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(共37张PPT)
综合与实践
最短路径问题
A
B
l
1.如图，连接 A、B 两点的所有线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短.
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
PC最短，因为垂线段最短.
P
l
A
B
C
D
3.在以前学习过哪些有关线段大小的结论？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A ′
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
牧民饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧民饮马问题”及“造桥选址问题”.
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
活动 一
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.
实际问题
A
B
l
探求新知
抽象成
现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
解：连接AB,与直线l相交于一点C.
问题1：
A
l
B
C
如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？
对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
想一想
问题2：
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．
∴　AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC +BC＜AC′+BC′．
即　AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
C ′
问题3：
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.
∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.而CE=AD.
B
典例解析
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
D
P
Q
l
A
M
跟踪训练
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.
解：如图，P点即为该点.
牧民饮马问题的拓展
活动 二
任务1 牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短？
草地
A
河
抽象成
A
l1
l2
知识点 2
作法：
（1）作点A关于直线l1的对称点A′；
（2）作点A关于直线l2的对称点A″；
（3）连接A′A″，与直线l1相交于点B,与直线l2相交于点C.
（4）路线AB-BC-CA即为最短路径.
知识点 2
你能用你学过的知识证明AB+BC+CA最短么？
证明：在直线l1上任意取一点D，在直线l2上任意取一点E，连接AD，AE，DE，A′D，A″E，
由轴对称的性质知，AD=A′D，AE=A″E，AB=A′B，AC=A″C，
所以AD+DE+AE=A′D+DE+A″E＞A′A″，
因为A′A″=A′B+BC+A″C=AB+BC+AC，
所以AB+BC+AC最短.
任务2 牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，牧民怎样走可使所走的路径最短？
草地
A
河
B
抽象成
A
l1
l2
B
知识点 2
作法：
（1）作点A关于直线l1的对称点A′；
（2）作点B关于直线l2的对称点B′；
（3）连接A′B′，与直线l1相交于点C,与直线l2相交于点D.
（4）路线AC-CD-DB即为最短路径.
知识点 2
你能用你学过的知识证明AC+CD+DB最短么？
证明：在直线l1上任意取一点E，在直线l2上任意取一点F，连接AE，A′E，EF，BF，B′F，
由轴对称的性质知，AE=A′E，BF=B′F，AC=A′C，BD=B′D，
所以AE+EF+BF=A′E+EF+B′F＞A′B′，
因为A′B′=A′C+CD+B′D=AC+CD+DB，
所以AC+CD+DB最短.
任务3 牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处饮马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A出发，到B处饮马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路程最短？
草地
河
生活区
抽象成
D
E
F
知识点 2
作法：
（1）作DA⊥EF，垂足为A；
（2）作点A关于DE的对称点A′；
（3）作点A关于DF的对称点A″；
（4）连接A′A″，交DE于点B,交DF于点C；
（5）路线AB-BC-CA即为最短路径.
知识点 2
你能用你学过的知识证明AB+BC+AC最短么？
证明：连接DA′，DA″，
由轴对称的性质可知，∠A′DE=∠ADE，∠A″DF=∠ADF，AB=A′B,AC=A″C,
所以∠A′DE+∠A″DF=∠ADE+∠ADF=∠EDF,
所以∠A′DA″=2∠EDF.
所以△A′DA″是顶角固定的等腰三角形，当DA′最短时，A′A″的长取得最小值，
所以当DA⊥EF时，DA最小，即A′A″的长最小,
因为AB+BC+AC=A′B+BC+A″C=A′A″,
所以当DA⊥EF时，AB+BC+AC最短.
知识点 2
任务3 结论补充
锐角三角形三边上各取一点，连接这三个点得到的所有三角形中，垂足三角形的周长最短；此结论仅适用于锐角三角形.
如图，△DEF为锐角三角形，DA⊥EF于A，EC⊥DF于C，
FB⊥DE于B，则△ABC的周长最短.
知识点 2
任务3 结论补充
当△DEF为直角三角形时，三角形高线的交点为直角顶点，所以当DA⊥EF时，2AD的长最短.
当△DEF为钝角三角形时，最短路线为钝角所对边上的高的2倍，
即当DA⊥EF时，2AD的长最短.
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
B
A
A
B
N
M
造桥选址问题
活动 三
B
A
●
●

N
M
N
N
M
如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定桥的位置，才能使A到B的路径最短呢？
M
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
1.把A平移到岸边.
2.把B平移到岸边.
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
B
A
Ｍ
Ｎ
说一说
B
A
Ｍ
Ｎ
A'
B'
1.把A平移到岸边.
AM+MN+BN长度改变了.
2.把B平移到岸边.
AM+MN+BN长度改变了.
B
A
Ｍ
Ｎ
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN长度有没有改变呢？
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
A·
B
M
N
E
C
D
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
原理
线段公理和垂线段最短
最短路径问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
1.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（　　）
A．AB B．DE C．BD D．AF
解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，
此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，
可得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∴AP+EP最小值等于线段AF的长．
D
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）
A．10 B．15
C．20 D．30
A
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
A
C
B
D
河
1000
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
x
y
O
B
A
B'
P
解析：作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，点P就是所求的点.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯

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