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16.1 幂的运算
16.1.1 同底数幂的乘法
第十六章 整式的乘法
1.乘方的意义？
求 个相同因数 的积的运算叫作乘方.
n
a
an
= a·a· … ·a
n个a
指数
底数
幂
2. 指出下列各式的底数与指数：
（1）4 3 ； （2）b 3 ；
（3）（a+b）2 ；
（4）（-3）3；（5）-3 3
神威·太湖之光超级计算机是世界上首台每秒运算速度超过十亿亿次(1017)的超级计算机.它工作103s可进行多少次运算？
问题1 怎样列式？
1017 ×103
问题2 怎样计算？
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.
3.通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结，提升自身的推理能力.
1.初探法则：
(1) 102×103 ; (2) 105×108; (3) 10m×10n (m, n都是正整数)
问题1 根据乘方的意义，尝试计算102×103.
102×103＝
×（10×10×10）
（10×10）
5个10
= 10 2+3
类似地可以得出：
(2) 105×108 =1013=105+8
(3) 10m×10n =10 m+n
问题2 乘法算式中两个幂因数有何特点？
把底数换成其他数试一试：
(4) 2m×2n =
(5) （-3）m×（-3）n =
(6) a2×a3 =a 2+3=
2m+n
（-3）m+n
a5
两个幂的底数相同，称为同底数幂.
问题3 结果和算式中两个幂有什么关系？
底数和前面相同，指数则是左边两个指数的和.
请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有什么关系？
102 ×103 = 10（ ）
105 ×108 = 10（ ）
a2× a3 = a（ ）
= 10（ ）；
= 10（ ）；
= a（ ）.
5
13
5
猜想:am · an= (m，n都是正整数).
5+8
2+3
2+3
am+n
猜想:am · an= (m，n都是正整数)
am · an =
m个a
n个a
= a·a·…·a
=am+n
(m+n)个a
am·an =am+n (m，n都是正整数)
（a·a·…·a）
（a·a·…·a）
am+n
（乘方的意义）
（乘法结合律）
（乘方的意义）
×
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
即 am · an = am+n (m，n都是正整数)
同底数幂的乘法法则:
条件：①乘法 ②同底数幂
结果：①底数不变 ②指数相加
当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？
am·an·ap =
（m，n，p都是正整数）
am·an·ap
=(am· an ) · ap
=am+n· ap
=am+n+p
am+n+p
=(a·a· … ·a)(a·a· … ·a)(a·a· … ·a)
am·an·ap
n个a
m个a
p个a
=am+n+p
或
【例】计算：
（1）105×106； （2）a·a3；
（3）a·a3·a5 （4）x·x2+x2·x
【解析】（1）105×106=105+6=1011；
（2）a·a3=a1+3=a4；
（3）a·a3·a5 =a1+3+5=a9
（4）x·x2+x2·x=x3+x3=2x3
注意：计算结果可以用幂的形式表示．计算较简单时也可以
计算出得数；a是a的一次方，不要漏掉这个指数1，x3+x3
得2x3，不要忘记合并同类项．
1.计算：
（1）107 ×104 . （2）x2 ·x5 .
【解析】（1）107 ×104 =107 + 4= 1011.
（2）x2 · x5 = x2 + 5 = x7.
2.计算：（1）23×24×25. （2）y·y2·y3.
【解析】（1）23×24×25=23+4+5=212.
（2）y · y2 · y3 = y1+2+3=y6.
【跟踪训练】
3.计算:（1）（-a）2×a4. （2）（-2）3×22.
【解析】（1）原式 = a2×a4
=a6.
（2）原式 = -23 ×22
= -25.
当底数互为相反数时，先化为同底数形式.
思考: 把
化为同底数幂，应该怎样变形？
例 计算：
思维拓展
解：原式=（x-y）3(x-y)2
=(x-y)3+2
=(x-y)5
(y-x)2=(x-y)2
计算：
(1)(a+b)4 · (a+b)7 ;
(2)(m-n)3 ·(m-n)5 ·(m-n)7 ;
(3)(x－y)2·(y－x)5.
解析：当两个幂的底数为多项式时，把多项式看作一个整体仍可以运用同底数幂的乘法法则.
解：(1) (a+b)4 · (a+b)7 = (a+b)4+7 =(a+b)11;
(2)(m-n)3 ·(m-n)5 ·(m-n)7 =(m-n)3+5+7=(m-n)15;
(3)(x－y)2·(y－x)5=(y－x)2(y－x)5
=(y－x)2+5=(y－x)7.
跟踪训练
例 已知 =4， =3，求 的值.
a
m
a
n
a
m+n
解：
a
m+n
=4×3=12
a
n

a
m
=
am+n=am an
点拨：同底数幂的乘法法则的逆用也很重要.
思维拓展
同底数幂的乘法
法则
am·an=am+n (m,n都是正整数）
注意
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数）
直接应用法则
常见变形：(-a)2=a2, (-a)3=-a3
底数相同时
底数不相同时
先变成同底数再应用法则
1．下列运算正确的是(
)
C
A．a4·a4＝2a4
C．a4·a4＝a8
B．a4＋a4＝a8
D．a4·a4＝a16
B
2．计算－x3·x2的结果是(
A． x5 B．－x5 C． x6 D．－x6
5
3．若 a7·am＝a2·a10，则 m＝__________.
)
C
5.计算：
（1）（a+b）2×(a+b)4×[-(a+b)]7
（2）（m-n）3×(m-n)4×(n-m)7
原式=（a+b）2×(a+b)4×[-(a+b)7 ]
=-(a+b)13.
原式=（m-n）3×(m-n)4× [-(m-n)7 ]
= -(m-n)14.
【解析】
当底数为一个多项式的时候，我们可以把这个多项式看成一个整体.
【解析】
6.据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，
1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个
人每年要用去多少个水分子？
【解析】3.34×1019×106 =3.34×1019+6 =3.34×1025
每个人每年要用去3.34×1025个水分子．
7.(1)若m，n是正整数，且2m·2n＝32，求m，n的值；
【解析】2m·2n＝32＝25，∴m＋n＝5，又m，n都是正整数，
(2)已知a3·am·a2m＋1＝a25，求(6－m)2 015的值．
【解析】m＝7，(6－m)2 015＝－1.
同底数幂的乘法
法则
am·an=am+n (m,n都是正整数）
注意
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
直接应用法则
常见变形：(-a)2=a2, (-a)3=-a3
底数相同时
底数不相同时
先变成同底数再应用法则
智慧往往隐藏在一个人每时每刻的思索和学习中.相信有付出就会有收获，加油同学们，你们是最棒的！

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