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福建省宁德市2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试题
一、单选题
1．56个民族56朵花，每个民族的服饰各有特色．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．为迎接校园运动会，小明设计了如图所示的彩旗，其中，点为中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．随着人工智能技术的飞速发展，智能机器人逐渐走进人们的生活．如图，某科技公司设计了一款家用服务机器人，其主体外观呈正八边形，则该正八边形每个内角的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将沿方向平移，得到，若，则平移的距离是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
9．为了更好宣传宁德畲族历史文化，某商店推出多款文创产品，其中有木质浮雕冰箱贴、畲族IP卡通钥匙扣等．已知1个冰箱贴的售价比1个钥匙扣的售价高20元，用45元购买钥匙扣和105元购买冰箱贴的数量一样多．若设钥匙扣的单价为x元，则可列方程是（ ）
A． B． C． D．
10．已知一次函数的图象经过点．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，是不等式的一个解
B．当时，是不等式的一个解
C．当时，不等式的解集为
D．当时，不等式的解集为
二、填空题
11．如图，为估测被花坛隔开的A，B两点间的距离，先在外取一点C，找到的中点D，E，测得的长为．则A，B两点间的距离是 ．
12．写出不等式的一个正整数解是 ．
13．用反证法证明 “在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC”，第一步应假设 .
14．将一个含角的直角三角板与直尺按如图方式放置，三角板的斜边与直尺的一边平行，直尺的上下两边恰好经过0和4刻度．则直尺的宽度是 ．
15．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ．
16．如图，在中，，，，点E是上一点，连接，，以，为边作，连接．若，则x的取值范围是 ．
三、解答题
17．因式分解：
(1)；
(2)．
18．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
19．如图，在中，点，在对角线上，且．求证：．
20．化简：．
21．生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某小区为加强生活垃圾分类处理，购进A型和B型两种垃圾桶共60个，已知购买一个A型垃圾桶需40元，一个B型垃圾桶需25元．为了保证总费用不超过2000元，则A型垃圾桶最多能购买多少个？
22．某校“智慧数学”社团征集专属设计图案，要求该图案是一个由正方形和三条线段组成的中心对称图形，且三条线段表示字母“Z”．
(1)图1是小红根据要求设计的图案，其中的一条线段恰好在正方形的对角线上．已知，，点E，F在上，求线段的长；
(2)图2是小明根据要求设计的图案的一部分，该图案缺失了部分线段，请仅用无刻度的直尺将图案补充完整．（保留作图痕迹，辅助线用虚线表示，所求作的线段用实线描黑）
23．代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”．
例如：已知，为实数，且，求证：
证明：①______，
，，．
又，．（②______）
．③______
．
(1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据）
(2)已知，且，求证：．
24．【问题情景】
数学活动课上，老师给出如下探究问题：
已知，请利用直尺和圆规作一个菱形，要求如下：
①所作菱形的四边至少经过的两个顶点；
②所作菱形的面积等于的面积．
【实践探究】
（1）下列同学们提交的四种作图中，满足要求的是______；（填序号）
（2）选择（1）中一种正确作图，根据作图痕迹，证明所作的图形是满足要求的菱形；
【拓展提升】
（3）请利用下面所给的平行四边形作出满足要求的菱形，且该菱形的边长与（1）中满足要求的菱形的边长不相等．（保留作图痕迹，不写作法）
25．如图，已知等腰三角形，，，点在上，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．
(1)如图1，当时，完成下列问题：
①求证：；
②求证：与的面积相等；
(2)如图2，当时，若点是中点，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．A
2．D
3．B
4．C
5．B
6．C
7．D
8．B
9．A
10．B
11．18
12．（答案不唯一）
13．AB=AC
14．2
15．84
16．
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
这个不等式的解集在数轴上表示为：
19．证明：∵四边形是平行四边形，
，．
．
又，
．
∴．
20．解：原式．
21．解：设购买型垃圾桶个，则购买型垃圾桶个，
根据题意得，
解得，
为整数，
的最大值为33．
答：最多能购买型垃圾桶33个．
22．（1）解：如图1，连接交于点，
四边形是正方形，且，
，，，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
∴．
根据中心对称性，得，
．
（2）解：将图案补充完整如图所示：
23．（1）证明：，
，，
．
又，
．（不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变）
．
，
，
故答案为：①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③；
（2）证明：，
．
．
①．
，
．
等式①的两边同时除以，得，
．
24．（1）解：图①中所作菱形的面积不等于的面积，故不符合题意；
图②中所作菱形的面积等于的面积，且经过的两个顶点，故符合题意；
图③中所作菱形的面积不等于的面积，故不符合题意；
图④中所作的四边形不是菱形，故不符合题意；
故满足要求的是②；
（2）证明：由作图可得，．
四边形是平行四边形，
，．
，
．即．
，
，
四边形是平行四边形．
又，
是菱形．
菱形与等底同高，
菱形与的面积相等．
由图可知菱形的四边经过的顶点，，
∴菱形是满足要求的菱形．
（3）解：作法一：作法如图2，图中所作的四边形就是求作的菱形．
；
作法二：作法如图3，图中所作的四边形就是求作的菱形，
．
25．（1）解：①当时，，
．
，．
．
②如图1，过点作，交的延长线于点．
．
由旋转得．
又，
．
．
，，，
．
（2）解：与的数量关系是．
如图2，延长至点，使得，连接．
．
，
．
线段绕点顺时针旋转得到，
，．
．
．
．
，．
取的中点，连接．
，
点是中点，
，，
．
，
．
．
．
，
．
．

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