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第十七章 因 式 分 解
17.1 用提公因式法分解因式
1.了解公因式的概念和因式分解的意义，培养逆向思维的能力；
2.通过独立思考、小组交流，探究整式乘法与因式分解的区别和联系；
3.掌握如何用提公因式来分解因式.
观察下列式子：
根据上面的问题，把下列多项式写 成乘积的形式
都是多项式化为几个整式的积的形式
(1) ma+mb+mc= ( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
(1) m(a+b+c)=
(2) (x+1)(x-1)=
(3) (a+b)2 =
ma+mb+mc
x2 -1
a2 +2ab+b2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
分析等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
（4）分解因式必须进行到每个多项式因式不能再分解为止．
（2）分解因式的结果是整式的积的形式；
（1）分解因式是整式乘法的恒等变形，是互逆的过程；
（3）分解的对象必须是多项式；
判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；
(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy
(3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；
(4) x2+4x+4=(x+2)2 ；
(5) (a－3)(a+3)=a2－9；
(6) m2－4=(m+2)(m－2) ；
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
因式分解
因式分解
问题1 以下多项式由哪些项组成？
都含有因式m
问题2 这些项有什么共同特点？
问题3 以下多项式由哪些项组成？
都含有因式
问题4 这些项有什么共同特点？
公因式的定义：
一个多项式的各项都有一个公共的因式，我们把这个因式叫作这个多项式各项的公因式.
如：式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，所以这个多项式各项的公因式为m.
例 指出下列各多项式中各项的公因式：
如何确定一个多项式各项的公因式？
(1)
(2)
(3)
多项式 项 因式 公因式
2ab+3abc
6a2+4a3c 6a2 2 3 a a 2a2
4a3c 2 2 a a a c
2(a-b)+m(a-b) 2(a-b) 2 (a-b) (a-b)
3(a-b) m (a-b)
确定公因式的方法：
三看：一看系数 系数取最大公约数；
二看字母 字母取各项都有的字母；
三看指数 相同字母取最低次幂.
ab
2ab
3abc
3 a b c
2 a b
跟踪训练
找出下列各多项式的公因式：
【例1】把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
分析：找公因式
1.系数的最大公约数 4
2.找相同字母 aｂ
3.相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
【解析】8a3b2+12ab3c
=4ab2 2a2+4ab2 3bc
=4ab2(2a2+3bc).
【典例分析】
【解析】a（x－3）+2b（x－3）
=(x－3)(a+2b).
【例2】把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有（x－3）,因此可以把(x－3)作为公因式提出来.
例3 把－x3＋x2－x分解因式．
多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公因式．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，且最后一项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错解为－x(x2－x)．
解：原式＝－(x3－x2＋x)
　　 ＝－x(x2－x＋1)
注意
分析： 提公因式法进行化简计算时，找到合适的公因式.
【解析】-2100+299=299-2100 =299 -299×2=299 (1-2)=-299
B
1.分解因式(1)ax2-bx-x（2） (a-b)2-(b-a)
（3）–7a3b2+21a2b3-35abc
【跟踪训练】
分析：（1）提公因式后，括号内应该有三项，再有x提出公因式后剩下1；（2）在出现整体时，注意符号变化，再有提出公因式后，(a-b)剩下1； （3）第一项为负时，把所有项放在负括号，所有项都要变号.
【解析】（1） ax2-bx-x =x(ax-b-1)
（2）(a-b)2-(b-a) = (a-b)2+(a-b)= (a-b)(a-b+1)
（3）–7a3b2+21a2b3-35abc =-7ab(a2b-3ab2+5c)
2.分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;
分析：虽然a（x－y)与b(y－x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y)与(y－x）互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如：
y－x=－（x－y）
【解析】a（x－y）+b（y－x）
=a（x－y）－b（x－y）
=（x－y）（a－b）.
【解析】6（m－n）3－12（n－m）2
=6（m－n）3－12［－（m－n）］2
=6（m－n）3－12（m－n）2
=6（m－n）2（m－n－2）.
（2） 6（m－n）3－12（n－m）2
1.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
提公因式法
2.分解因式的方法：
注意符号变化
1.下列因式分解正确的是（ ）
√
×
应为(a-b)(m+n)
原式变形为m(x-y)+n(x-y)
=(x-y)(m+n)
×
(x-y)[3(x-y)+2]
=(x-y)(3x-3y+2)
×
C
2.把下列各式分解因式
（1）8x－72
（2）a2b－5ab
（3）4m3－6m2
（4）a2b－5ab+9b
（5）－a2+ab－ac
=8（x－9）
=ab（a－5）
=2m2（2m－3）
=b（a2－5a+9）
=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）
3．（1） 2x(x-2y)+4y(2y-x)
= 2x(x-2y)-4y(x-2y)
=2(x-2y)(x-2y)
=2(x-2y)2
（2）(2a+b)(3b-2a)-a(2a+b)
=(2a+b)(3b-2a-a)
=(2a+b)(3b-3a)
=3(2a+b)(b-a)
4.化简计算 ：（1）9×10100-10101
（2）1.23×8.9+8.9×5.32+3.45×8.9
【点拨】（1）10101可以分解成10100×10，然后提公因式10100；
（2）总共有三项，每一项有8.9，可以进行提公因式 .
【解析】（1）原式=9×10100-10100×10=10100×(9-10)=-10100
　　　　（2）原式=8.9×(1.23+5.32+3.45)=8.9×10=89
【解析】原式=（a+b－c)(a－b+c)－(b－a+c)(a－b+c)
=（a－b+c)［(a+b－c)－(b－a+c)］
=（a－b+c)(a+b－c－b+a－c）
=（a－b+c)(2a－2c）
=2（a－b+c)(a－c）.
5.把(a+b－c)(a－b+c)+(b－a+c)(b－a+c)分解因式.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞.

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