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广东深圳宝安区文汇中学2025年八年级数学学科6月月考试卷
1．（2025八下·宝安月考）若分式 有意义，则满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·宝安月考）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·宝安月考）已知，下列式子一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·宝安月考）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·宝安月考）下列命题中，假命题的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
6．（2025八下·宝安月考）如图，在中，．将沿向右平移，得到（点E在线段上），若要使成立，则平移的距离是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
7．（2025八下·宝安月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F：②分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；③作射线DG，交边AB于点H：则点H的坐标为（　　）
A．（-3，3） B．（，3） C．（3，3） D．（-1，3）
8．（2025八下·宝安月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE交AE延长线于点F，垂足为点F，连接FD，若AB=6，AC=3，则DF长为（　　）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
9．（2025八下·宝安月考）因式分解：3x2-12=　 　.
10．（2025八下·宝安月考）已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，这个多边形的边数是　 　.
11．（2025八下·宝安月考）若关于的方程有增根，则的值是　 　．
12．（2025八下·宝安月考）如图，将含45°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，AC与直尺的另一边交于点D.当∠DBC=30°时，D，B两点分别落在直尺上的1cm，7cm处，则直尺的宽度为　 　cm.
13．（2025八下·宝安月考）如图，在四边形ABCD中，，，，，，E为平行四边形对角线BD上一点，F为CD边上一点，且，连接AE、AF，则的最小值为　 　.
14．（2025八下·宝安月考）
（1）先化简，再求值：，其中.
（2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来。
15．（2025八下·宝安月考）解方程：.
16．（2025八下·宝安月考）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
（1）画出将关于原点O的中心对称图形．
（2）将绕点E顺时针旋转得到，画出．
（3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______．
17．（2025八下·宝安月考）
（1）已知四边形ABCD.现有下列三个条件：①AB=CD：②AD//BC：③∠B=∠D：请从中选择两个能证明四边形ABCD是平行四边形的条件，并写出证明过程：
（2）若四边形ABCD是平行四边形.
Ⅰ实战与操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AD于点E：（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
Ⅱ猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段CD、DE和BC的数景关系，并加以证明.
18．（2025八下·宝安月考）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
19．（2025八下·宝安月考）【综合探究】在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2），点M为线段AB的中点，则线段AB的中点M的坐标为（，）.
（1）如图1，已知点A（-1，3）、B（3，-1），则线段AB的中点M坐标为　 　.
（2）如图2，在（1）的条件下，过点A、B的直线交x轴于点N，交y轴于点E，图中点C为x轴上的动点，当S△MCN=S△EON时，求点C的坐标.
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，且点C在x轴的负半轴时，点P是y轴上的动点，点Q是直线AB上的动点，存在以C，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为　 　.
20．（2025八下·宝安月考）几何探究
（1）【课本再现】
如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边A1O与边AB相交于点E，边CO与边CB相交于点F.在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE丝△BOF即可推导出来.请帮助小新完成下列问题：
①求证：△AEO≌△BFO：
②连接EF，则AE，CF，EF之间的数量关系是 .
（2）【类比迁移】
如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件，列出不等式求解．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称，不是轴对称；
B既不是中心对称，也不是轴对称；
C是中心对称，也是轴对称；
D不是中心对称，是轴对称.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称和轴对称的定义解答.
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵aA：a-1B：，故该选项正确；
C：当c>0时，acbc；当c=0时，ac=bc，该选项错误；
D：-a>-b，3-a>3-b，该选项错误.
故答案为：B.
【分析】 不等式性质1：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变；由此判断即可.
4．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：将多项式变形为几个整式乘积的形式，即为因式分解.
故答案为：A.
【分析】根据因式分解概念解答.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，故选项A不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故选项C不符合题意；
D、对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，故选项D符合题意.
故选D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方性质对角线的判定方法进行判断即可．
6．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】 本题考查平移的性质.根据平移的性质：“平移前后对应线段相等”，可推出，，再利用线段的运算可得：，代入数据进行计算可求出答案．
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： ∵A（0，3），D（1，0），
∴OA=3，OD=1，
∵∠AOD=90°，
∴AD=，
∵四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，
∴AB∥x轴，
由作图得DH平分∠ADC，
∴∠ADH=∠CDH，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠CDH，
∴∠ADH=∠AHD，
∴AH=AD=
∵AH∥x轴，
∴H（，3），
故答案为：B.
【分析】根据角平分线和AB∥DC，可推出AD=AH，利用勾股定理求出AD的长度，从而表示H坐标.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
如图，分别延长AC、BF交于点G，
∵AE平分∠BAC，BF⊥AE，
∴AG=AB=6，BF=FG，
∴CG=AG-AC=6-3=3，
∵BF=FG，AD=DC，
∴DF是△BCG的中位线，
∴DF=0.5CG=1.5
故答案为：C.
【分析】 分别延长AC、BF交于点G，利用三线合一逆定理，得到AG=AB=6，BF=FG，再根据三角形中位线定理计算即可．
9．【答案】3(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 3x2-12=3（x2-4）=3(x+2)(x-2)
故答案为：3(x+2)(x-2)【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式因式分解即可.
10．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设该多边形为n边形，由题可列：180（n-2）=360×3，解得n=8.
故答案为：8.
【分析】根据多边形内角和外角和公式求解.
11．【答案】2
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：原式=，
去分母得：2-2x+m=3x-6，
根据分式方程有增根得：x-2=0，则x=2，
将x=2代入整式方程：2-4+m=0，
解得：m=2.
故答案为：2.
【分析】先将原方程化简成整式方程，再根据分式方程有增根得到x=2，再x=2代入整式方程即可得到结果.
12．【答案】
【知识点】解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△CBD中，DB=6，∠DBC=30°，∴DC=3，CB=，设直尺宽度为h，则=sin30°，∴h=，
故答案为：.
【分析】利用含30°的直角三角形的三边关系求解即可.
13．【答案】7.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作CP∥BD，且CP=AB，过P分别作BC，AG的垂线段PM，PN，
因为AB∥CD，BD∥CP，∴∠ABE=∠PCF，又∵BE=CF，AB=CP，∴△BEA≌△CFP，∴EA=FP，∴AF+AE=AF+FP，当A，F，P三点共线时，AF+FP最小，∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADB=∠DBC=∠PCM=30°，∴CM=CP=AB=，PM=3∴GM=GC+CM=，∵∠PNG=∠AGC=∠GMP=90°，∴NP=GM=，NG=PM=3，∴AN=AG-NG=1，∴AP=，
故答案为：7.
【分析】 先证明△ABE≌△PCF（SAS），得到PF=AE，当A、F、P三点共线时，AE+AF最小值即PF+AF的最小值为AP的长，在矩形NGMP中，求出NG，NP的长，进而利用勾股定理求得AP的长.
14．【答案】（1）解：原式=，
当x=2时，原式=.
（2）解第一个不等式，得：x>2；
解第二个不等式，得：x-2≤10-3x，
即x≤3；
∴原不等式组的解集为2【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的加减法先对括号内进行化简，再将除法转化为乘法约分化简，最后代指求解.
（2）分别解出两个不等式的解集，利用数轴表示解集，取公共部分，在数轴上表示不等式组的解集.
15．【答案】解：将原方程转化为 ，
去分母得：2（x-3）+1=x-2，
解之：x=3，
经检验x=3是原方程的增根，
∴原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将原方程进行变形，再去分母，然后求出方程的解，最后检验即可.
16．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）
【知识点】旋转的性质；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是．
故答案为：．
【分析】（1）作点A，B，C关于原点对称的点，再依次连接即可；
（2）将点D，F绕点E顺时针旋转得到点，再依次连接；
（3）连接，并作的垂直平分线，再连接，并作的垂直平分线，两条直线交于点P，确定坐标即可．
（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是．
故答案为：．
17．【答案】（1）（1）选择②③．
理由：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠A=∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）（2）（Ⅰ）图形如图所示：
（Ⅱ）结论：CD+DE=BC．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=CD，
∵AE+DE=AC=BC，
∴CD+DE=BC．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】 （1）选择②③，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）（Ⅰ）根据要求作出图形；
（Ⅱ）结论：CD+DE=BC，证明AB=CD=AE即可.
18．【答案】（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是（x+2）元，
根据题意得：，
解得 x＝10，
经检验，x＝10 是原分式方程的解，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）解：由（1）可知，x+2＝12，
设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进A粽子（400﹣m）千克，
根据题意得：12m+10（400﹣m）≤4600，
解得：m≤300，
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出不等式，解不等式即可．
19．【答案】（1）（1，1）
（2）解：将点A、B坐标代入直线AB的解析式为y=kx+b，得：
，
解得，
∴AB的解析式为y=-x+2，
∴得E（0，2），N（2，0），
∴S△EON=2=S△MCN，
∴CN×=2，
∴CN=4，
∴C（-2，0）或C（6，0）.
（3）（3，-1）或（-3，5）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】（1）∵点A（-1，3）、B（3，-1），代入中点坐标公式，∴线段AB的中点M坐标为（1，1）；
故答案为：（1，1）．
（3）
①如图，当点P在y轴负半轴时，
∵四边形CPQM是平行四边形，∴PC∥AB，设PC解析式为y=-x+b，代入点C（-2，0）坐标得，b=-2，∴P（0，-2），由中点坐标公式得：1+0=-2+xQ，1+（-2）=0+yQ，∴Q（3，-1）．
如图，当点P在y轴正半轴时，
∵CMPQ是平行四边形，M是AB的中点，∴点A是QM的中点，由中点坐标公式得：xQ+1=-1×2，yQ+1=3×2，∴Q（-3，5），综上分析，满足条件的点Q坐标为（3，-1）或（-3，5）．故答案为：（3，-1）或（-3，5）．
【分析】 （1）将点AB坐标代入中点坐标公式计算即可；
（2）先求出直线AB解析式得到点E、N坐标，计算出S△MCN=2，利用面积建立方程解出CN值，即可得到点C坐标；
（3）分两种情况讨论①当点P在y轴负半轴时，②当点P在y轴正半轴时，分别求出点Q坐标即可.
20．【答案】（1）证明：在正方形和正方形A1B1C1O中，
AB=BC，OA=OB，∠AOB=∠A1OC1=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
又∵AO=OB，∠OAB=∠OBF=45°，
∴△AEO≌△BFO（ASA）；
连接EF，
∵△AEO≌△BFO，
∴AE=BF，
∵AB=BC，
∴AB-AE=BC-BF，
即BE=CF，
∵∠ABC=90°，
在Rt△BEF中，
BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2；
（2）AE2+CF2=EF2，
证明：连接AC，延长EO交CD于点G，连接FG，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴点O是AC的中点．
∴AO=CO，在矩形ABCD中，∠BCD=90°，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠AEO=∠CGO，
∴△AEO≌△CGO，
AE=CG，OE=OG，
在矩形A1B1C1O中，∠A1OC1=90°，
∴EF=FG，
在Rt△FCG中，CG2+CF2=GF2，
∴AE2+CF2=EF2；
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；四边形的综合
【解析】【分析】
（1）①现根据正方形的性质，推出OA=OB，∠AOB=∠A1OC1=90°，∠AOE=∠BOF，根据ASA进而证明即可；
②△AEO≌△BFO，进而推出BE=CF，在Rt△BEF中，BF2+BE2=EF2，根据等量代换即可求出AE2+CF2=EF2；
（2）连接AC，延长EO交CD于点G，连接FG，根据矩形的性质可得点O是AC的中点，再证明△AEO≌△CGO，可得AE=CG，OE=OG，再由线段垂直平分线的性质可得EF=FG，在Rt△FCG中，根据勾股定理，即可求解；
1 / 1广东深圳宝安区文汇中学2025年八年级数学学科6月月考试卷
1．（2025八下·宝安月考）若分式 有意义，则满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件，列出不等式求解．
2．（2025八下·宝安月考）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称，不是轴对称；
B既不是中心对称，也不是轴对称；
C是中心对称，也是轴对称；
D不是中心对称，是轴对称.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称和轴对称的定义解答.
3．（2025八下·宝安月考）已知，下列式子一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵aA：a-1B：，故该选项正确；
C：当c>0时，acbc；当c=0时，ac=bc，该选项错误；
D：-a>-b，3-a>3-b，该选项错误.
故答案为：B.
【分析】 不等式性质1：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变；由此判断即可.
4．（2025八下·宝安月考）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：将多项式变形为几个整式乘积的形式，即为因式分解.
故答案为：A.
【分析】根据因式分解概念解答.
5．（2025八下·宝安月考）下列命题中，假命题的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，故选项A不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故选项C不符合题意；
D、对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，故选项D符合题意.
故选D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方性质对角线的判定方法进行判断即可．
6．（2025八下·宝安月考）如图，在中，．将沿向右平移，得到（点E在线段上），若要使成立，则平移的距离是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】 本题考查平移的性质.根据平移的性质：“平移前后对应线段相等”，可推出，，再利用线段的运算可得：，代入数据进行计算可求出答案．
7．（2025八下·宝安月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F：②分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；③作射线DG，交边AB于点H：则点H的坐标为（　　）
A．（-3，3） B．（，3） C．（3，3） D．（-1，3）
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： ∵A（0，3），D（1，0），
∴OA=3，OD=1，
∵∠AOD=90°，
∴AD=，
∵四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，
∴AB∥x轴，
由作图得DH平分∠ADC，
∴∠ADH=∠CDH，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠CDH，
∴∠ADH=∠AHD，
∴AH=AD=
∵AH∥x轴，
∴H（，3），
故答案为：B.
【分析】根据角平分线和AB∥DC，可推出AD=AH，利用勾股定理求出AD的长度，从而表示H坐标.
8．（2025八下·宝安月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE交AE延长线于点F，垂足为点F，连接FD，若AB=6，AC=3，则DF长为（　　）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
如图，分别延长AC、BF交于点G，
∵AE平分∠BAC，BF⊥AE，
∴AG=AB=6，BF=FG，
∴CG=AG-AC=6-3=3，
∵BF=FG，AD=DC，
∴DF是△BCG的中位线，
∴DF=0.5CG=1.5
故答案为：C.
【分析】 分别延长AC、BF交于点G，利用三线合一逆定理，得到AG=AB=6，BF=FG，再根据三角形中位线定理计算即可．
9．（2025八下·宝安月考）因式分解：3x2-12=　 　.
【答案】3(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 3x2-12=3（x2-4）=3(x+2)(x-2)
故答案为：3(x+2)(x-2)【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式因式分解即可.
10．（2025八下·宝安月考）已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，这个多边形的边数是　 　.
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设该多边形为n边形，由题可列：180（n-2）=360×3，解得n=8.
故答案为：8.
【分析】根据多边形内角和外角和公式求解.
11．（2025八下·宝安月考）若关于的方程有增根，则的值是　 　．
【答案】2
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：原式=，
去分母得：2-2x+m=3x-6，
根据分式方程有增根得：x-2=0，则x=2，
将x=2代入整式方程：2-4+m=0，
解得：m=2.
故答案为：2.
【分析】先将原方程化简成整式方程，再根据分式方程有增根得到x=2，再x=2代入整式方程即可得到结果.
12．（2025八下·宝安月考）如图，将含45°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，AC与直尺的另一边交于点D.当∠DBC=30°时，D，B两点分别落在直尺上的1cm，7cm处，则直尺的宽度为　 　cm.
【答案】
【知识点】解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△CBD中，DB=6，∠DBC=30°，∴DC=3，CB=，设直尺宽度为h，则=sin30°，∴h=，
故答案为：.
【分析】利用含30°的直角三角形的三边关系求解即可.
13．（2025八下·宝安月考）如图，在四边形ABCD中，，，，，，E为平行四边形对角线BD上一点，F为CD边上一点，且，连接AE、AF，则的最小值为　 　.
【答案】7.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作CP∥BD，且CP=AB，过P分别作BC，AG的垂线段PM，PN，
因为AB∥CD，BD∥CP，∴∠ABE=∠PCF，又∵BE=CF，AB=CP，∴△BEA≌△CFP，∴EA=FP，∴AF+AE=AF+FP，当A，F，P三点共线时，AF+FP最小，∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADB=∠DBC=∠PCM=30°，∴CM=CP=AB=，PM=3∴GM=GC+CM=，∵∠PNG=∠AGC=∠GMP=90°，∴NP=GM=，NG=PM=3，∴AN=AG-NG=1，∴AP=，
故答案为：7.
【分析】 先证明△ABE≌△PCF（SAS），得到PF=AE，当A、F、P三点共线时，AE+AF最小值即PF+AF的最小值为AP的长，在矩形NGMP中，求出NG，NP的长，进而利用勾股定理求得AP的长.
14．（2025八下·宝安月考）
（1）先化简，再求值：，其中.
（2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来。
【答案】（1）解：原式=，
当x=2时，原式=.
（2）解第一个不等式，得：x>2；
解第二个不等式，得：x-2≤10-3x，
即x≤3；
∴原不等式组的解集为2【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的加减法先对括号内进行化简，再将除法转化为乘法约分化简，最后代指求解.
（2）分别解出两个不等式的解集，利用数轴表示解集，取公共部分，在数轴上表示不等式组的解集.
15．（2025八下·宝安月考）解方程：.
【答案】解：将原方程转化为 ，
去分母得：2（x-3）+1=x-2，
解之：x=3，
经检验x=3是原方程的增根，
∴原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将原方程进行变形，再去分母，然后求出方程的解，最后检验即可.
16．（2025八下·宝安月考）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
（1）画出将关于原点O的中心对称图形．
（2）将绕点E顺时针旋转得到，画出．
（3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）
【知识点】旋转的性质；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是．
故答案为：．
【分析】（1）作点A，B，C关于原点对称的点，再依次连接即可；
（2）将点D，F绕点E顺时针旋转得到点，再依次连接；
（3）连接，并作的垂直平分线，再连接，并作的垂直平分线，两条直线交于点P，确定坐标即可．
（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是．
故答案为：．
17．（2025八下·宝安月考）
（1）已知四边形ABCD.现有下列三个条件：①AB=CD：②AD//BC：③∠B=∠D：请从中选择两个能证明四边形ABCD是平行四边形的条件，并写出证明过程：
（2）若四边形ABCD是平行四边形.
Ⅰ实战与操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AD于点E：（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
Ⅱ猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段CD、DE和BC的数景关系，并加以证明.
【答案】（1）（1）选择②③．
理由：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠A=∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）（2）（Ⅰ）图形如图所示：
（Ⅱ）结论：CD+DE=BC．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=CD，
∵AE+DE=AC=BC，
∴CD+DE=BC．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】 （1）选择②③，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）（Ⅰ）根据要求作出图形；
（Ⅱ）结论：CD+DE=BC，证明AB=CD=AE即可.
18．（2025八下·宝安月考）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
【答案】（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是（x+2）元，
根据题意得：，
解得 x＝10，
经检验，x＝10 是原分式方程的解，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）解：由（1）可知，x+2＝12，
设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进A粽子（400﹣m）千克，
根据题意得：12m+10（400﹣m）≤4600，
解得：m≤300，
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出不等式，解不等式即可．
19．（2025八下·宝安月考）【综合探究】在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2），点M为线段AB的中点，则线段AB的中点M的坐标为（，）.
（1）如图1，已知点A（-1，3）、B（3，-1），则线段AB的中点M坐标为　 　.
（2）如图2，在（1）的条件下，过点A、B的直线交x轴于点N，交y轴于点E，图中点C为x轴上的动点，当S△MCN=S△EON时，求点C的坐标.
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，且点C在x轴的负半轴时，点P是y轴上的动点，点Q是直线AB上的动点，存在以C，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为　 　.
【答案】（1）（1，1）
（2）解：将点A、B坐标代入直线AB的解析式为y=kx+b，得：
，
解得，
∴AB的解析式为y=-x+2，
∴得E（0，2），N（2，0），
∴S△EON=2=S△MCN，
∴CN×=2，
∴CN=4，
∴C（-2，0）或C（6，0）.
（3）（3，-1）或（-3，5）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】（1）∵点A（-1，3）、B（3，-1），代入中点坐标公式，∴线段AB的中点M坐标为（1，1）；
故答案为：（1，1）．
（3）
①如图，当点P在y轴负半轴时，
∵四边形CPQM是平行四边形，∴PC∥AB，设PC解析式为y=-x+b，代入点C（-2，0）坐标得，b=-2，∴P（0，-2），由中点坐标公式得：1+0=-2+xQ，1+（-2）=0+yQ，∴Q（3，-1）．
如图，当点P在y轴正半轴时，
∵CMPQ是平行四边形，M是AB的中点，∴点A是QM的中点，由中点坐标公式得：xQ+1=-1×2，yQ+1=3×2，∴Q（-3，5），综上分析，满足条件的点Q坐标为（3，-1）或（-3，5）．故答案为：（3，-1）或（-3，5）．
【分析】 （1）将点AB坐标代入中点坐标公式计算即可；
（2）先求出直线AB解析式得到点E、N坐标，计算出S△MCN=2，利用面积建立方程解出CN值，即可得到点C坐标；
（3）分两种情况讨论①当点P在y轴负半轴时，②当点P在y轴正半轴时，分别求出点Q坐标即可.
20．（2025八下·宝安月考）几何探究
（1）【课本再现】
如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边A1O与边AB相交于点E，边CO与边CB相交于点F.在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE丝△BOF即可推导出来.请帮助小新完成下列问题：
①求证：△AEO≌△BFO：
②连接EF，则AE，CF，EF之间的数量关系是 .
（2）【类比迁移】
如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明：
【答案】（1）证明：在正方形和正方形A1B1C1O中，
AB=BC，OA=OB，∠AOB=∠A1OC1=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
又∵AO=OB，∠OAB=∠OBF=45°，
∴△AEO≌△BFO（ASA）；
连接EF，
∵△AEO≌△BFO，
∴AE=BF，
∵AB=BC，
∴AB-AE=BC-BF，
即BE=CF，
∵∠ABC=90°，
在Rt△BEF中，
BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2；
（2）AE2+CF2=EF2，
证明：连接AC，延长EO交CD于点G，连接FG，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴点O是AC的中点．
∴AO=CO，在矩形ABCD中，∠BCD=90°，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠AEO=∠CGO，
∴△AEO≌△CGO，
AE=CG，OE=OG，
在矩形A1B1C1O中，∠A1OC1=90°，
∴EF=FG，
在Rt△FCG中，CG2+CF2=GF2，
∴AE2+CF2=EF2；
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；四边形的综合
【解析】【分析】
（1）①现根据正方形的性质，推出OA=OB，∠AOB=∠A1OC1=90°，∠AOE=∠BOF，根据ASA进而证明即可；
②△AEO≌△BFO，进而推出BE=CF，在Rt△BEF中，BF2+BE2=EF2，根据等量代换即可求出AE2+CF2=EF2；
（2）连接AC，延长EO交CD于点G，连接FG，根据矩形的性质可得点O是AC的中点，再证明△AEO≌△CGO，可得AE=CG，OE=OG，再由线段垂直平分线的性质可得EF=FG，在Rt△FCG中，根据勾股定理，即可求解；
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