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浙江省杭州市临平区2025年中考二模数学试题
1．（2025·临平模拟）如果高于海平面记作，那么低于海平面应该记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果高于海平面记作，那么低于海平面应该记作.
故答案为：B．
【分析】根据用正负数表示相反意义的量，即可得解．
2．（2025·临平模拟）如图所示的几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面观察，可几何体的俯视图如下图所示：
故答案为：B．
【分析】本题主要考查几何体的三视图，根据俯视图的定义，从几何体的上方观察图形即可得到答案.
3．（2025·临平模拟） 随着科学技术的不断发展，网络已经成为新时代的“宠儿”，截至年月，我国移动电话用户达亿户，将亿用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 10.02亿=1002000000=1.002×109.
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4．（2025·临平模拟）如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，不等号两边同时乘以3得，故A正确；
B、由，不等号两边同时乘以-2得，故B错误；
C、由，不等号两边同时加上2得，故C错误；
D、由，不等号两边同时减去1得，故D错误；
故答案为：A．
【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的性质，逐项进行判断即可．
5．（2025·临平模拟）如果代数式x2-2x+5的值为3，那么代数式2x-x2的值等于（　　）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x2-2x+5=3，
∴x2-2x=-2，
∴当x2-2x=-2时，原式=-(x2-2x)=-(-2)=2，
故答案为：A.
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可.
6．（2025·临平模拟）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得，再结合，利用角的运算求出∠DBC的度数即可.
7．（2025·临平模拟） 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，
得：
故答案为：D.
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+40)件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，此题得解.
8．（2025·临平模拟）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相交两圆的性质；尺规作图-垂线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：A、根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图方法，可知是斜边上的高线，故A不符合题意；
B、由直径所对的圆周角是直角得，则是斜边上的高线，故B不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦被连接两圆的连心线垂直平分得是斜边上的高线，故C不符合题意；
D、无法证明是斜边上的高线，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图方法，直径所对的圆周角是直角，相交两圆的公共弦的性质，据此逐项进行判断即可.
9．（2025·临平模拟）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①，②都错误 D．①，②都正确
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；
∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正确；
故选：D．
【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断②．
10．（2025·临平模拟）已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数过点，，三点，
∴，，，
∵，，
∴，
，
∴，
若，则，
解得：或，故A错误；
若，则，
解得：，故B错误；
若，则，故C正确；
若，例如时，即，故D错误；
故答案为：Ｃ．
【分析】先将点的坐标代入二次函数表达式求出的值，从而得的值，进而得的值，再分别分析各选项即可得出答案．
11．（2025·临平模拟） 分解因式：　 　．
【答案】或
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：或 .
【分析】利用平方差公式分解因式即可.
12．（2025·临平模拟）如图，是的三个外角，则的度数是　 　．
【答案】360°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，
∴，
故答案为：360°.
【分析】根据多边形的外角和等于360°得到答案.
13．（2025·临平模拟）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到点，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于，
∵，
∴，
∴，
∵将点绕原点按逆时针方向旋转到点，
∴，
∴点在轴上，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作轴于，根据点的坐标得，则可推出，然后由旋转的性质可得，于是得点在轴上，据此可得答案．
14．（2025·临平模拟） 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中随机选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设四种水果分别为ABCD，则1个人选两种水果的情况共有：
AB，AC，AD，BC，BD，CD，六种情况.
则两人相同的概率为.
故答案为： .
【分析】罗列每个人选取两种水果的所有情况即可.
15．（2025·临平模拟） 已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是　 　．
【答案】或
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： 设5t为方程x2-x+5c=0的一个根，则t为x2+x+c=0的一个根，
∴t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c=0②，
②-①得4t2-2t=0，
故t=0.5或t=0，
当t=0时，得c=0，不合题意舍去；
当t=0.5时，代入得c=.
故答案为： .
【分析】 设x2+x+c=0的一个根为t，5t为方程x2-x+5c=0的一个根，根据方程解的定义得到t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c+0②，然后利用加减消元法解方程可得到c的值.
16．（2025·临平模拟）如图，已知正方形与正方形，，分别是，的中点，当点落在线段上时，点恰好在上．记正方形的面积为，正方形的面积为，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，延长交于，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵，分别是，的中点，
∴，
∴四边形，四边形都是矩形，
∵，，
∴，
∴四边形，四边形都是矩形，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
在中，由勾股定理得，
∴正方形的面积为，
∵，
∴正方形的面积为，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于，延长交于，先根据正方形的性质与矩形的判定推出四边形，，，都是矩形，得，然后设，，则，，，利用“一线三垂直”全等模型证明，得，，则，进而得，接下来证明是线段的垂直平分线，则，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得正方形的面积，正方形的面积，最后求比即可.
17．（2025·临平模拟）计算：
【答案】解：原式=
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值、特殊角三角函数值、二次根式的性质及负整数指数幂的性质先化简，再计算加减即可.
18．（2025·临平模拟）计算：（1） ； （2）
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式，
.
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式以及单项式乘多项式将原式展开，然后合并同类项即可；
(2)先将括号里的分式进行通分，同时将除法转换成乘法，然后结合平方差公式以及完全平方公式进行约分即可.
19．（2025·临平模拟）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段（E，F均为格点），各画出一条即可．
【答案】解：如图，线段即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂线
【解析】【分析】图1：构造平行四边形ABFE，根据平行四边形的性质得EF∥AB；
图2：BC是5×1网格的对角线，找1×5网格对角线EF即可；
图3：根据垂直平分线的判定，即可找到EF.
20．（2025·临平模拟）在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为，通过的电流强度为．
（1）若电阻为，通过的电流强度为，求关于的函数表达式．
（2）如果电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？
【答案】（1）解：∵电压不变，，且电阻为，通过的电流强度为，
∴，
∴关于的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴在每一象限内，随的增大而减小，
∵，
∴若电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将变亮．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）根据反比例函数的性质：对于，当时，图像位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小；当时，图像位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大.应用反比例函数的性质，即可得到答案.
（1）解：∵电压不变，，
∴，
；
（2），
，随的增大而减小，
若电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将变亮．
21．（2025·临平模拟）学校体育组为了解本学期九年级女生体质健康的变化情况，从九年级全体女生中随机抽取名女生进行体质测试，并调取这名女生上学期的体质测试成绩进行对比．经过对两次成绩进行整理、描述和分析，得出了下面的部分信息：
【信息1】两次测试成绩（满分为100分）的频数分布直方图如下：
（数据分组：，，，，）
【信息2】抽取的名女生上学期测试成绩在的具体分数是：
80 81 83 84 84 88
【信息3】抽取的名女生两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下表：
学期 平均数 中位数 众数
上学期 82.9 84
本学期 82.9 86 86
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本题中，的值为___________，的值为_________．
（2）学校体育组计划根据本学期统计数据安排九年级80分以下的同学参加体质加强训练项目，若九年级共有90名女生，估计参加此项目的女生人数．
（3）小林比较了两个学期测试成绩的平均数，发现没有区别，从而得出结论：九年级女生的体质健康没有发生变化．你是否同意他的看法？请说明理由．
【答案】解：（1）15，83；
（2）根据题意，得（（人），
∴估计参加此项目的女生约为18人；
（3）不同意，理由如下：
平均数只是衡量数据发展变化的一个指标，在本题中，虽然平均数没有变化，但是中位数和众数都在提高，说明九年级女生的体质健康成绩呈上升趋势．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；常用统计量的选择；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得m=1+1+1+8+4=15，
∵上学期抽取的名女生中有2人，有3人，有6人，有4人，
∴可知上学期测试成绩中位数在之间，
∵上学期的具体分数是：80，81，83，84，84，88，
∴中位数n=83，
故答案为：15，83．
【分析】（1）根据本学期测试成绩频数分布直方图的数据求和即可得出m的值，根据上学期测试成绩频数分布直方图的数据可知抽取的名女生上学期测试成绩中位数在之间，然后根据信息2中给出的的具体分数分数即可求出n的值；
（2）用90乘以本学期测试成绩80分以下学生人数所占比即可；
（3）衡量数据不能仅根据平均数这一指标就可以，当平均数相等时还需比较中位数和众数．
22．（2025·临平模拟）课本56页中有这样一道题：证明．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，
（1）小玲在思考这道题时．画出图形，写出已知和求证．
已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，．
求证：．
请你帮她完成证明过程．
（2）小玲接着提出了两个猜想：
①如果两个三角形有两条边和第三边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等；
②如果两个三角形有两条边和第三边上的高分别相等，那么这两个三角形全等；
请你分别判断这两个猜想是否正确，如果正确，请予以证明，如果不正确，请举出反例．
【答案】（1）证明：∵是边上的中线，是边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：命题①正确，证明如下：
已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且.
求证：.
证明：如图，延长到，使，连接，延长到，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可得，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴；
命题②不正确，反例如下：
如图3、图4，
在和中，，，边上的高线为，边上的高线为，，与不全等．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）求出，从而得，得，进而；
（2）①延长到，使，连接，延长到，使，连接，证明，得，，同理得，，从而得，，进而证明，得，，于是得，，即可证明；
②如图3、图4，一个是锐角三角形，一个是钝角三角形， 举出反例，即可得到结论不成立．
23．（2025·临平模拟）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当时，求车流速度v关于x的解析式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时，）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
【答案】解：（1）∵当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，
∴当时，，
∵当时，车流速度是车流密度的一次函数，
∴当时，设，
根据题意得，，
解得：，
∴函数解析式为：，
∴车流速度关于的解析式为；
（2）由（1）得当时，有，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，其最大值为；
当时，有，
∵，
∴当时，有最大值为；
综上所述，当时，最大值约为3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知分两种情况讨论：当时，，当时，利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据题意分两部分进行讨论：当时，，利用一次函数的增减性可得在此范围内的最值；当时，，利用二次函数的最值问题求解；最后综合两部分的最大值比较即可得出结论.
24．（2025·临平模拟）如图1，在中，是钝角，以为直径的圆与边交于点D，与延长线交于点E，连结，连结交于点G．
（1）求证：．
（2）记与之间是否存在确定的数量关系？若存在，请求出该数量关系；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点G关于的对称点在以为直径的圆上，证明点G是的内心．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵为圆的直径，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：与之间存在数量关系为，理由如下：
如图，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）证明：如图，连接，，，
∵点关于的对称点在以为直径的圆上，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴为的平分线，
∵，，
∴，
∴为的平分线，
∴点是的内心．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到 ，由等腰三角形“三线合一”的性质得到，最后利用直角三角形斜边上的中线性质得证结论；
（2）根据圆周角定理得，，从而推出，得，然后根据圆内接四边形的性质得，进而推出，得，利用等量代换的性质得到，代入数据即可求解；
（3）连接，，，利用轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质得到垂直平分，则，，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到，，再利用圆周角定理得到为的平分线，为的平分线，最后利用三角形的内心为三个内角平分线的交点的性质得出结论即可．
（1）证明：连接．
∵为直径，
∴ ．
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形斜边上的中线，
∴，
∴；
（2）解：与之间存在确定的数量关系，该数量关系为．
理由：
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）证明：连接，，，如图，
∵点G关于的对称点在以为直径的圆上，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
∴为的平分线，
∵，，
∴，
∴为的平分线，
∴点G是的内心．
1 / 1浙江省杭州市临平区2025年中考二模数学试题
1．（2025·临平模拟）如果高于海平面记作，那么低于海平面应该记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·临平模拟）如图所示的几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·临平模拟） 随着科学技术的不断发展，网络已经成为新时代的“宠儿”，截至年月，我国移动电话用户达亿户，将亿用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·临平模拟）如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·临平模拟）如果代数式x2-2x+5的值为3，那么代数式2x-x2的值等于（　　）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
6．（2025·临平模拟）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·临平模拟） 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·临平模拟）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·临平模拟）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①，②都错误 D．①，②都正确
10．（2025·临平模拟）已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2025·临平模拟） 分解因式：　 　．
12．（2025·临平模拟）如图，是的三个外角，则的度数是　 　．
13．（2025·临平模拟）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到点，则点的坐标是　 　．
14．（2025·临平模拟） 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中随机选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为　 　．
15．（2025·临平模拟） 已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是　 　．
16．（2025·临平模拟）如图，已知正方形与正方形，，分别是，的中点，当点落在线段上时，点恰好在上．记正方形的面积为，正方形的面积为，则　 　．
17．（2025·临平模拟）计算：
18．（2025·临平模拟）计算：（1） ； （2）
19．（2025·临平模拟）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段（E，F均为格点），各画出一条即可．
20．（2025·临平模拟）在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为，通过的电流强度为．
（1）若电阻为，通过的电流强度为，求关于的函数表达式．
（2）如果电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？
21．（2025·临平模拟）学校体育组为了解本学期九年级女生体质健康的变化情况，从九年级全体女生中随机抽取名女生进行体质测试，并调取这名女生上学期的体质测试成绩进行对比．经过对两次成绩进行整理、描述和分析，得出了下面的部分信息：
【信息1】两次测试成绩（满分为100分）的频数分布直方图如下：
（数据分组：，，，，）
【信息2】抽取的名女生上学期测试成绩在的具体分数是：
80 81 83 84 84 88
【信息3】抽取的名女生两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下表：
学期 平均数 中位数 众数
上学期 82.9 84
本学期 82.9 86 86
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本题中，的值为___________，的值为_________．
（2）学校体育组计划根据本学期统计数据安排九年级80分以下的同学参加体质加强训练项目，若九年级共有90名女生，估计参加此项目的女生人数．
（3）小林比较了两个学期测试成绩的平均数，发现没有区别，从而得出结论：九年级女生的体质健康没有发生变化．你是否同意他的看法？请说明理由．
22．（2025·临平模拟）课本56页中有这样一道题：证明．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，
（1）小玲在思考这道题时．画出图形，写出已知和求证．
已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，．
求证：．
请你帮她完成证明过程．
（2）小玲接着提出了两个猜想：
①如果两个三角形有两条边和第三边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等；
②如果两个三角形有两条边和第三边上的高分别相等，那么这两个三角形全等；
请你分别判断这两个猜想是否正确，如果正确，请予以证明，如果不正确，请举出反例．
23．（2025·临平模拟）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当时，求车流速度v关于x的解析式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时，）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
24．（2025·临平模拟）如图1，在中，是钝角，以为直径的圆与边交于点D，与延长线交于点E，连结，连结交于点G．
（1）求证：．
（2）记与之间是否存在确定的数量关系？若存在，请求出该数量关系；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点G关于的对称点在以为直径的圆上，证明点G是的内心．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果高于海平面记作，那么低于海平面应该记作.
故答案为：B．
【分析】根据用正负数表示相反意义的量，即可得解．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面观察，可几何体的俯视图如下图所示：
故答案为：B．
【分析】本题主要考查几何体的三视图，根据俯视图的定义，从几何体的上方观察图形即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 10.02亿=1002000000=1.002×109.
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，不等号两边同时乘以3得，故A正确；
B、由，不等号两边同时乘以-2得，故B错误；
C、由，不等号两边同时加上2得，故C错误；
D、由，不等号两边同时减去1得，故D错误；
故答案为：A．
【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的性质，逐项进行判断即可．
5．【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x2-2x+5=3，
∴x2-2x=-2，
∴当x2-2x=-2时，原式=-(x2-2x)=-(-2)=2，
故答案为：A.
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可.
6．【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得，再结合，利用角的运算求出∠DBC的度数即可.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，
得：
故答案为：D.
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+40)件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，此题得解.
8．【答案】D
【知识点】相交两圆的性质；尺规作图-垂线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：A、根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图方法，可知是斜边上的高线，故A不符合题意；
B、由直径所对的圆周角是直角得，则是斜边上的高线，故B不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦被连接两圆的连心线垂直平分得是斜边上的高线，故C不符合题意；
D、无法证明是斜边上的高线，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图方法，直径所对的圆周角是直角，相交两圆的公共弦的性质，据此逐项进行判断即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；
∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正确；
故选：D．
【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断②．
10．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数过点，，三点，
∴，，，
∵，，
∴，
，
∴，
若，则，
解得：或，故A错误；
若，则，
解得：，故B错误；
若，则，故C正确；
若，例如时，即，故D错误；
故答案为：Ｃ．
【分析】先将点的坐标代入二次函数表达式求出的值，从而得的值，进而得的值，再分别分析各选项即可得出答案．
11．【答案】或
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：或 .
【分析】利用平方差公式分解因式即可.
12．【答案】360°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，
∴，
故答案为：360°.
【分析】根据多边形的外角和等于360°得到答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于，
∵，
∴，
∴，
∵将点绕原点按逆时针方向旋转到点，
∴，
∴点在轴上，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作轴于，根据点的坐标得，则可推出，然后由旋转的性质可得，于是得点在轴上，据此可得答案．
14．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设四种水果分别为ABCD，则1个人选两种水果的情况共有：
AB，AC，AD，BC，BD，CD，六种情况.
则两人相同的概率为.
故答案为： .
【分析】罗列每个人选取两种水果的所有情况即可.
15．【答案】或
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： 设5t为方程x2-x+5c=0的一个根，则t为x2+x+c=0的一个根，
∴t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c=0②，
②-①得4t2-2t=0，
故t=0.5或t=0，
当t=0时，得c=0，不合题意舍去；
当t=0.5时，代入得c=.
故答案为： .
【分析】 设x2+x+c=0的一个根为t，5t为方程x2-x+5c=0的一个根，根据方程解的定义得到t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c+0②，然后利用加减消元法解方程可得到c的值.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，延长交于，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵，分别是，的中点，
∴，
∴四边形，四边形都是矩形，
∵，，
∴，
∴四边形，四边形都是矩形，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
在中，由勾股定理得，
∴正方形的面积为，
∵，
∴正方形的面积为，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于，延长交于，先根据正方形的性质与矩形的判定推出四边形，，，都是矩形，得，然后设，，则，，，利用“一线三垂直”全等模型证明，得，，则，进而得，接下来证明是线段的垂直平分线，则，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得正方形的面积，正方形的面积，最后求比即可.
17．【答案】解：原式=
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值、特殊角三角函数值、二次根式的性质及负整数指数幂的性质先化简，再计算加减即可.
18．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式，
.
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式以及单项式乘多项式将原式展开，然后合并同类项即可；
(2)先将括号里的分式进行通分，同时将除法转换成乘法，然后结合平方差公式以及完全平方公式进行约分即可.
19．【答案】解：如图，线段即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂线
【解析】【分析】图1：构造平行四边形ABFE，根据平行四边形的性质得EF∥AB；
图2：BC是5×1网格的对角线，找1×5网格对角线EF即可；
图3：根据垂直平分线的判定，即可找到EF.
20．【答案】（1）解：∵电压不变，，且电阻为，通过的电流强度为，
∴，
∴关于的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴在每一象限内，随的增大而减小，
∵，
∴若电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将变亮．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）根据反比例函数的性质：对于，当时，图像位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小；当时，图像位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大.应用反比例函数的性质，即可得到答案.
（1）解：∵电压不变，，
∴，
；
（2），
，随的增大而减小，
若电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将变亮．
21．【答案】解：（1）15，83；
（2）根据题意，得（（人），
∴估计参加此项目的女生约为18人；
（3）不同意，理由如下：
平均数只是衡量数据发展变化的一个指标，在本题中，虽然平均数没有变化，但是中位数和众数都在提高，说明九年级女生的体质健康成绩呈上升趋势．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；常用统计量的选择；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得m=1+1+1+8+4=15，
∵上学期抽取的名女生中有2人，有3人，有6人，有4人，
∴可知上学期测试成绩中位数在之间，
∵上学期的具体分数是：80，81，83，84，84，88，
∴中位数n=83，
故答案为：15，83．
【分析】（1）根据本学期测试成绩频数分布直方图的数据求和即可得出m的值，根据上学期测试成绩频数分布直方图的数据可知抽取的名女生上学期测试成绩中位数在之间，然后根据信息2中给出的的具体分数分数即可求出n的值；
（2）用90乘以本学期测试成绩80分以下学生人数所占比即可；
（3）衡量数据不能仅根据平均数这一指标就可以，当平均数相等时还需比较中位数和众数．
22．【答案】（1）证明：∵是边上的中线，是边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：命题①正确，证明如下：
已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且.
求证：.
证明：如图，延长到，使，连接，延长到，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可得，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴；
命题②不正确，反例如下：
如图3、图4，
在和中，，，边上的高线为，边上的高线为，，与不全等．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）求出，从而得，得，进而；
（2）①延长到，使，连接，延长到，使，连接，证明，得，，同理得，，从而得，，进而证明，得，，于是得，，即可证明；
②如图3、图4，一个是锐角三角形，一个是钝角三角形， 举出反例，即可得到结论不成立．
23．【答案】解：（1）∵当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，
∴当时，，
∵当时，车流速度是车流密度的一次函数，
∴当时，设，
根据题意得，，
解得：，
∴函数解析式为：，
∴车流速度关于的解析式为；
（2）由（1）得当时，有，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，其最大值为；
当时，有，
∵，
∴当时，有最大值为；
综上所述，当时，最大值约为3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知分两种情况讨论：当时，，当时，利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据题意分两部分进行讨论：当时，，利用一次函数的增减性可得在此范围内的最值；当时，，利用二次函数的最值问题求解；最后综合两部分的最大值比较即可得出结论.
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵为圆的直径，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：与之间存在数量关系为，理由如下：
如图，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）证明：如图，连接，，，
∵点关于的对称点在以为直径的圆上，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴为的平分线，
∵，，
∴，
∴为的平分线，
∴点是的内心．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到 ，由等腰三角形“三线合一”的性质得到，最后利用直角三角形斜边上的中线性质得证结论；
（2）根据圆周角定理得，，从而推出，得，然后根据圆内接四边形的性质得，进而推出，得，利用等量代换的性质得到，代入数据即可求解；
（3）连接，，，利用轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质得到垂直平分，则，，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到，，再利用圆周角定理得到为的平分线，为的平分线，最后利用三角形的内心为三个内角平分线的交点的性质得出结论即可．
（1）证明：连接．
∵为直径，
∴ ．
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形斜边上的中线，
∴，
∴；
（2）解：与之间存在确定的数量关系，该数量关系为．
理由：
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）证明：连接，，，如图，
∵点G关于的对称点在以为直径的圆上，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
∴为的平分线，
∵，，
∴，
∴为的平分线，
∴点G是的内心．
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