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(共37张PPT)
15.3.2 等边三角形
名称 图 形 定 义 性 质 判 定
等
腰
三
角
形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形
1.理解等腰三角形的性质，体会等腰三角形性质和等边三角形性质的联系.
2.探索并掌握等边三角形,含30度直角三角形性质的
过程，并用以解决实际问题.
3.了解等边三角形的判定方法.
4.探索并掌握等边三角形判定的过程，并用以解决实际问题.
等边三角形的性质
知识点1
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
探究
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
A
B
C
A
B
C
等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
内角和为180°
=60°
问题1：
结论：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
A
B
C
A
B
C
等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.
底边上的中线、高及顶角平分线三线合一
一条对称轴
三条对称轴
问题2：
图形 等腰三角形
　性 质
每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角平分线重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
知识归纳
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.
典例精析
方法总结：
解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个内角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
跟踪训练
例2 △ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
典例精析
方法总结：
此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
跟踪训练
等边三角形的判定
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
知识点 2
根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
跟踪训练
例3 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
本题还有其
他证法吗？
典例精析
　证明：∵　△ABC 是等边三角形，
∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵　DE∥BC，
∴　∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴　∠A =∠ADE =∠AED.
∴　△ADE 是等边三角形.
若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
变式训练
若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵　△ABC 是等边三角形，
∴　∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵　DE∥BC，
∴　∠B =∠D，∠C =∠E．
∴　∠EAD =∠D =∠E．
∴　△ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
变式训练
上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
变式训练
如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
分离
拼接
A
C
B
含30°角的直角三角形的性质
知识点 3
问题1：
将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
问题2：
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
如图，显然，△ADC与△ABC关于AC成轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
你还能用其他方法证明吗？
证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD.
在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．∴△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴BC = AB．　　
∴BC = BD．　　
方法一：
方法点拨
倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……
倍长法
E
A
B
C
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°.
∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴　BC = AB．　　
证明方法：截半法
方法二：
方法点拨
在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.
截半法
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
应用格式：
∴　BC = AB．　　
A
B
C
知识要点
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
典例精析
2.如图∠C=90°，D是CA的延长线上的一点，∠BDC=15°，且AD=AB，则BC= AD.
1. △ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA ⊥BA于A，BD=9.6cm，则AD= .
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｄ
4.8cm
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
A
跟踪训练
1.三条边都相等的三角形是等边三角形.
2. 三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
二、定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
一、等边三角形的判定
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作
等边△ADE，则∠CAE= .
【解析】点D是等边△ABC中BC边的中点，故∠DAC＝30°;在等边△ADE中，∠CAE=60°-30°=30°.
答案：30°
2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3 B．2 C.1.5 D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.
又∵PC＝3，
∴PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝1.5.
E
C
3.如图，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E.使CE=CD,求DE长.
【解析】∵ΔABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,
∵BD为中线,∴∠DBC=30°,∵CE=CD,
∴∠E=∠CDE,∠E+∠CDE=∠ACB=60°,
∴∠E=30°,∴∠E=∠DBC,∴DE=BD=
6㎝.
A
B
C
D
E
【解析】∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
AB=AC=BC，∵AD=BE=CF,即BD=CE=AF,
在△ADF,△DBE和△CEF中,
∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
AD=BE=CF
BD=CE=AF
∴△ADF≌△BED≌△CFE
∴DF=DE=EF,∴△DEF是等边三角形.
4.如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF.试问：△DEF是什么三角形？
A
B
C
D
E
F
一个人如果做了出色的数学工作，并想引起数学界的注意，这实在是容易不过的事情，不论这个人是如何位卑而且默默无闻，他只需做一件事：把他对结果的论述寄给处于领导地位的权威就行了.
——莫德尔

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