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18.5 分 式 方 程
第2课时
1.解分式方程的一般步骤.
(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3) 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根不是原方程的根，必须舍去.
(4)写出原方程的根.
利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？
1.能找出实际问题中的等量关系，熟练地列出相应的方程.
2.会解含有字母系数的分式方程.
3.知道列方程解应用题为什么必须验根，掌握解题的基本步骤和要求.
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
请审题分析题意设元
列分式方程解应用题的步骤
知识点 1
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x–6）个零件，依题意得：
经检验,x=18是原分式方程的解,且符合题意.
答：甲每小时做18个，乙每小时做12个.
由x＝18,得x–6=12
解得
列分式方程解应用题的一般步骤：
1. 审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一.
3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4. 解:解这个分式方程.
5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符
合实际意义.
6. 答:注意单位和语言完整.
知识归纳
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快
分析:
甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______ .
利用分式方程解答工程问题
典例精析
解:
设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 .依题意得
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x， 解得 x=1.
检验:x=1时，6x≠0,x=1是原分式方程的解.
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,
而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
1. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1 200件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
跟踪训练
解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工
1.5x件产品，依题意得 ，
解得：x=40.
经检验x=40是原方程的解，所以1.5x=60.
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.
提速前列车行驶s km所用的时间为 h，提速后列车的平均速度为
km/h，提速后列车运行 km，所用时间为 h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程:
例2 某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
x
x+v
s+50
=
s
分析：这里的v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，先考虑下面的填空：
s+50
x+v
s+50
利用分式方程解答行程问题
x+v
典例精析
去分母得：s(x+v)=x (s+50)
去括号，得sx+sv=sx+50x.
移项、合并同类项，得 50x=sv.
解得
检验：由于v，s都是正数， 时，x（x+v）≠0，
是原分式方程的解.
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t h后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度．
解：设学生骑车的速度是x km/h，由题意得，
方程两边同乘2x，得 2s –s =2tx.
解得 x = ．　　
检验：由于s，t 都是正数， x = 时，2x≠0，
所以，x = 是原分式方程的解，且符合题意.
答：学生骑车的速度是 km/h．　　
跟踪训练
例3 关于x的方程 无解,求k的值.
利用分式方程的根求字母的值或取值范围
解：方程的两边同时乘(x+3)(x–3)得x+3+kx–3k=k+3
整理得:(k+1)x=4k ,因为方程无解,则x=3或x = –3
当x=3时,(k+1) ·3=4k,k=3,
当x= –3时,(k+1)(–3)=4k,
所以当k=3或 时,原分式方程无解.
典例精析
例4 关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围
是 ．
【分析】去分母，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.
∵关于x的方程 的解是正数，
∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，
解得a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
a＜－1且a≠－2
如果关于x的方程 无解,则m的值等于（ ）
A. –3 B. –2 C. –1 D. 3
B
解析:方程的两边都乘x–3,得2=x–3–m,移项并合并同类项得,x=5+m，由于方程无解,此时x=3,即5+m=3,
∴m = –2.
跟踪训练
步骤
1.审；2.设；3.列；
4.解；5.验； 6.答.
应用
工程问题：工作量=工作效率×工作时间
行程问题：路程=速度×时间
列分式方程解应用题
1.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
分析：若原计划每天施工 x 米，则实际每天施工(x+30)米.
根据题意，可列 方程 .
A
2.某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标，经测算，若由两个工程队共同工作，则恰好12天能够完成任务；若两个工程队共同工作9天后，剩下的任务由甲工程队单独完成，则还需5天.现要从这两个工程队中选出一个工程队单独完成，从缩短工期的角度考虑，你认为应该选择哪个工程队？
分析：根据题中等量关系“甲、乙两个工程队共同工作9天的工作量+甲工程队单独工作5天的工作量=总工作量（记为1）”列方程，再比较甲、乙两个工程队单独完成任务所用的时间，然后做出决策.
解：设甲工程队单独完成工程需要x天.
根据题意：
方程两边同时乘以x得： ，解得 x=20.
经检验，x=20是原分式方程的解.
因为 ，所以乙工程队单独完成工程需要30天.
因为20<30，所以选择甲队.
答：从缩短工期的角度考虑，应该选择甲工程队.
3.某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元.已知玉兰树的单价是银杏树的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
分析：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元.
根据购买银杏树的总价和单价，可以求出购买银杏树的数量；
根据购买玉兰树的总价和单价，可以求出购买玉兰树的数量.
根据购买两种树木的总量为150棵列出式子.
解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元.
根据题意，得：
方程两边同时乘以1.5x，得：12000×1.5+9000=150×1.5x.
解得：x =120.
经检验：x =120是原分式方程的解.
1.5x=1.5×120=180.
答：银杏树和玉兰树的单价分别是120元、180元 .
2
4.朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200公里时，发现小轿车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？
0
180
200
解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意，得
解得 x＝90.
经检验，x＝90是原方程的解，
且x=90，x+10=100，符合题意.
故面包车的速度为100千米/小时，小轿车的速度为90千米/小时.
5.若关于x的分式方程 无解，求m 的值．
解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②原方程的解使最简公分母为0，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，
解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
两种情况：一是所化成的整式方程无解；二是解得整式方程的解使最简公分母为0
人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机.

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