18.5 分式方程(第1课时)(共31张PPT)2025-2026学年数学人教版(2024)八年级上册

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18.5 分式方程(第1课时)(共31张PPT)2025-2026学年数学人教版(2024)八年级上册

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(共31张PPT)
18.5 分 式 方 程
第1课时
一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h,它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间,与以最大航速逆流航行
60 km所用时间相等,江水的流速为多少
解:设江水的流速为 v km/h,
根据题意,得
这样的方程与以前学过的方程一样吗 ?
1.了解分式方程的概念.
2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程,体会化归思想和程序化思想.
3.了解解分式方程根需要进行检验的原因.
为要解决导入中的问题,我们得到了方程 .
仔细观察这个方程,未知数的位置有什么特点?
分式方程的概念
知识点 1
问题1:
  方程            
与上面的方程有什么共同特征?
分母中都含有未知数.
追问1 :
概念:分母中含未知数的方程叫做分式方程.
分式方程必须满足的条件:(1)是方程;(2)含有分母;
(3)分母中含有未知数.三者缺一不可.
分母中含有字母的方程不一定是分式方程,如关于x的 (a为非零常数),分母中虽然含有字母a,但a不是未知数,所以该方程是整式方程.
知识要点
分式方程和整式方程的区别与联系
(1)区别:整式方程和分式方程的根本区别在于分母中是否含有未知数,分母中含有未知数的是分式方程,分母中不含未知数的是整式方程.
(2)联系:分式方程可以转化为整式方程.

下列方程中,哪些是分式方程?请找出。
判断一个方程是否为分式方程,主要是看分母中是否含有未知数(注意:π不是未知数)
典例解析
下列式子中,属于分式方程的是 ,属于整式方程的是   (填序号).
(2)(3)
(1)
跟踪训练
你能试着解分式方程 吗?
解分式方程
知识点 2
问题1:
这些解法有什么共同特点?
问题2:
解分式方程的基本思路
分式方程的两边同时乘以(40-y)(40+y)
去分母
分式方程
整式方程
转化


例1 解分式方程

解得
则得到,
方程两边同乘各分母的最简公分母
典例解析
你得到的解 是分式方程
的解吗?   
检验:把v=6代入分式方程得:
左边=
右边=
左边=右边,所以v=6是原方程的解.
追问:
解分式方程:
     是原分式方程变形后的整式方程的解,但不是原分式方程的解.
问题3:
你得到的解 是分式方程
的解吗?该如何验证呢?  
追问1:
上面两个分式方程的求解过程中,同样是去分母将分式方程化为整式方程,为什么整式方程
的解 是分式方程

的解,而整式方程 x+5=10
的解  
却不是分式方程 
的解?
追问2:
原因:在去分母的过程中,对原分式方程进行了变形,而这种变形是否引起分式方程解的变化,主要取决于所乘的最简公分母是否为0.
检验的方法主要有两种:
(1)将整式方程的解代入原分式方程,看左右两边是否相等;
(2)将整式方程的解代入最简公分母,看是否为0.
显然,第2种方法比较简便!
回顾解分式方程 与 的过程,
你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗?
分式方程应该注意什么?
问题5:
一去
二解
三验
四写
去分母,方程两边同乘最简公分母,把分式方程转化为
整式方程.
解这个整式方程.
将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.
写出原分式方程的解.
知识归纳
解分式方程的一般步骤
(1)解分式方程的关键是去分母,在去分母时,分式方程两边的每一项都要乘最简公分母,注意不要漏乘不含分母的项;
(2)因为解分式方程可能会产生不适合原方程的解,所以检验是解分式方程的必要步骤;
(3)如果分式的分子是多项式,那么去分母时,一定要先将分子加上括号.
指出下列方程中各分母的最简分母,并写出去分母后得到的整式方程.


解:①最简公分母2x(x+3),去分母得x+3=4x;
②最简公分母x2–1,去分母得2(x+1)=4.
跟踪训练
例2 解下列方程:
解分式方程
解:方程的两边同乘以x(x–2),
得2x=3x–6
解得:x=6
检验:当x=6时,x(x–2)≠0.
所以,原方程的解是x=6.
典例解析
解下列方程:
解:方程的两边同乘以2x(x+3),
得(x+3)=4x
解得:x= 1
检验:当x=1时,2x(x+3)≠0.
所以,原方程的解是x=1.
跟踪训练
例3 解方程 
解:方程两边同乘
得 =3.
化简,得 =3.
解得 =1.
检验:当 =1时, =0, =1不是原分式方程的
解,所以原分式方程无解.

解含有整式项的分式方程
典例解析
解分式方程: .

分式方程的常数项“1”也要乘以最简公分母(x+1)(x-1).
解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得4+x2-1=(x-1)2,
解得:x=-1.
检验:当x=-1时,(x+1)(x-1)=0,
所以x=-1不是原分式方程的解.
所以原分式方程无解.
跟踪训练
易错易混点拨:
(1)去分母时,原方程的整式部分漏乘.
(2)约去分母后,分子是多项式时, 没有添括号.(因分数线有括号的作用)
(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0,不舍掉.
方法点拨
解分式方程 时,去分母后得到的整式方程是( )
A. 2(x–8)+5x=16(x–7)
B. 2(x–8)+5x=8
C. 2(x–8)–5x=16(x–7)
D. 2(x–8)–5x=8
解析:原方程可以变形为 ,两边都乘以
2(x–7)得2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7).

A
跟踪训练
解分式方程的一般步骤:
分式方程
整式方程
x=a
x=a是分式方程的解
x=a不是分式方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
去分母
解整式方程
检验
1.在方程
中,分式方程有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
2.解分式方程 时,去分母后变形正确的为(  )
A.2+(x+2)=3(x-1)
B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x+2)=3
D.2-(x+2)=3(x-1)
D
3.已知分式方程 ,下列说法
错误的是(  )
A.方程两边各分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解B中的整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1

D
4.若x=3是分式方程 =0的根,则a的值是(  )
A.5 B.-5 C.3 D.-3
5.关于x的分式方程 有解,则字母a的取值范围是(  )
A.a=5或a=0 B.a≠0
C.a≠5 D.a≠5且a≠0
A
D
无论你怎样地表示愤怒,都不要做出任何无法挽回的事来。
——培根

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