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13.3 三角形的内角与外角
13.3.1 三角形的内角
（1）AD⊥BC，垂足为D，则AD是_______的高，∠_______=∠_______=90°.
（2）AE平分∠BAC，交BC于E点，则AE叫作△ABC的_______ ，∠_______=∠_____=______.
（3）若AF=FC，则△ABC的中线是______，S△ABF=________.
BC
ADB
ADC
角平分线
BAE
CAE
∠BAC
BF
S△BCF
2.会运用三角形内角和定理进行计算.
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
3.了解直角三角形的两个锐角互余，并会判断一个三角形是否是直角三角形.
三角形的三个内角和是多少
把三个角拼在一起试试看
你有什么办法可以验证呢
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗
C
B
A
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°
已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°
1
2
过点A作 l ∥BC，∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
（等量代换）.
证法1
延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
（等量代换）.
C
B
A
E
D
1
2
证法2
C
B
A
E
D
F
过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）.
证法3
1
1
1
2
2
2
3
3
3
归纳小结：
（1）三角形内角和与三角形大小无关;
（2）三角形内角和与三角形形状无关，
（3）任意三角形的内角和都是180°
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.
【例题】
解：∵AD平分∠CAB，∠BAC=40°， ∴∠DAB=∠DAC=20°， ∵∠B=75°， ∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°．
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
例2 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
1.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得
∠A+∠B+∠C= °，
即 ∠A+∠B+90°= °，
所以 ∠A+∠B= °.
A
B
C
180
180
90
【合作探究】
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
2.如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，由三角形内角和定理，
得∠A+∠B+∠C= °，
即 ∠C +90°= °，
所以 ∠C = °，
所以△ABC是______三角形.
A
B
C
180
180
90
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角
【例2】如图∠C=∠D=90°,AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90°-∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90°-∠BED.
∵∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠DBE.
【例题】
A
B
C
D
E
相等．
同角的余角相等．
　　练习　如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，
∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？
D
A
B
C
【跟踪训练】
　　变式1　若∠ACD =∠B，∠ACB =90°，则CD 是
△ACB 的高吗？为什么？
　　是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．
D
A
B
C
三角形的内角和等于180°.
证法
应用
转化为一个平角或同旁内角互补
求角度
作平行线
转化思想
辅助线
性质：直角三角形的两个锐角互余.
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形
1.求出下列各图中的x值．
x=70
x=60
x=30
x=50
3.在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则∠ A= .
2.在△ABC中，∠A=38°，∠ B=54 °，则∠ C= .
4.在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
88°
30°
60°
50°
70°
5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°- 60°=120°．
C
A
B
P
【变式题】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？
解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°- （∠ABC+∠ACB）
=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A ．
A
B
P
C
业精于勤，荒于嬉;行成于思，毁于随.
——韩愈

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