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第1课时
14.2 三角形全等的判定
A
B
C
D
E
F
1. 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
3.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
A
B
C
即：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等。
六个条件，可得到什么结论？
≌
　　一条边相等
　　一个角相等
如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△A′B′C′吗
　　探究1　当满足一个条件时, 两个三角形一定全等吗？
　　结论：仅满足一个条件时, 不能确保两个三角形全等.
　　两条边相等
　　两个角相等
　　一条边及一个角分别相等
3cm
4cm
3cm
4cm
60o
30°
30°
60°
6cm
30°
30°
6cm
　　探究2　当满足两个条件时, 两个三角形一定全等吗？
　　结论：当满足两个条件时, 也不能确保两个三角形全等.
① 三角　
②两边一角　　
③ 两角一边　
④ 三边
三个条件　　
×
？
　　探究3　当满足三个条件时, 两个三角形一定全等吗？
1．理解判定三角形全等的“边角边”条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
继续探讨三角形全等的条件：
两边一角
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
在图一中， ∠A
是AB和AC的夹角，
符合图一的条件，它可称为“两边夹角”。
符合图二的条件， 通常
说成“两边和其中一边的对角”
问题1　先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′= CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？
A
B
C
画一画
已知△ABC，画一个△A′B′C′使AB =A′B′,AC=A′C′,∠A=∠A′.
结论:两边及它们的夹角分别相等的两个三角形全等
思考： ① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验正？
画法: 1.画 ∠DA′E= ∠A；
2.在射线AD上截取A′B′=AB,在射线A′E上截取A′C′=AC;
3.连接B′C′.
A
C
B
A
′
E
D
C
B
′
′
思考： ②这两个三角形全等是满足哪三个条件？
三角形全等判定方法1
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(可以简写成“边角边”或“SAS”)
F
E
D
C
B
A
AC=DF，
∠C=∠F，
BC=EF，
例 已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB.
求证: △ACB ≌ △ADB.
A
B
C
D
证明:
在△ACB 和 △ADB中,
AC=AD,
∠CAB=∠DAB
AB=AB(公共边）
∴△ACB≌△ADB
（SAS）
例题分析
1.在下列图中找出全等三角形
Ⅰ

30
8 cm
9 cm
Ⅵ

30
8 cm
8 cm
Ⅳ
Ⅳ
8 cm
5 cm
Ⅱ
30

8 cm
5 cm
Ⅴ
30
8 cm

5 cm
Ⅷ
8 cm
5 cm

30
8 cm
9 cm
Ⅶ
Ⅲ

30
8 cm
8 cm
Ⅲ
【跟踪训练】
2.如图，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC ≌ △ADB的理由.
____=____(已知),
∠A= ∠A( 公共角),
_____=____(已知),
∴ △AEC≌△ADB（ ）.
A
E
B
D
C
AE
AD
AC
AB
SAS
解：在△AEC和△ADB中,
3.如图，去修补一块玻璃，问带哪一块玻璃去可以使得新玻璃与原来的完全一样？
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
知识应用
分析：带Ⅲ去，可以根据SAS得到与原三角形全等的一个三角形.
4.已知:AD=CD，BD平分∠ADC，
求证：（1）∠A=∠C.
（2）AB=BC.
A
B
C
D
1
2
归纳：证明两条线段相等或两个角相等可以通过证明它们所在的两个三角形全等而得到.
分析：可先证△ABD≌△CBD（SAS），
再根据全等三角形的性质证角或线段相等.
　　如图，在△ABC 和△ABD 中，
AB =AB，AC = AD，∠B =∠B，
但△ABC 和△ABD 不全等．　
探索“SSA”能否识别两三角形全等
　　 两边一角分别相等包括“两边夹角”和
“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已
探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”
的条件能判定两个三角形全等吗？
A
B
C
D
A
45°
B
B′
C
4cm
3cm
3cm
画一画：三角形的两条边分别为4cm和3cm，长度为3cm的边所对的角为45°,画出这个三角形，把你画的三角形与小组其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？把你的发现和同伴交流.
显然：△ABC与△AB′C不全等
SSA不存在
【跟踪训练】
画△ABC 和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5 cm ，
AC =DF=3 cm．观察所得的两个三角形是否全等？
两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC 和△DEF不一定全等．
①两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS)；
②两边及其中一边的的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
归纳总结
1.根据“边角边”判定两个三角形全等，要找出两边及其夹角分别相等的三个条件．
2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、基本事实、定理.
解：由题可知：∠A=∠A，AB=AC，利用“SAS”判定，需要AD=AE.
在△ADC和△AEB中，
AC=AB，
∠A=∠A，
AD=AE，
∴ △ADC≌△AEB（SAS）.
1.如图，AB=AC，利用“SAS”判定△ADC≌△AEB，需要添加什么条件，请证明你的结论.
2.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.
证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+FE，即BF=CE.
在△ABF和△DCE中，
AB=DC，
∠B=∠C，
BF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）.
∴∠A=∠D.
B
D
F
E
A
C
A
B
D
C
E
3.已知：如图,AB=AC, AD=AE, ∠BAC=∠DAE
求证： △ABD≌△ACE
证明： ∵∠BAC=∠DAE（已知）
∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD与△ACE
AB=AC（已知）
∠BAD= ∠CAE （已证）
AD=AE（已知）
∴△ABD≌△ACE（SAS)
4.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使得CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？
如图所示，通过连线构成了△CAB和△CDE，能够证明△CAB≌△CDE，就能说明DE的长就是A，B的距离.
解：由题可知，∠ACB=∠DCE（对顶角相等）.
在△CAB和△CDE中，
CA=CD，
∠ACB=∠DCE，
CB=CE，
∴△CAB≌△CDE（SAS）.
∴AB=DE，即DE的长就是A，B的距离.
数学，科学的女皇；数论，数学的女皇.
——C F 高斯

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