD∽△EBC
（2）解：如图，作 DH⊥ CD于点 H，
可证△CDH≌△BCF，
可得 CD=BC> CF，
所以当△CFD为等腰三角形时，
只有以下两种可能：
1 当 CF=DF时，作 FH⊥CD于点 H，如图所示，
设 DF= CF= a，
∵ FH⊥CD，CF=DF，
∴DH=CH， FH=
∵BF⊥CE，
∴∠FCB+∠CBF=90°，
∵∠DCF+∠FCB=90°，
∴∠CBF=∠DCF，
∴△CFH∽△BCF
即
解得， a= 2，
∴CF= DF= 2，△CDF为等腰直角三角形，
∴此时点 A、F、C三点共线，
∴AE=0，
②当 DF=DC时，作 DH⊥CE于点 H，如右图所示，
设CH= a，
∵DF=DC， DH⊥ CE，
∴ FH= CH= a，
∵BF⊥CE，CD=BC=4，
∴△CDH≌△BCF，
∴BF=CH=a，
在 RtΔCFB中，CF2+ BF 2 = BC2 ，
即 (2a)2+ a2 = 42，
解得 a=
∴ DH= CF= 2a=
∵△CFB∽△CBE，
即
解得 BE=2，
∴AE=AB-BE=2
（3）解： ∵∠BFC=90°，
∴点F在以BC的中点M为圆心的圆上，延长DF交CB的延长线于点N，
设∠MFG=α，∠MFC=∠MCF=β，
∴∠GFC=∠DFC=α+β=∠FNC+∠MCF，
∴∠FNC=α，
∴∠FNC=∠MFG，
∵∠FMH=∠NMF，
∴△MFH∽△MNF，
∴，
MH=，
若CH最小，即MH最小，则MN最大，
当MN最大时，DN与圆M相切，即MF⊥DN，
设BN=x，
∴sinα=，
解得x= 或x=-4（舍） ，
∴MH=，CH=，
故CH最小值为.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；等腰直角三角形；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 （1）证出∠BCE=∠CDF，由相似三角形的判定可得出结论；
（2）分两种情况，①当CF=DF时，作FH⊥CD于点H，证明△CFH∽△BCF，得出， 求出CF=DF= 2，则可得出答案；②当DF=DC时，作DH⊥CE于点H，求出CF可得出答案；
（3）点F在以BC的中点M为圆心的圆上，延长DF交CB的延长线于点N，证明△MFH∽△MNF，得出， 得出MH=， 则MH最小，MN最大，即MF⊥DN，求出BN可得出答案.
1 / 1广东省深圳高级中学集团2024-2025学年第二学期初三第一次模拟考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）
1．（2025九下·深圳开学考） 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2025九下·深圳开学考）四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法，如标注为“1502”的电阻，第四位数字“2”为10的幂指数，对应的阻值（单位：Ω）为150×102=15000，则标注为“1502”的电阻阻值用科学记数法表示为（　　）
A．150×102 B．15×103 C．1.5×104 D．1.5×105
3．（2025九下·深圳开学考）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·深圳开学考）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小聪想了解该图案的面积是多少，他采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此他估计此不规则图案的面积大约为（　　）
A．6m2 B．5 m2 C．4m2 D．3m2
5．（2025九下·深圳开学考）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知∠ABO=60°，OC=OD，AB//CD，则 ∠BOD的大小为（　　）
A．150° B．140° C．130° D．120°
6．（2025九下·深圳开学考）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
7．（2025九下·深圳开学考）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元 设每件商品降价χ元，由题意可列方程（　　）
A．（60-x）（20+4x）=1400 B．（40-x）（20+4x） =1400
C．（60 -x）（20+2x）=1400 D．（40-x）（20+0.5x）=1400
8．（2025九下·深圳开学考）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→B→C的路径运动，过点P作PQ⊥AC，垂足为Q.设点P运动的路程为x，PB与PO的差为y，）与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段DE，EF与x轴的交点，则图2中点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（　　）
A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025九下·深圳开学考） 因式分解：ax2-a=　 　.
10．（2025九下·深圳开学考）关于x的一元二次方程x2一2x=m有两个不相等实数根，则m的值可能是　 　.（只需写出一个即可）
11．（2025九下·深圳开学考）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是　 　．
12．（2025九下·深圳开学考）如图，已知矩形ABCD的一边AD落在y轴的正半轴，它的顶点B与对角线BD的中点E均在反比例函数的图象上，则矩形ABCD的面积为　 　.
13．（2025九下·深圳开学考） 在菱形ABCD中，，将沿BE翻折至，BF，CF的延长线分别交AD于H，G两点，若，则的值为　 　.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025九下·深圳开学考）计算：．
15．（2025九下·深圳开学考）先化简：，再从-3， 0， 3中选取一个适当的数代入求值.
16．（2025九下·深圳开学考）小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95
乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97
甲、乙两种吉他得分统计表
品牌 平均数 中位数 众数
甲 87.9 90
乙 87.3 97
（1）________，________；
（2）从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由．
17．（2025九下·深圳开学考）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
18．（2025九下·深圳开学考）在矩形ABCD中，连接AC.
（1）如图1，请用尺规在边AD上求作一点P，连接PC，使PD+PC=AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，已知点P在边AD上，且PD+PC=AD，连接PB，交AC于点O，若AB=6，AD=8，求 AQ 的长.
19．（2025九下·深圳开学考）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）.为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门。经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观。
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）.由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢
（1）【分析问题】
①二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（2，m）和（5，m），此抛物线的对称轴为直线　 　.
②如图2，已知二次函数，经过点（0，6）， 且与的图象均经过（2，0）和（5，0），则a2的取值范围是　 　.
（2）【解决问题】
以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以O，M为端点的拱门表示原拱门，EF表示大树，当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离h的取值范围.
20．（2025九下·深圳开学考）综合与探究
在正方形ABCD中，AB=4，点E是AB边上的动点，连接CE.
（1）【探索发现】如图1，过点D作DF⊥CE，求证：△CFD∽△EBC；
（2）【类比探究】如图2，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，当△CFD是等腰三角形时，求此时AE的长度与△CFD的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，将△CFD沿CE翻折得到△CFG，FG交BC于点H，请直接写出线段CH的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵该图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵该图不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、 ∵该图是轴对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 15000=1.5×104
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4 ，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为，
∴x=6，
故答案为：A.
【分析】 根据几何概率知识和折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： ∵∠ABO=60°，AB∥CD，
∴∠DCO=∠ABO=60°，
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠CDO=60°，
∴∠BOD=∠DCO+∠CDO=60°+60°=120°，即∠BOD的大小为120°
故答案为：D.
【分析】 由平行线的性质结合等边对等角可得∠DCO=∠CDO=60°，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作于，地面于，
依题意可得：，，，
∴，
∴坐垫离地面高度约为，
故答案为：A．
【分析】作于，地面于，依题意可得，，，再根据正弦定义可得CH，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设每件商品降价x元，
由题意可得：（60-20-x）（20+4x）=1400，
即（40-x）（20+4x）=1400，
故答案为：B.
【分析】 设每件商品降价x元，则每件的利润为（60-20-x）元，根据总利润=每件的利润×件数即可得解.
8．【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象；A字型相似模型
【解析】【解答】解： 当x=0时，PB-PQ=5，此时点P、Q都在点A处，
∴PB-PQ=AB-0=5，
∴AB=5，
当x=9时，点P从点A运动到点C处，
∴AB+BC=9，
∴BC=4，
∵∠C=90°，
∴AC=3，
∴sinA=，
由题意得：当y=0时，PB与PQ的长相等，
设BP长为a，则PQ为a，AP=5-a，
∵PQ⊥AC，
∴∠PQA=90°，
∴
a=，
如图，当点P运动到到BC的中点是，PB=PQ，此时PB=2，
∴点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的路程长为：，
故时长为=
故答案为：.
【分析】根据图2中当x=0时纵坐标为5，当x=9时，点P运动到点C处，判断出相关线段的长度，进而根据当PB与PQ的长两次相等时，点P的运动路程，除以2即为所求的时间.
9．【答案】a(x-1)(x+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 原式=a（x2-1）=a（x+1）（x-1） .
故答案为：a（x+1）（x-1）.
【分析】 先提公因式a，再利用平方差进行分解.
10．【答案】0（比-1大即可，）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 由题意得，Δ=（-2）2-4×1×（-m）＞0，
解得：m＞-1，
∴m的值可能是0，
故答案为：0.(答案不唯一)
【分析】 由题意可得Δ＞0，计算即可.
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人恰好选中同一种的结果，再根据概率公式即可求出答案.
12．【答案】8
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设B(a，)，D（0，b），
∴BD中点E坐标（），
∵E在反比例函数上，
∴，
∴b=，
∴D（0，），
∴AB=a，AD=，
∴矩形ABCD的面积为=8，
故答案为：8.
【分析】设B(a，)，D（0，b），利用中点公式表示E点坐标，结合反比例函数，求出a，b满足的关系式，从而表示AB与AD的值，进而表示出面积.
13．【答案】
【知识点】菱形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解： 分别过点D，E作RD⊥BC的延长线，EW⊥BC的延长线，且过F作ZN⊥BC分别交BC，AD于点N，Z，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，BC=CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCR=60°，
设BC=CD=5r，
∴在Rt△CDR中， sin∠DCR=，
∴DR=，
∵AD∥BC，RD⊥BC的延长线，EW⊥BC的延长线，
∴ZN=DR=，
∵，
∴CE=2r，DE=3r，
∴在Rt△BEW中，sin∠DCR=，cos∠DCR=，
∴EW=，CW=r，
BE=，
BF2-BO2=FO2=EF2-OE2，
即BF2-（BE-OE）2=EF2-OE2，
∴OE=，
FO= ，
∴FC=，
，
∴FN=
∴ZF=，
∵ △GHF∽△CBF，
∴，
故答案为：.
【分析】根据所做辅助线，，设CE=2r，ED=3r，根据菱形的性质和勾股定理分别求出DR，EW，CW，BE，再根据折叠，在△BFE中，利用勾股定理，表示OE长，从而得到FO，FC的长，进而在△BFC中，利用双勾股，表示得到FN的长，从而FZ=ZN-FN，最后得到.
14．【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可求出答案.
15．【答案】解：原式=
=
因为 ，，所以 ，，所以 x 只能为 0，当 时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】 根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出x只能为0，代入化简后的式子计算.
16．【答案】（1），
（2）甲
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
故答案为：89；90
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案.
（2）由甲、乙两种吉他得分的方差，比较得出，即可求出答案.
（3）根据平均数的意义即可求出答案.
（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
17．【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图，即为所作；
【方法一】
【方法二】
（2）解：解：如图，∵PD+PC=AD，又 PD+PA=AD，
∴PA=AC，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=6，
∵AD=8，
∴AC=10，
设 PA=AC=x，
∴PD=8-x，
∴x2=(8-x)2+62，
解得 x=，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△APQ∽△CBQ，
∴
∴
又 AQ+CQ=AC=10
∴AQ=
【知识点】尺规作图-垂直平分线；8字型相似模型
【解析】【分析】
（1）作AC的垂直平分线交AD于P，点P即为所求；
（2）设PA=AC=x，则PD=8-x，由勾股定理可得x的值， 证明△APQ∽△CBQ，再由相似三角形的性质计算即可得解.
19．【答案】（1）x=；
（2）解：如图所示，将点 F分别向左右两侧平移 3 个单位得到点 B、C，
将 BC向上平移 2+8=10 个单位，矩形 ABCD即为大树生长空间.
由题意得，OM=3，MF=10，BF=CF=3 ，
∴B（10，0），D（16，10）；
设新拱门抛物线解析式为 y= ax2 + bx，
∴抛物线顶点坐标为，
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得b1 = 2，b2 = 0 （不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为 y= ax2 + 2x，
将 B(10，0)代入得， 0 =102 a+10× 2 ，解得 a= -，
=5，
∵原拱门拱顶距地面为 4 米，
∴ 4 < h≤ 5，
将 D(16，10)代入得，10 =162 a+16× 2 ，解得 a= -，
∴，
将(25，0)代入得， 0 = 252 a+ 25× 2 ，解得 a= - ，
∴，
∴ ，
综上所述，h的取值范围是 4 < h≤ 5 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）①由中点坐标公式得：轴x==，
故答案为：x=；
②由题意得：y1=a1（x-2）（x-5）=a1（x2-7x+10），则10a=6，则a1=，由图可知y2开口比y1小，∴，
故答案为：
【分析】 （1）由中点坐标公式得：x==；
（2）由题意得：y1=a1（x-2）（x-5）=a1（x2-7x+10），则10a=6，则a1=， 由题意知，y2的开口比y1的小，即可求解；
（3）由拱顶到地面的距离为拱门宽的一半，得到 ，得到抛物线的表达式为：y=ax2+2x，将点B、D、H坐标分别带函数表达式，即可求解.
20．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，∠DCF+∠BCE=90°
∵DF⊥CE，
∴∠DFC=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠BCE=∠CDF
∴△CFD∽△EBC
（2）解：如图，作 DH⊥ CD于点 H，
可证△CDH≌△BCF，
可得 CD=BC> CF，
所以当△CFD为等腰三角形时，
只有以下两种可能：
1 当 CF=DF时，作 FH⊥CD于点 H，如图所示，
设 DF= CF= a，
∵ FH⊥CD，CF=DF，
∴DH=CH， FH=
∵BF⊥CE，
∴∠FCB+∠CBF=90°，
∵∠DCF+∠FCB=90°，
∴∠CBF=∠DCF，
∴△CFH∽△BCF
即
解得， a= 2，
∴CF= DF= 2，△CDF为等腰直角三角形，
∴此时点 A、F、C三点共线，
∴AE=0，
②当 DF=DC时，作 DH⊥CE于点 H，如右图所示，
设CH= a，
∵DF=DC， DH⊥ CE，
∴ FH= CH= a，
∵BF⊥CE，CD=BC=4，
∴△CDH≌△BCF，
∴BF=CH=a，
在 RtΔCFB中，CF2+ BF 2 = BC2 ，
即 (2a)2+ a2 = 42，
解得 a=
∴ DH= CF= 2a=
∵△CFB∽△CBE，
即
解得 BE=2，
∴AE=AB-BE=2
（3）解： ∵∠BFC=90°，
∴点F在以BC的中点M为圆心的圆上，延长DF交CB的延长线于点N，
设∠MFG=α，∠MFC=∠MCF=β，
∴∠GFC=∠DFC=α+β=∠FNC+∠MCF，
∴∠FNC=α，
∴∠FNC=∠MFG，
∵∠FMH=∠NMF，
∴△MFH∽△MNF，
∴，
MH=，
若CH最小，即MH最小，则MN最大，
当MN最大时，DN与圆M相切，即MF⊥DN，
设BN=x，
∴sinα=，
解得x= 或x=-4（舍） ，
∴MH=，CH=，
故CH最小值为.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；等腰直角三角形；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 （1）证出∠BCE=∠CDF，由相似三角形的判定可得出结论；
（2）分两种情况，①当CF=DF时，作FH⊥CD于点H，证明△CFH∽△BCF，得出， 求出CF=DF= 2，则可得出答案；②当DF=DC时，作DH⊥CE于点H，求出CF可得出答案；
（3）点F在以BC的中点M为圆心的圆上，延长DF交CB的延长线于点N，证明△MFH∽△MNF，得出， 得出MH=， 则MH最小，MN最大，即MF⊥DN，求出BN可得出答案.
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