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一次函数的性质专项复习
知识点1：一次函数的图象与性质
一次函数 y=kx+b（k、b是常数，k≠0 )
性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
【题型1 确定一次函数经过的象限】
【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）如果，，则直线不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）一次函数的图象一定经过第 象限．
【变式1-2】（23-24九年级·河北唐山·期中）一次函数的图像经过点P，且，则点P的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24九年级·四川达州·期中）如果 ab>0， <0 则直线 不经过第 象限；
【题型2 确定一次函数的增减性】
【例2】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数( )
A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小
C．当时，随的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
【变式2-1】（23-24九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，随的增大而减小的是（　　）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24九年级·安徽蚌埠·期末）在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·浙江杭州·一模）若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则W 0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）
【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级·宁夏银川·期中）如果直线不经过第二象限，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24九年级·河南驻马店·期中）已知点、，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围为 ．
【变式3-2】（2024九年级·全国·专题练面直角坐标系中，过点的直线l经过一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·期中）已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 由一次函数的增减性求字母的取值范围】
【例4】（23-24九年级·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义:若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数 (，)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则的取值范围是 ．

【变式4-1】（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k值可能是（　　）
A．1 B． C． D．
【变式4-2】（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（ ）
A．－5 B．－2 C． D．－1
【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是( )
A． B． C． D．
【题型5 比较一次函数值的大小】
【例5】（23-24九年级·山东聊城·期末）一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（23-24九年级·广西崇左·阶段练习）已知点和点是一次函数图象上的两点，则a b．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【变式5-2】（23-24九年级·江西抚州·期中）已知一次函数的图象经过，两点，则 ．（填“”“<”或“=”）
【变式5-3】（23-24九年级·福建厦门·期末）点是一次函数图像上两点，则a b（填“>”、“=”或”<”）．
【题型6 一次函数中的对称性问题】
【例6】（23-24九年级·陕西西安·开学考试）若直线 与直线 关于直线 对称，则 值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【变式6-2】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，，直线交轴于，过点A作交轴于点D．
(1)求直线和直线的关系式；
(2)点M在直线上，且与的面积相等，求点M的坐标．
【变式6-3】（2024·江西南昌·一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式 ．
知识点2：两直线的位置关系
同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系：
的关系 与的关系
与相交
， 与相交于y轴上的一点
， 与平行
【题型7 由两直线的位置关系求解析式】
【例7】（23-24九年级·福建南平·期末）探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线上的三点，，，有，，，兴趣小组提出猜想：若直线上任意两点， ，则是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，是定值，并且是直线中的，叫做这条直线的斜率．
（1）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的斜率______．
探究活动二：
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
（2）如图2，直线与直线垂直于点，且，，．请求出直线与直线的斜率之积．并写出你发现的结论．
综合应用：
（3）如图3，，，请结合探究活动二的结论，求出过点且与直线垂直的直线的解析式．
【变式7-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·阶段练习）函数的图象平行于直线，且交y轴于点，则其函数表达式是 ．
【变式7-2】（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式7-3】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则．
(1)已知直线经过，两点，请直接写出______．
(2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值．
【题型8 两直线的相交问题】
【例8】（23-24九年级·四川自贡·阶段练习）已知一次函数的图像经过点，且与正比例函数交于点，求点B 的坐标及一次函数的解析式．
【变式8-1】（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线和分别交轴于点，，两直线交于点．
（1）求，的值；
（2）求的面积．
【变式8-2】（23-24九年级·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1= x+2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y2=kx+b(k≠0)经过点C(1，0)且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．
(1)求A、 B的坐标；
(2)求△ABO的面积；
(3)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．

【变式8-3】（23-24九年级·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线分别与轴，轴交于点，点，两直线的交点为．

(1)求，，的值．
(2)连接，试说明．（表示几何图形的面积）．
(3)若轴上存在点，使得（表示几何图形的面积），求出此时点的坐标．
【题型9 由一次函数解决最值问题】
【例9】（23-24九年级·四川内江·期中）对于几个实数a、b、c，我们规定符号表示a、b、c中较小的数，如：．按照这个规定，已知函数：，则y的最大值是 ．
【变式9-1】（2024·四川南充·二模）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．

(1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；
(2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是　　．
【变式9-3】（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，直线与直线相交于点M．

(1)求直线的解析式及点M的坐标；
(2)点P是直线上的一点．
①当时，求点P的坐标；
②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当取最小值时，直接写出点Q的坐标．
【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】
【例10】（23-24九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．
(1)求三角形的面积．
(2)若点 P 的坐标为(m，0)，
①请直接写出线段的长为 ；(用含m的式子表示)
②当 时，求m的值．
(3)若交y轴于点 M，求点 M的坐标．
【变式10-1】（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（ ）
A．k，b B．k，b
C．k，b D．k，b
【变式10-2】（2024·陕西·一模）问题探究：
（1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可）
（2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：；
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．
①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程；
②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式．
【变式10-3】（23-24九年级·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足．

(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接，，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形的面积．
(3)在（2）的条件下，记与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接，，若三角形的面积与三角形的面积相等，直接写出点P的坐标．
答案
知识点1：一次函数的图象与性质
一次函数 y=kx+b（k、b是常数，k≠0 )
性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
【题型1 确定一次函数经过的象限】
【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）如果，，则直线不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴异号，异号，
∴，且同号，
∴，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选B
【变式1-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）一次函数的图象一定经过第 象限．
【答案】一
【详解】解：∵该函数为一次函数，
∴，即
分类讨论：①当，即时，
∴，
∴此时该函数图象必经过第一、三象限．
当时，经过第二象限，当时，经过第四象限；
②当，即时，
∴，
∴此时该函数图象经过第一、二、四象限，
综上可知，该函数图象必经过第一象限．
故答案为：一．
【变式1-2】（23-24九年级·河北唐山·期中）一次函数的图像经过点P，且，则点P的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴y的值随x值的增大而增大，
又∵，
∴一次函数的图像经过第一、二、三象限．
∵在第四象限，
∴点P的坐标不可能为．
故选：D．
【变式1-3】（23-24九年级·四川达州·期中）如果 ab>0， <0 则直线 不经过第 象限；
【答案】一
【详解】∵ab＞0，＜0，
∵a、b同号，a、c异号，
当a＞0，b＞0时，c＜0，
∴＞0，＜0，
∴直线y=-x+过二、三、四象限；
当a＜0，b＜0时，c＞0，
∴＞0，＜0，
∴直线过二、三、四象限．
∴这条直线不经过第一象限，
故答案为：一．
【题型2 确定一次函数的增减性】
【例2】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数( )
A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小
C．当时，随的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【详解】∵A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），
∴由图象可知：当x＜1时，y随x的增大而增大，
当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
故选：C．
【变式2-1】（23-24九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，随的增大而减小的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：、∵，
∴随的增大而增大，该选项不合题意；
、∵，
∴随的增大而增大，该选项不合题意；
、∵，
∴随的增大而增大，该选项不合题意；
、∵，
∴随的增大而减小，该选项不合题意；
故选：．
【变式2-2】（23-24九年级·安徽蚌埠·期末）在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ，
随的增大而减小，
当时，，
，
故选：A．
【变式2-3】（2024·浙江杭州·一模）若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则W 0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）
【答案】＜
【详解】解：∵一次函数，随增大而减小，
∴当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
故答案为：＜．
【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级·宁夏银川·期中）如果直线不经过第二象限，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵不经过第二象限，
∴，且，
∴，
故选：A
【变式3-1】（23-24九年级·河南驻马店·期中）已知点、，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：∵A（﹣1，2），B（3，2），
∴若过A点，则2＝1+b，解得b＝1，
若过B点，则2＝﹣3+b，解得b＝5，
∴1≤b≤5．
故答案：1≤b≤5．
【变式3-2】（2024九年级·全国·专题练面直角坐标系中，过点的直线l经过一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵直线l经过第一、二、三象限且过点，
∴y随x的增大而增大．
∵，
∴，
∴A、B、C均错；
∵点在直线l上，
∴．
故选D．
【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·期中）已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】过点的直线不经过第四象限，
，，，
，
，解得：，
，
，
，
即S的取值范围为：，
故选B．
【题型4 由一次函数的增减性求字母的取值范围】
【例4】（23-24九年级·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义:若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数 (，)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则的取值范围是 ．

【答案】
【详解】解：∵k=-1，y随x的增大而减小，
∴当x=a时，-a+1=2，解得a=-1，
而x=b时，y=-b+1，
∴-2≤-b+1≤2，
且b＞a，
∴-1＜b≤3．
故答案为-1＜b≤3．
【变式4-1】（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k值可能是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵一次函数的函数值y随着x的增大而增大，
∴，解得．
所以k的值可以是．
【变式4-2】（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（ ）
A．－5 B．－2 C． D．－1
【答案】A
【详解】解：∵
∴函数的函数值随着x的增大而增大，
当时，则当时取得最小值，
即，
解得，
故选：A
【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：将，两点坐标分别代入一次函数解析式得，
，
两式相减得， ，
所以，
因为，
所以，
则，
所以，
则．
故选：A．
【题型5 比较一次函数值的大小】
【例5】（23-24九年级·山东聊城·期末）一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵一次函数中的，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故选：C．
【变式5-1】（23-24九年级·广西崇左·阶段练习）已知点和点是一次函数图象上的两点，则a b．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜
【详解】解：把代入一次函数得：
得：，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24九年级·江西抚州·期中）已知一次函数的图象经过，两点，则 ．（填“”“<”或“=”）
【答案】
【详解】解：∵一次函数中的，
∴该函数图象是直线，且y的值随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【变式5-3】（23-24九年级·福建厦门·期末）点是一次函数图像上两点，则a b（填“>”、“=”或”<”）．
【答案】<
【详解】解：∵k=，
∴一次函数y随x增大而增大，
同理当y越大时x也越大，
∵2＜3，
∴ab．
故答案为．
【题型6 一次函数中的对称性问题】
【例6】（23-24九年级·陕西西安·开学考试）若直线 与直线 关于直线 对称，则 值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵一次函数与y轴交点为，
∴点关于直线的对称点为，
把代入直线，可得，
解得，
则，
一次函数与y轴交点为，
关于直线的对称点为，
代入直线，可得，
解得．
故选：C．
【变式6-1】（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m），
将点B的坐标代入直线y＝﹣x+1
得：﹣m＝﹣2+1，
解得：m＝1，
故选：B．
【变式6-2】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，，直线交轴于，过点A作交轴于点D．
(1)求直线和直线的关系式；
(2)点M在直线上，且与的面积相等，求点M的坐标．
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵
∴设直线的解析式为：，
则,
解得：
∴直线的解析式为：，
（2）解：如图所示：过点作的平行线，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
则直线的解析式为：，
∵点M在直线上，且与的面积相等，
∴点M是直线与直线的交点
则，
解得：
∴
点关于点的对称点为：
综上所述：点M的坐标为或
【变式6-3】（2024·江西南昌·一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式 ．
【详解】y＝2x+1，
当x＝0时，y＝1，
当y＝0时，x＝﹣，
即函数和x轴的交点为（﹣，0），和y轴的交点坐标为（0，1），
所以两点关于直线y＝x对称的点的坐标分别为（0，﹣）和（1，0），
设反函数的解析式是y＝kx+b，
代入得：，
解得：k＝，b＝﹣，
即y＝x﹣，
故答案为y＝x﹣．
知识点2：两直线的位置关系
同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系：
的关系 与的关系
与相交
， 与相交于y轴上的一点
， 与平行
【题型7 由两直线的位置关系求解析式】
【例7】（23-24九年级·福建南平·期末）探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线上的三点，，，有，，，兴趣小组提出猜想：若直线上任意两点， ，则是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，是定值，并且是直线中的，叫做这条直线的斜率．
（1）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的斜率______．
探究活动二：
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
（2）如图2，直线与直线垂直于点，且，，．请求出直线与直线的斜率之积．并写出你发现的结论．
综合应用：
（3）如图3，，，请结合探究活动二的结论，求出过点且与直线垂直的直线的解析式．
【详解】解：（1）根据题意得：．
（2）∵，，，
∴，，
∴，
结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于-1．
（3）设过点且与直线垂直的直线为，解析式为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线经过点，
∴，解得．
∴过点且与直线垂直的直线的解析式为．
【变式7-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·阶段练习）函数的图象平行于直线，且交y轴于点，则其函数表达式是 ．
【详解】解：∵函数的图象平行于直线，
∴，
∴交y轴于点，
∴，
∴函数的表达式是，
故答案为：．
【变式7-2】（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【详解】解：根据题意，设一次函数的解析式为，
由点在该函数图象上，得，解得．
所以，．可得点，．
由，且为整数，取，2，4，6时，对应的是整数．
因此，在线段上（包括点、，横、纵坐标都是整数的点有4个．
故选：B．
【变式7-3】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则．
(1)已知直线经过，两点，请直接写出______．
(2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值．
【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)，
∴k=，
故答案为：；
（2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)，
∴k1=，
∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)，
∴k1=，
∴k1k2=-2×=-1．
【题型8 两直线的相交问题】
【例8】（23-24九年级·四川自贡·阶段练习）已知一次函数的图像经过点，且与正比例函数交于点，求点B 的坐标及一次函数的解析式．
【详解】解：把代入得：，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为．
【变式8-1】（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线和分别交轴于点，，两直线交于点．
（1）求，的值；
（2）求的面积．
【详解】解：（1）∵两直线交于点
∴将代入得：n=-2+3=1
即：C点坐标为：（1,1）
将C（1,1）代入得：m-1=1
即：m=2
故：m=2，n=1．
（2）∵当x=0时，
∴A（0,3）
当x=0时，
∴B（0，-1）
∴
故：△ABC的面积为2．
【变式8-2】（23-24九年级·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1= x+2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y2=kx+b(k≠0)经过点C(1，0)且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．
(1)求A、 B的坐标；
(2)求△ABO的面积；
(3)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．

【详解】解：（1）∵一次函数的解析式为y1=-x+2，
令x=0，得y1=2，
∴B(0，2)，
令y1=0，得x=3，
∴A(3，0)；
（2）由（1）知：OA=3，OB=2，
∴S△ABO=OA OB=×3×2=3；
（3）∵S△ABO=×3=，点P在第一象限，
∴S△APC=AC yp=×(3-1)×yp=，
解得：yp=，
又点P在直线y1上，
∴=-x+2，
解得：x=，
∴P点坐标为(，)，
将点C(1，0)、P(，)代入y=kx+b中，得
，
解得：．
故可得直线CP的函数表达式为y=-6x+6．
【变式8-3】（23-24九年级·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线分别与轴，轴交于点，点，两直线的交点为．

(1)求，，的值．
(2)连接，试说明．（表示几何图形的面积）．
(3)若轴上存在点，使得（表示几何图形的面积），求出此时点的坐标．
【详解】（1）解：∵直线和直线的交点为，
∴，
∴；
又直线与坐标轴交于，
∴，解得：；
（2）由（1）知：，；
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设，如图，

∴
∵，
∴，
∴，
∴或；
∴或．
【题型9 由一次函数解决最值问题】
【例9】（23-24九年级·四川内江·期中）对于几个实数a、b、c，我们规定符号表示a、b、c中较小的数，如：．按照这个规定，已知函数：，则y的最大值是 ．
【详解】解：当时，即，
则，
∵随x的增大而增大，
∴当时，y取的最大值；
当时，即，
则，
∵随x的增大而增大，
∴当时，y取的最大值；
当时，解得，
则，
∵随x的增大而减小，
∴当时，y取的最大值；
综上可知，y的最大值是．
故答案为：．
【变式9-1】（2024·四川南充·二模）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ．
【详解】∵直线与直线交于点，
∴将代入，有：，
解得：，
即直线解析式为：，
当时，，即，
∵点在线段上，点在直线上，
∴，，且，
∴，
∵，
∴当时，的值最小，且为，
故答案为：．
【变式9-2】（23-24九年级·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．

(1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；
(2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是　　．
【详解】（1）
解：∵一次函数的比例系数为，，
∴一次函数一定经过第一、三象限．
∵求b的最大值，
∴图象还应该经过第二象限的点．
∴．
∴
答：b的最大值为8；
（2）
当时，图象经过
∵图象必过点，，
∴直线运动的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）．
∴直线不可能经过的点是N．
故答案为：N．

【变式9-3】（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，直线与直线相交于点M．

(1)求直线的解析式及点M的坐标；
(2)点P是直线上的一点．
①当时，求点P的坐标；
②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当取最小值时，直接写出点Q的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，得，解得，
，
解方程组，解得，
点的坐标为；
（2）解：①令，则，解得，
∴直线与轴的交点，
设点，
，
∴，即或，解得或，
则点P的坐标为或；
②当点P的坐标为时，如图，作点M关于轴的对称点，连接交轴于点，

此时有最小值，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
设的解析式为，
则，解得，
∴的解析式为，
令，则，
解得，
∴点Q的坐标；
当点P的坐标为时，如图，

当点Q与点重合时，此时有最小值，
∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或．
【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】
【例10】（23-24九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．
(1)求三角形的面积．
(2)若点 P 的坐标为(m，0)，
①请直接写出线段的长为 ；(用含m的式子表示)
②当 时，求m的值．
(3)若交y轴于点 M，求点 M的坐标．
【详解】（1）解：过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于．如图1所示：
，，
，，，．
，，，，，，．
．
答：的面积是8．
（2）解：①根据题意得：；
故答案为：；
②
，
或，
或；
（3）解：设直线的解析式为，
根据题意得：，
解得：，；
直线的解析式为，
当时，，
．
【变式10-1】（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（ ）
A．k，b B．k，b
C．k，b D．k，b
【答案】D
【详解】解：由图可知A(-2,0)，B(2,3)，
把A、B的坐标分别代入解析式，得
解得
故选：D．
【变式10-2】（2024·陕西·一模）问题探究：
（1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可）
（2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：；
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．
①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程；
②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式．
【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一），
理由如下：如图，直线l分别交、于点E、F，
∵，，
∵；
（2）设、之间的距离为h，∵，
，
，
．
（3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，
量出的中点Q，连接，的位置如图所示．
∵，
∴，
又∵，
∴，
，
∵平分梯形的面积，
∴平分五边形的面积，
②由题意得，，，，，，
．
设直线的解析式为，
将，，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，故可设直线的解析式为，
将代入，得，
∴直线的解析式为．
当时，，解得．
．
，
设直线的解析式为，
将，，代入得，
解得，
∴直线的解析式为．
【变式10-3】（23-24九年级·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足．

(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接，，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形的面积．
(3)在（2）的条件下，记与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接，，若三角形的面积与三角形的面积相等，直接写出点P的坐标．
【详解】（1）∵实数a，b满足，
且，，
∴，，
∴，，
∴点A的坐标为；
（2）过点A作x轴的垂线，点B为垂足，
∴，
若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，
则点C坐标为，即，
，
∴，
即三角形的面积为30；
（3）如图，设直线的解析式为，

将点，点代入，
可得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点，
∴
设点，
∵三角形的面积与三角形的面积相等，
∴，
即，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．

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