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2025年上学期初二期末试卷
数学科目
命题人：
考生注意：本试卷共9道大题，16道小题，满分120分，时量120分钟.
一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分）
1．下列方程为一元二次方程的是（　　）
A．x3﹣2x2﹣3＝0 B． C．x2+x﹣2＝0 D．xy+1＝0
2．下列式子中不是的函数的是　　
A． B． C． D．
3．一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是　　
A． B．
C． D．
5．2024年12月4日，春节申遗成功．伴随着中国春节除夕夜必不可少的春晚，承载了无数家庭的欢乐与记忆．据相关统计，2023年春晚在新媒体端直播规模约8亿人次，2025年约21亿人次．设这两年春晚在新媒体端直播规模的年平均增长率为，可列方程为　　
A． B． C． D．
6．如图，在△中，，，是边的中点，则的度数是　　
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则的长度是　　
A．1 B．2 C． D．
8．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为　　
A． B． C． D．
9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为　　
A． B． C． D．
（第9题） （第10题）
10．如图1，在等腰直角三角形中，，点为边的中点．动点从点出发，沿边方向匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，△的面积为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为　　
A．2 B．2.5 C． D．4
二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分）
11．函数中自变量的取值范围是 　　．
12．已知正比例函数，则的值为 　　 ．
13．在△中，，，，则　　 ．
14．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则　　 ．
15．如图，小康将两根木条AC，BD的中点O重叠，并用钉子固定，使AC，BD可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是 　 　 ．
（第15题） （第16题）
16．如图，在菱形中，对角线，于点，过点作于点，已知，，则　　．
三．解答题（17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分）
17（6分）．解方程：；
18（6分）．计算：；
19（6分）．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度．
20.（8分）随着人工智能的发展，某校为了解全校学生对人工智能的了解情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在C等级的数据：78，72，75，
74，76，78，73，76，77，74．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）C等级学生成绩的中位数为 ．
（2）求所抽取的学生成绩为D等级的人数，并补全频数分布直方图
（3）已知该校共有1500名学生，若全校学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
21.（8分）周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）小轩减速前的速度为 　 　 米/分钟；
（2）求小轩减速后s与t之间的函数关系式；
（3）当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是多少米？
22.（9分）湘绣是在湖南民间刺绣基础上发展起来的一种传统工艺，与苏绣、粤绣、蜀绣并称为中国的四大名绣，素有“湘绣甲天下”的美誉．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批湘绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书签的进价贵26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍．
（1）求每件文化衫和每个书签的进价．
（2）社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．社团希望通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到400元，则文化衫应降价多少元？
23.（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE、CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠BCD＝60°，求AE的长．
24．（10分）在平面直角坐标系中，有A（m，0），B（0，n）两点，若存在点C使得∠ABC＝90°，且AB＝BC，则称点C为m的“等垂点”．
例如：在A（1，0），B（0，1），C（﹣1，0）三点中，因为∠ABC＝90°，且AB＝BC，所以点C为1的“等垂点”．
（1）①点A（2，0），B（0，2），则C（2，4）　 　 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
②如图1，若点A（4，0），B（0，3），则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为　 　 ．
（2）如图2，若一次函数y＝3x﹣5上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标．
（3）若在直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个5的“等垂点”，且直线y＝kx+b（k＞0）与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段EF上，点P在△EOF内，EP＝4，OP＝3，连接MP，设EM＝a，直接写出△EPM面积S关于a的表达式．
25．（10分）在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．
（1）如图1，若设∠ABE＝α，则∠DEF＝　 　 （用含α的式子表示）；当点F恰好是BD的中点时，则α＝　 　 度．
（2）如图2，EF交BD于点M，且BF平分∠DBC．
①求证：△EDM是等腰三角形．
②当AB＝3，BC＝4时，求AE的长．2025年上学期初二期末试卷
数学科目
命题人
考生注意：本试卷共9道大题，16道小题，满分120分，时量120分钟.
一.选择题（每小题3分，共10小题，共30分）
1.下列方程为一元二次方程的是()
A.x3-2x2-3=0
B.x-1=1
C.x2+x-2=0
D.xy+1=0
2.下列式子中y不是x的函数的是()
A.y=5-4x
B.y=x2
C.y=v2x+1
D.y2=-3x
3.一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方
差分别为s=0.20,s2=0.38,s病=0.24，s子=0.75，成绩最稳定的是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
4.△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,下列条件中，不能判定△ABC是直角三角
形的是()
A.∠A:∠B:∠C=3:4:5
B.(a+b)(a-b)=c2
C.∠A+∠B=∠C
D.a:b:c=1:V3:2
5.2024年12月4日，春节申遗成功，伴随着中国春节除夕夜必不可少的春晚，承载了无数家庭的
欢乐与记忆.据相关统计，2023年春晚在新媒体端直播规模约8亿人次，2025年约21亿人次.设
这两年春晚在新媒体端直播规模的年平均增长率为x,可列方程为()
A.8(1+2x)=21
B.81+x2)=21C.81+x)2=21D.81-x)2=21
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，D是边AB的中点，则∠BDC的度数是()
A.40°
B.30°
C.20°
D.10°
y
B
D
⊙
(第6题)
(第7题)
(第8题)
7.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠AOB=60°，已知AB=1,则BD的长度是
()
A.1
B.2
C.3
D.3
8.如图，已知一次函数y=+b(k≠0)的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA=2,OB=1,
则关于x的方程x+b=0的解为()
A.x=-1
B.x=1
C.x=-2
D.x=2
第1页共4页
9.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，以A为圆心，AB的长为
半径画弧，交最上方的网格线于点D,则CD的长为()
A.5
B.3-V5
C.13
D.V13-3
0
A
图1
图2
(第9题)
(第10题)
10.如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点.动点P从点A出发，
沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，,△APD的面积为y,y
与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为()
A.2
B.2.5
C.22
D.4
二.填空题（每小题3分，共6小题，共18分）
1.函数y=2x中自变量x的取值范围是
4-x
12.己知正比例函数y=(m-1)xm,则m的值为一·
13.在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=5,AB=3,则BC=
14.已知x,x,是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根，其中x=1,则：2=一
15.如图，小康将两根木条AC,BD的中点O重叠，并用钉子固定，使AC,BD可以绕着点O转动，
无论木条怎么转动，以点A,B,C,D为顶点的四边形是
D
(第15题)
(第16题)
16.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已知BD=8,
S菱形Bc=24,则AH=一·
三.解答题(17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分)
17(6分).解方程：x2-2x-1=0:
18(6分).计算：50÷V2+(W5-)°-（分2：
19(6分).图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图
如图2，其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺，B'C=2尺，求AC的长度.
0
B
诗文：波平如镜一湖面，半尺高
处生红莲。
亭亭多姿湖中立，突
遭狂风吹
边离弃原处兰尺远，
花贴湖面像睡莲。
图1
图2
第2页共4页2025年上学期初二期末答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A A C A B C B A
一．选择题（共10小题）
1．下列方程为一元二次方程的是（　　）
A．x3﹣2x2﹣3＝0 B．
C．x2+x﹣2＝0 D．xy+1＝0
【解答】解：A、x3﹣2x2﹣3＝0中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意；
B、x﹣＝1不是整式方程，故选项错误，不符合题意；
C、x2+x﹣2＝0符合一元二次方程的定义，故符合题意；
D、xy+1＝0中含有两个未知数，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．下列式子中不是的函数的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、对于，给定一个的值，计算能得到唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意；
、对于，任意给定一个的值，的结果唯一确定，有唯一值对应，所以是的函数，不符合题意；
、对于，在（即的范围内，给定一个的值，能得出唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意；
、对于，当取一个非正数的值时（因为右边，比如，则，，即一个值对应两个值，不满足函数定义中“有唯一确定值对应”的要求，所以不是的函数，符合题意．
故选：．
3．一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：∵S甲2＝0.20，S乙2＝0.38，S丙2＝0.24，S丁2＝0.75，
∴S甲2＜S丙2＜S乙2＜S丁2，
∴成绩最稳定的是甲，
故选：A．
4．中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、，，
，，，
不是直角三角形，符合题意；
、，
，
，
是直角三角形，不符合题意；
、，且，
，
是直角三角形，不符合题意；
、，
设，，，且，
即，
是直角三角形，不符合题意；
故选：．
5．2024年12月4日，春节申遗成功．伴随着中国春节除夕夜必不可少的春晚，承载了无数家庭的欢乐与记忆．据相关统计，2023年春晚在新媒体端直播规模约8亿人次，2025年约21亿人次．设这两年春晚在新媒体端直播规模的年平均增长率为，可列方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，得：，
故选：．
6．如图，在△中，，，是边的中点，则的度数是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，是边的中点，
，
（等边对等角），
，
，
，
即的度数是，
故选：．
7．如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则的长度是　　
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
，
△是等边三角形，
，
，
故选：．
8．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
一次函数的图象与轴相交于点，
关于的方程的解为．
故选：．
9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接，
以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，
，
，
，
故选：．
10．如图1，在等腰直角三角形中，，点为边的中点．动点从点出发，沿边方向匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，△的面积为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为　　
A．2 B．2.5 C． D．4
【解答】解：根据题意动点从点出发，沿边方向匀速运动过程中，△的面积先增大，再减小，
当点运动到点时，△的面积最大，
根据函数图象可得此时△的面积为4，
如图，
点为边的中点，等腰直角三角形，
，
可得，
当点运动到的中点时，如图，
点为边的中点，
，
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．函数中自变量的取值范围是 　　．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12．已知正比例函数，则的值为 　　 ．
【解答】解：根据的次数为1、系数不等于0列式得，，
解得．
故答案为：．
13．在△中，，，，则　4　 ．
【解答】解：在△中，，，，
由勾股定理可得：．
故答案为：4．
14．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则　　 ．
【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
又，
．
故答案为：．
15．如图，小康将两根木条AC，BD的中点O重叠，并用钉子固定，使AC，BD可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是 　平行四边形　 ．
【解答】解：连接AB、BC、CD、AD、AC、BD，
∵AC，BD的中点O重叠，
∴AC与BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
16．如图，在菱形中，对角线，于点，过点作于点，已知，，则　　．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
即：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即：，
．
故答案为：．
三．解答题
17．解方程：；
【解答】解：（1），
△，
，
，；
18．计算：；
【解答】解：（1）；
；
19．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度．
【解答】解：设的长度为尺，则尺，
在△中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即的长度为3.75尺．
随着人工智能的发展，某校为了解全校学生对人工智能的了解情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在C等级的数据：78，72，75，74，76，78，73，76，77，74．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）C等级学生成绩的中位数为 ．
（2）求所抽取的学生成绩为D等级的人数，并补全频数分布直方图
（3）已知该校共有1500名学生，若全校学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
解：（1）把C等级学生成绩的从小到大排列，排在中间的两个数分别是：75分，76分，所以所抽取的学生成绩的中位数为：75.5（2分）；
（2）被调查的总人数为12÷30%＝40（人），
D等级的人数为：40﹣4﹣12﹣10＝14（人）；（4分） 图略（6分）
（3）1500150（人），
答：估计成绩为A等级的人数为150人．（8分）
21．周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）小轩减速前的速度为 　20　 米/分钟；
（2）求小轩减速后s与t之间的函数关系式；
（3）当小轩爬了1小时时，他距离山脚出发地的路程是多少米？
【解答】解：（1）由图象可知：小轩减速前爬山600米，用时30分钟，则小轩减速前的速度为600÷30＝20米/分钟．
故答案为：20．（2分）
（2）设小轩减速后s与t之间的函数表达式为s＝kt+b，
由题意可得：
，
．（4分）
∴s＝8t+360；（5分）
（3）当t＝40时，s＝8×40+360＝680，（7分）
答：当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是680米．（8分）
22.（1）解：设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个（）元，文化衫的数量为元，书签的数量为元，
由题意得，，（2分）
解得， （3分）
经检验，是分式方程的解，且符合题意，（4分）
∴，
答：每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元；（5分）
（2）解：降价前文化衫每件的利润为42-30=12元，
设文化衫降价元，则降价后的销量为（）件，每件的利润为（）元，根据题意，得（）（）=400，（7分）
解得，
答：文化衫应降价8元或者2元.（9分）
23.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC＝AC，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，（3分）
又∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED为矩形；（4分）
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC，AC⊥BD，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝8，
∴OD＝OB＝4，
∴，（6分）
∴AC＝2OC＝8，（7分）
由（1）可知，四边形OCED为矩形，
∴，∠OCE＝90°，CE＝OD＝4，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：，（9分）
即AE的长为4．
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24．【定义理解】在平面直角坐标系中，有A（m，0），B（0，n）两点，若存在点C使得∠ABC＝90°，且AB＝BC，则称点C为m的“等垂点”．
例如：在A（1，0），B（0，1），C（﹣1，0）三点中，因为∠ABC＝90°，且AB＝BC，所以点C为1的“等垂点”．
【探究应用】
（1）点A（2，0），B（0，2），则C（2，4）　是　 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
（2）如图1，若点A（4，0），B（0，3），则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为　（3，7）或（-3，﹣1）　 ．
（3）如图2，若一次函数y＝3x﹣5上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标．
【拓展提升】
（4）若在直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个5的“等垂点”，且直线y＝kx+b（k＞0）与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段EF上，点P在△EOF内，EP＝4，OP＝3，连接MP，设EM＝a，直接写出△EPM面积S关于a的表达式．
【解答】解：（1）∵点A（2，0），B（0，2），C（2，4），
∴OA＝2，OB＝2，AC＝4，，
∵∠ABC＝90°，
∴，
∴AB＝BC，
∴C（2，4）是2的“等垂点”，
故答案为：是．（2分）
（2）①当点C在点B上方时，
∵点A（4，0），B（0，3），且点C是4的“等垂点”，
∴如图所示过点C分别作x轴y轴的垂线，垂足分别为点F和点E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO＝∠BCE＝90°﹣∠CBE，
在Rt△ABO和Rt△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴BE＝OA＝4，CE＝BO＝3，
∴CF＝OE＝OB+BE＝3+4＝7，
∴C（3，7）．（3分）
②当点C在点B下方时，
∵点A（4，0），B（0，3），且点C是4的“等垂点”，
同理可证△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF＝OA＝4，BF＝AE＝BO＝3，
∴BH＝CF＝4，CH＝BF＝3，
∴OH＝BH﹣OB＝4﹣3＝1，
∴C（﹣3，﹣1）．（4分）
故答案为：（3，7）或（﹣3，﹣1）．
（3）设A（5，0），B（0，n），
①当n＞0时，
如图，过点C作CM⊥y轴于点M，
∵CM⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠CMB＝∠AOB＝90°，
∵∠CBA＝90°，
∴∠CBM＝90°﹣∠ABO＝∠BAO，
在△CBM和△BAO中，
，
∴△CBM≌△BAO（AAS），
∵A（5，0），B（0，n），
∴CM＝OB＝n，MB＝AO＝5，
即C（n，n+5）或 （﹣n，n﹣5），
∵点C在 y＝3x﹣5上，
∴n+5＝3n﹣5 或 n﹣5＝﹣3n﹣5，
∴n＝5 或 n＝0（舍去），
∴C（5，10）；（6分）
②当n≤0时，如图，
同理：C（n，﹣n﹣5）或 （﹣n，5﹣n），
∵点C在y＝3x﹣5上，
∴﹣n﹣5＝3n﹣5或 5﹣n＝﹣3n﹣5，
∴n＝0或 n＝﹣5，
∴C（0，﹣5）或 （﹣5，0）（不成立，舍去），
综上所述，C（5，10）或C（0，﹣5）．（8分）
（4）∵直线y＝kx+b（k＞0）上存在无数个5的“等垂点”，
∴直线与x轴交于点E（﹣5，0），与y轴交于点F（0，5），
∴直线为 y＝x+5，
如图过点P分别作PQ⊥x轴交x轴于点Q，PH⊥y轴交y轴于点H，PN⊥EF交EF于点N，
∵EP＝4，OP＝3，OE＝5，
根据勾股定理逆定理得△EPO为直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴（10分）
25．在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．
（1）如图1，若设∠ABE＝α，则∠DEF＝　2α　 （用含α的式子表示）；当点F恰好是BD的中点时，则α＝　30　 度．
（2）如图2，EF交BD于点M，且BF平分∠DBC．
①求证：△EDM是等腰三角形．
②当AB＝3，BC＝4时，求AE的长．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
由翻折可知：∠FBE＝∠ABE＝α，∠BFE＝∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°﹣α，
∴∠DEF＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α；
∵点F恰好是BD的中点，∠BFE＝90°，
∴EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠ABE＝α，
∵∠EBD+∠EDB+∠ABE＝90°，
∴3α＝90°，
∴α＝30度，
故答案为：2α；30；（4分）
（2）①证明：如图2，延长EF交BC于点N，
∵BF平分∠DBC，
∴∠MBF＝∠NBF，
由翻折可知：∠BFE＝∠A＝90°，
∴∠BFM＝∠BFN＝90°，
∵BF＝BF，
∴△BFM≌△BFN（ASA），
∴BM＝BN，
∴∠BMN＝∠BNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEM＝∠BNM，
∵∠BMN＝∠DME，
∴∠DEM＝∠DME，
∴DE＝DM，
∴△EDM是等腰三角形；（7分）
②解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠A＝90°，
∵AB＝3，
∴BD＝＝5，
设AE＝x，
∴EF＝AE＝x，
∴DM＝DE＝AD﹣AE＝4﹣x，
∴BN＝BM＝BD﹣DM＝5﹣（4﹣x）＝x+1，
如图2，过点E作EQ⊥BC于点Q，得矩形ABQE，
∴EQ＝AB＝3，
∵BF⊥EN，
∴S△EBN＝BN EQ＝EN BF，
∵BF＝AB＝3，
∴BN＝EN，
∴EN＝x+1，
∵EN＝EF+FN＝x+1，
∴FN＝1，
在Rt△BNF中，BF＝3，FN＝1，BN＝x+1，
根据勾股定理得：BF2+FN2＝BN2，
∴32+12＝（x+1）2，
∴x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），
∴AE的长为﹣1；（10分）

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