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(共21张PPT)
16.3 乘 法 公 式
16.3.1平方差公式
(m+a)(n+b)=
多项式乘法法则:
用一个多项式的每一项
乘另一个多项式的每一项
再把所得的积相加.
mn+mb+an+ab
1.经历探索平方差公式的过程.
2.会推导平方差公式.
3.理解平方差公式的结构特征,会用平方差公式做简单运算.
算一算:
(1) (x+1)(x-1)
(2) (m+2)(m-2)
(3) (2x+1)(2x-1)
观察算式的结构特征,你发现了什么规律
= m2-4
= x2-1
= 4x2-1
计算出结果后,你又发现了什么规律
再试一试:
(1) (x+5y)(x-5y)
= x2-25y2
(2) (x+1)(x-1)
(3) (m+2)(m-2)
(4) (2x+1)(2x-1)
= m2-4
= x2-1
= 4x2-1
猜一猜:
平方差公式:
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2 .
a2－ ab+ab－ b2=
①平方差公式中的a、b可代表数、单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.
两数和,两数差,乘积就是平方差.
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2
图1
图2
验证
例1 运用平方差公式计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ;
⑵ (b+2a)(2a-b);
(3) (-x+2y)(-x-2y).
例 题
分析:
⑴ (3x+2)(3x-2)
3x
3x
a
a
2
2
b
b
(
+
)
(
-
)
= a2 - b2
=
(3x)2
-
22
用公式关键是识别两数
完全相同项 — a
互为相反数项— b
解:
⑴ (3x+2)(3x-2)
=
(3x)2
3x
3x
-
2
2
22
= 9x2 - 4
⑵(b+2a)(2a-b)
b
-b
+2a
2a
=(2a+b)(2a-b)
2a
2a
=(2a)2
=4a2 – b2
b
b
-
b2
位置变化！
(3) (-x+2y)(-x-2y)
= (-x)2-(2y)2
= x2-4y2
1.下列多项式乘法中，能否用平方差公式计算？
（能）
（不能）
（不能）
（能）
（不能）
可变形为：（-3b-2a)(-3b+2a)
使用公式时，关键要找准a与b，公式左边积的两个因式中相同的项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b.
跟踪训练
2.利用平方差公式计算：
原式=(-2y-x)(-2y+x)
= 4y2－x2.
【解析】原式=(5+2x)(5-2x)
= 25－4x2.
【解析】原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]
= (x+6-x+6)(x+6+x-6)
=12×2x=24x.
平方差公式的逆用
a2－b2 = (a+b)(a－b)
【解析】
【解析】原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2 +0.25)
=( 0.25－x2)( 0.25+x2)
=0.062 5－x4.
（5）100.5×99.5.
【解析】原式=(100+0.5)(100-0.5)
=10 000-0.25
=9 999.75.
（1）102×98
例 2：
（2）
51×49
解：原式＝(100 + 2)(100 – 2)
＝1002 – 22
＝9996;
原式＝(50 + 1)(50 – 1)
＝502 – 12
＝2499.
(3) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
原式 = (2-1)(2+1)(22+1)(24+1) )(28+1)
= (22-1)(22+1)(24+1) )(28+1)
= (24-1)(24+1) )(28+1)
= （28-1）(28+1)
= 216-1.
*
计算:(1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98
(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= 1002-22
=10000 – 4
=（100＋2）(100－2)
=9996;
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
跟踪训练
平方差公式
内容
注意
文字表述：
符号表示：
在应用时，首先观察等号左边的式子是否为两个数的和与差相乘；
对于直观上不符合公式结构特征的，可能经过变形后可以适用；
紧紧抓住 “这两个数”的差来确定 a 和 b .
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
（a+b)(a-b)=a2-b2
1.下列计算对不对？如果不对，怎样改正？
(2)
错
(1)
分析：最后结果应是两项的平方差
错
(3)
分析：应先观察是哪两个数的和与这两个数的差
错
分析：应将 当作一个整体，用括号括起来再平方
(不能)
(能)
(能)
(不能)
2.下列各式能否用平方差公式进行计算？
⑴
⑵
⑶
⑷
=a10－b4.
原式=(a5 )2－(b2)2
解：原式=(5+0.1)(5-0.1)
=52－(0.1)2
=25-0.01
=24.99
原式=(9x2－16)
－(6x2+5x -6)
=3x2－5x- 10
（1）5.1×4.9
（3）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
（2）(a5-b2)(a5+b2)
3.计算
4.计算 20242 － 2023×2025;
解：20242 － 2023×2025
= 20242 － (2024－1)(2024+1)
= 20242
－ （20242－12 )
= 20242
－ 20242+12
=1
我的成功只依赖两条：一条是毫不动摇地坚持到底；一条是用手把脑子里想出的图形一丝不差地制造出来.
——蒙日

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