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广东省中山市杨仙逸中学2025届高三数学第一次模拟考试数学试题
1．（2025·中山模拟）已知全集，集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·中山模拟）已知复数满足，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·中山模拟）使成立的一个充分但不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·中山模拟）若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是
A．4 B．8 C．2 D．4
5．（2025·中山模拟）若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·中山模拟）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（　　）
A．4 B．2 C．1 D．0
7．（2025·中山模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·中山模拟）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
9．（2025·中山模拟）某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（　　）
参考数据：；；.
A．这次考试等级分的标准差为25
B．这次考试等级分超过80分的约有450人
C．这次考试等级分在内的人数约为997
D．
10．（2025·中山模拟）已知函数，则下列说法正确的有（　　）
A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点
C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值
11．（2025·中山模拟）已知是函数的极值点，若，则下列结论 正确的是（　　）
A．的对称中心为 B．
C． D．
12．（2025·中山模拟）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=　 　
13．（2025·中山模拟）已知，则实数的取值范围是　 　.
14．（2025·中山模拟）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求　 　.
15．（2025·中山模拟）已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集是或x＞-2，求的值；
（2）若不等式的解集是，求的值：
（3）若不等式的解集是，求的取值范围；
（4）若不等式的解集是，求的取值范围.
16．（2025·中山模拟）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
（2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
17．（2025·中山模拟）地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：
年份编号x 1 2 3 4 5
地区生产总值y(百亿元) 14.64 17.42 20.72 25.20 30.08
（1）该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率；
（2）该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程.
参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；
线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是：，
若，则.
18．（2025·中山模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数．
（i）求的值；
（ii）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
19．（2025·中山模拟）已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”.
（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；
（2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；
（3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意可得得，又因为，所以，
所以，
故答案为：C.
【分析】先利用对数函数的性质求出集合B，再利用集合交集的概念即可求解.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
所以，所以的虚部为，
故答案为：C．
【分析】先利用复数的四则运算可得，再利用复数的概念即可求解.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，则，即，
取 ， ，
则集合是集合的真子集，
即使成立的一个充分但不必要条件是，
故答案为：B.
【分析】先求解不等式所对应的集合，再利用充分、必要条件的定义可得集合是集合的真子集，再逐项判断即可求解.
4．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由，
当且仅当时，即等号成立.
所以2x＋4y的最小值是8.
故答案为：B．
【分析】利用基本不等式的“一正”，“二定”，“三相等”即可求解.
5．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：命题的否定为“，，使得”
原命题为假命题，则命题的否定为真命题，
即恒成立，
设，则，
所以为增函数，
因为，所以，
故答案为：B
【分析】先利用含有量词的命题的否定为真命题，转化为恒成立，构造函数，求导可得在R上单调递增，利用函数的单调性即可求解.
6．【答案】B
【知识点】偶函数；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】因为，且是定义在R上的偶函数，
所以，
令，则，
所以，即，
所以函数的周期为2，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和换元法以及周期函数的定义，进而得出函数的周期，再结合函数的周期得出函数的值。
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以.
故选：A．
【分析】根据题意，转化为在上恒成立，构造函数，，结合二次函数的性质求出的最值，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、因为函数的定义域为，
且满足，
取，得，则，
取，得，则，故A错误；
取，，则，
所以，，，，
将以上各式相加，得，
又因为，
所以，故A正确；
B、令，则，即，
因为，所以方程无解，故B错误；
C、，
其对称轴为，故C正确；
D、，
其对称轴为，故D错误.
故答案为：C
【分析】分别取，代入即可即可判断A； 取，得到，利用累加法求出，令，验证判别式即可判断B；分别利用二次函数求出对称轴验证即可判断CD.
9．【答案】C,D
【知识点】正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【解答】解：A、由题设，均值，方差，所以标准差为5，故A错误；
B、，所以人，故B错误；
C、，
则人，故C正确；
D、，故D正确．
故答案为：CD.
【分析】由题意，可得 即可判断A；利用正态分布的对称性即可判断B；利用原则即可判断CD.
10．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：，记
因为，且，在区间上显然递增，
所以记为的零点，则有
所以当时，，在上单调递增，
又因为，所以当时，，当时，，
所以当时，有极小值，故D正确；
由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确；
易知，故B错误
故答案为：ACD
【分析】利用二次导数以及，研究的单调性可判断ACD；直接观察函数零点即可判断B.
11．【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、因为，
所以的对称中心为，故A 正确；
B、，令，解得，
当时，
，
因为，所以，可得，
当时，
，
因为，所以，可得，故B错误；
C、令，解得，
当或时，，是单调递增函数，
当时，，是单调递减函数，
所以在时有极大值，在时有极小值，
如下图，当时，若，
则
，
可得，即，
解得，
所以；
画出函数图象如图所示：
当时，如下图，若，
则
，
可得，即，
解得，
所以；
综上所述，，故C正确；
D、由C选项可知，若，，
所以，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用即可判断A；令，解得，代入即可判断B；利用导数判断出的单调性并求出极值点，结合图像分情况由解出，可得即可判断C；若，，得出即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，
f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2
=lg（ab）2=2lg（ab）=2．
故答案为：2．
【分析】由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）．由此能求出结果．
13．【答案】
【知识点】一元二次不等式；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：将不等式可化为，
由不等式可得，即，求解得：或；
由不等式可得，即，求解得：或；
综上：.
故答案为：.
【分析】先将不等式可化为，再把分式不等式化为一元二次不等式即可求解.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得，
设事件表示“在第1，2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”，
则，
所以，
所以，
故答案为：.
【分析】先利用古典概率公式求出，再利用条件概率公式求出，即可求解.
15．【答案】解：（1）因为不等式的解集是或，
所以方程的两个根分别为和，
所以，解得，
（2）因为不等式的解集是，
所以方程有两个相等的根为，且，
所以，且，
解得或（舍去），
（3）因为不等式的解集是，
所以且，
由，得，得或，
因为，所以，
所以的取值范围为，
（4）不等式的解集是，
所以且，
由，得，解得或，
因为，所以，
所以的取值范围为
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意可得方程的两个根分别为和，把两个根分别代入方程中列出方程组即可求解；
（2）由题意可得方程有两个相等的根为，且，利用即可求解；
（3）由题意可得且，即可求解；
（4）由题意可得且，从而可求出的取值范围即可求解.
16．【答案】（1）解：设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，
则可取，可取，
则，
所以甲正确完成面试题数的分布列为：
，
，，
，，
所以乙正确完成面试题数为的分布列为：
；
（2）解：由（1）得，
，
因为，
所以甲得成绩更稳定，
所以甲面试通过的可能性大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，再利用古典概率公式求出对应概率，即可求出分布列和期望；
（2）利用方差公式分别求出方差，比较大小即可求解.
（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，
则可取，可取，
则，
所以甲正确完成面试题数的分布列为：
，
，，
，，
所以乙正确完成面试题数为的分布列为：
；
（2）由（1）得，
，
因为，
所以甲得成绩更稳定，
所以甲面试通过的可能性大.
17．【答案】（1）解：易知，所以根据正态分布区间公式有，
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为，
则，所以：；
（2）解：因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
，
，
所以，
则，
由公式可知，
即.
【知识点】线性回归方程；二项分布；3σ原则
【解析】【分析】（1）利用正态分布的原则可得，再利用二项分布的概率公式计算即可求解；
（2）先求出，再利用最小二乘法公式可得即可求解.
（1）易知，所以根据正态分布区间公式有，
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为，
则，所以：；
（2）因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
，
，
所以，
则，
由公式可知，
即.
18．【答案】（1）解：由题意可知，则的定义域为，
，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：（i）函数，则，，故．
（ii）函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以
．
可知曲线关于直线对称．
【知识点】奇偶函数图象的对称性；对数函数的图象与性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求出，求导可得，，再分和两种情况讨论函数的单调性即可求解；
（2）（i）求出，直接计算，即可求解；（ii）利用的定义域为，利用函数的对称轴则定义域对称可得，再验证即可求解.
（1）由题意可知，则的定义域为，
，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）（i）函数，则，，故．
（ii）函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以
．
可知曲线关于直线对称．
19．【答案】（1）解：已知，则，得，故函数经过点的切线方程为，
其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”.
（2）解：设点的横坐标为，为正整数，则函数图像在点处的切线方程为，
代入其“上位点”，得，
化简得，
即，
故，
因为，得（*），
又点的坐标为，
所以点的坐标为，点的坐标为.
（3）解：将代入，解得，由（*）得，.
即，又，
故是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，即，.
令，则严格减，
因为，所以函数在区间上严格增.
当时，，于是当时，严格减，符合要求
当时，.
因为时，
所以当时，，
从而当时严格增，不存在正整数，
使得无穷数列，，…，严格减.
综上，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）先求导可得，再利用导数的几何意义可得经过点的切线方程，再利用“上位点”的定义判断即可求解；
（2）设点的横坐标为，为正整数，再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得，进而可得、的坐标；
（3）由（2），构造等比数列可得，由题意，再根据导数与单调性的关系分析判断即可.
（1）已知，则，得，
故函数经过点的切线方程为，
其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”.
（2）设点的横坐标为，为正整数，
则函数图像在点处的切线方程为，
代入其“上位点”，得，
化简得，
即，
故，
因为，得（*），
又点的坐标为，
所以点的坐标为，点的坐标为.
（3）将代入，解得，
由（*）得，.
即，又，
故是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，即，.
令，则严格减，
因为，所以函数在区间上严格增.
当时，，于是当时，严格减，符合要求
当时，.
因为时，
所以当时，，
从而当时严格增，不存在正整数，
使得无穷数列，，…，严格减.
综上，.
1 / 1广东省中山市杨仙逸中学2025届高三数学第一次模拟考试数学试题
1．（2025·中山模拟）已知全集，集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意可得得，又因为，所以，
所以，
故答案为：C.
【分析】先利用对数函数的性质求出集合B，再利用集合交集的概念即可求解.
2．（2025·中山模拟）已知复数满足，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
所以，所以的虚部为，
故答案为：C．
【分析】先利用复数的四则运算可得，再利用复数的概念即可求解.
3．（2025·中山模拟）使成立的一个充分但不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，则，即，
取 ， ，
则集合是集合的真子集，
即使成立的一个充分但不必要条件是，
故答案为：B.
【分析】先求解不等式所对应的集合，再利用充分、必要条件的定义可得集合是集合的真子集，再逐项判断即可求解.
4．（2025·中山模拟）若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是
A．4 B．8 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由，
当且仅当时，即等号成立.
所以2x＋4y的最小值是8.
故答案为：B．
【分析】利用基本不等式的“一正”，“二定”，“三相等”即可求解.
5．（2025·中山模拟）若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：命题的否定为“，，使得”
原命题为假命题，则命题的否定为真命题，
即恒成立，
设，则，
所以为增函数，
因为，所以，
故答案为：B
【分析】先利用含有量词的命题的否定为真命题，转化为恒成立，构造函数，求导可得在R上单调递增，利用函数的单调性即可求解.
6．（2025·中山模拟）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（　　）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】偶函数；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】因为，且是定义在R上的偶函数，
所以，
令，则，
所以，即，
所以函数的周期为2，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和换元法以及周期函数的定义，进而得出函数的周期，再结合函数的周期得出函数的值。
7．（2025·中山模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以.
故选：A．
【分析】根据题意，转化为在上恒成立，构造函数，，结合二次函数的性质求出的最值，即可求解.
8．（2025·中山模拟）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、因为函数的定义域为，
且满足，
取，得，则，
取，得，则，故A错误；
取，，则，
所以，，，，
将以上各式相加，得，
又因为，
所以，故A正确；
B、令，则，即，
因为，所以方程无解，故B错误；
C、，
其对称轴为，故C正确；
D、，
其对称轴为，故D错误.
故答案为：C
【分析】分别取，代入即可即可判断A； 取，得到，利用累加法求出，令，验证判别式即可判断B；分别利用二次函数求出对称轴验证即可判断CD.
9．（2025·中山模拟）某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（　　）
参考数据：；；.
A．这次考试等级分的标准差为25
B．这次考试等级分超过80分的约有450人
C．这次考试等级分在内的人数约为997
D．
【答案】C,D
【知识点】正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【解答】解：A、由题设，均值，方差，所以标准差为5，故A错误；
B、，所以人，故B错误；
C、，
则人，故C正确；
D、，故D正确．
故答案为：CD.
【分析】由题意，可得 即可判断A；利用正态分布的对称性即可判断B；利用原则即可判断CD.
10．（2025·中山模拟）已知函数，则下列说法正确的有（　　）
A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点
C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：，记
因为，且，在区间上显然递增，
所以记为的零点，则有
所以当时，，在上单调递增，
又因为，所以当时，，当时，，
所以当时，有极小值，故D正确；
由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确；
易知，故B错误
故答案为：ACD
【分析】利用二次导数以及，研究的单调性可判断ACD；直接观察函数零点即可判断B.
11．（2025·中山模拟）已知是函数的极值点，若，则下列结论 正确的是（　　）
A．的对称中心为 B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、因为，
所以的对称中心为，故A 正确；
B、，令，解得，
当时，
，
因为，所以，可得，
当时，
，
因为，所以，可得，故B错误；
C、令，解得，
当或时，，是单调递增函数，
当时，，是单调递减函数，
所以在时有极大值，在时有极小值，
如下图，当时，若，
则
，
可得，即，
解得，
所以；
画出函数图象如图所示：
当时，如下图，若，
则
，
可得，即，
解得，
所以；
综上所述，，故C正确；
D、由C选项可知，若，，
所以，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用即可判断A；令，解得，代入即可判断B；利用导数判断出的单调性并求出极值点，结合图像分情况由解出，可得即可判断C；若，，得出即可判断D.
12．（2025·中山模拟）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=　 　
【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，
f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2
=lg（ab）2=2lg（ab）=2．
故答案为：2．
【分析】由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）．由此能求出结果．
13．（2025·中山模拟）已知，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元二次不等式；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：将不等式可化为，
由不等式可得，即，求解得：或；
由不等式可得，即，求解得：或；
综上：.
故答案为：.
【分析】先将不等式可化为，再把分式不等式化为一元二次不等式即可求解.
14．（2025·中山模拟）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求　 　.
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得，
设事件表示“在第1，2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”，
则，
所以，
所以，
故答案为：.
【分析】先利用古典概率公式求出，再利用条件概率公式求出，即可求解.
15．（2025·中山模拟）已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集是或x＞-2，求的值；
（2）若不等式的解集是，求的值：
（3）若不等式的解集是，求的取值范围；
（4）若不等式的解集是，求的取值范围.
【答案】解：（1）因为不等式的解集是或，
所以方程的两个根分别为和，
所以，解得，
（2）因为不等式的解集是，
所以方程有两个相等的根为，且，
所以，且，
解得或（舍去），
（3）因为不等式的解集是，
所以且，
由，得，得或，
因为，所以，
所以的取值范围为，
（4）不等式的解集是，
所以且，
由，得，解得或，
因为，所以，
所以的取值范围为
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意可得方程的两个根分别为和，把两个根分别代入方程中列出方程组即可求解；
（2）由题意可得方程有两个相等的根为，且，利用即可求解；
（3）由题意可得且，即可求解；
（4）由题意可得且，从而可求出的取值范围即可求解.
16．（2025·中山模拟）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
（2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
【答案】（1）解：设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，
则可取，可取，
则，
所以甲正确完成面试题数的分布列为：
，
，，
，，
所以乙正确完成面试题数为的分布列为：
；
（2）解：由（1）得，
，
因为，
所以甲得成绩更稳定，
所以甲面试通过的可能性大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，再利用古典概率公式求出对应概率，即可求出分布列和期望；
（2）利用方差公式分别求出方差，比较大小即可求解.
（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，
则可取，可取，
则，
所以甲正确完成面试题数的分布列为：
，
，，
，，
所以乙正确完成面试题数为的分布列为：
；
（2）由（1）得，
，
因为，
所以甲得成绩更稳定，
所以甲面试通过的可能性大.
17．（2025·中山模拟）地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：
年份编号x 1 2 3 4 5
地区生产总值y(百亿元) 14.64 17.42 20.72 25.20 30.08
（1）该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率；
（2）该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程.
参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；
线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是：，
若，则.
【答案】（1）解：易知，所以根据正态分布区间公式有，
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为，
则，所以：；
（2）解：因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
，
，
所以，
则，
由公式可知，
即.
【知识点】线性回归方程；二项分布；3σ原则
【解析】【分析】（1）利用正态分布的原则可得，再利用二项分布的概率公式计算即可求解；
（2）先求出，再利用最小二乘法公式可得即可求解.
（1）易知，所以根据正态分布区间公式有，
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为，
则，所以：；
（2）因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
，
，
所以，
则，
由公式可知，
即.
18．（2025·中山模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数．
（i）求的值；
（ii）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
【答案】（1）解：由题意可知，则的定义域为，
，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：（i）函数，则，，故．
（ii）函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以
．
可知曲线关于直线对称．
【知识点】奇偶函数图象的对称性；对数函数的图象与性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求出，求导可得，，再分和两种情况讨论函数的单调性即可求解；
（2）（i）求出，直接计算，即可求解；（ii）利用的定义域为，利用函数的对称轴则定义域对称可得，再验证即可求解.
（1）由题意可知，则的定义域为，
，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）（i）函数，则，，故．
（ii）函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以
．
可知曲线关于直线对称．
19．（2025·中山模拟）已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”.
（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；
（2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；
（3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：已知，则，得，故函数经过点的切线方程为，
其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”.
（2）解：设点的横坐标为，为正整数，则函数图像在点处的切线方程为，
代入其“上位点”，得，
化简得，
即，
故，
因为，得（*），
又点的坐标为，
所以点的坐标为，点的坐标为.
（3）解：将代入，解得，由（*）得，.
即，又，
故是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，即，.
令，则严格减，
因为，所以函数在区间上严格增.
当时，，于是当时，严格减，符合要求
当时，.
因为时，
所以当时，，
从而当时严格增，不存在正整数，
使得无穷数列，，…，严格减.
综上，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）先求导可得，再利用导数的几何意义可得经过点的切线方程，再利用“上位点”的定义判断即可求解；
（2）设点的横坐标为，为正整数，再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得，进而可得、的坐标；
（3）由（2），构造等比数列可得，由题意，再根据导数与单调性的关系分析判断即可.
（1）已知，则，得，
故函数经过点的切线方程为，
其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”.
（2）设点的横坐标为，为正整数，
则函数图像在点处的切线方程为，
代入其“上位点”，得，
化简得，
即，
故，
因为，得（*），
又点的坐标为，
所以点的坐标为，点的坐标为.
（3）将代入，解得，
由（*）得，.
即，又，
故是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，即，.
令，则严格减，
因为，所以函数在区间上严格增.
当时，，于是当时，严格减，符合要求
当时，.
因为时，
所以当时，，
从而当时严格增，不存在正整数，
使得无穷数列，，…，严格减.
综上，.
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