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广东省2025届高三3月第一次调研考试数学试题
1．（2025·广东模拟）已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·广东模拟）记复数的共轭复数为，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·广东模拟）已知向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·广东模拟）某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20，30，50名学生，则不同的抽样结果共有（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·广东模拟）若空间中四个不同的平面，满足，则下面结论一定正确的是（　　）
A． B．
C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定
6．（2025·广东模拟）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·广东模拟）已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（　　）
A．1 B． C． D．
8．（2025·广东模拟）设表示不大于的最大整数，记，则对任意实数，有（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·广东模拟）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．数列是递增数列 D．当时，的最大值为8
10．（2025·广东模拟）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则有2个零点
B．若，则的解集为
C．在上有极小值
D．在上有极大值
11．（2025·广东模拟）已知正四面体的棱长为6，点分别是的中点，则下列几何体能够整体放入正四面体的有（　　）
A．底面在平面上，且底面半径为，高为的圆锥
B．底面在平面上，且底面半径为，高为1的圆柱
C．轴为直线，且底面半径为，高为2的圆锥
D．轴为直线，且底面半径为，高为0.2的圆柱
12．（2025·广东模拟）若函数是奇函数，则　 　．
13．（2025·广东模拟）已知是锐角，若，则　 　．
14．（2025·广东模拟）分别为双曲线的左、右焦点，两点在双曲线上且关于原点对称（点在第一象限），直线与双曲线的另一个交点为点，若，则的面积为　 　．
15．（2025·广东模拟）已知函数，曲线在处与直线相切.
（1）求、的值；
（2）求在上的最大值和最小值.（其中为自然对数的底数）
16．（2025·广东模拟）已知的内角所对的边分别为，且．
（1）证明：；
（2）若的面积为，求．
17．（2025·广东模拟）近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间 年月 年月 年月 年月 年月
月份代码
销量千辆
（1）若与线性相关，求关于的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在年1月份的销量；
（2）该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？
参考公式：．
18．（2025·广东模拟）如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为．
①若，求直线与平面所成角的正弦值；
②证明：三棱锥的体积为定值．
19．（2025·广东模拟）对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则．
（1）求和的值；
（2）证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为；
（3）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：∵指数函数在上单调递增，
∴由得，故，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数的单调性化简可得，再利用集合的交集运算性质即可求解
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：已知，则，
则.
故答案为：D.
【分析】先利用共轭复数的定义可得，再利用复数的混合运算即可求解.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：若，则，，即充分性成立；
若，则，即，但方向不一定相同，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据向量数量积的定义结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】C
【知识点】分层抽样方法；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，美术组要抽取的学生数为，
音乐组要抽取的学生数为，
舞蹈组要抽取的学生数为，
由分步乘法计数原理可知，不同的抽样结果.
故答案为：C.
【分析】利用分层抽样的定义分别求出每个兴趣小组要抽取的学生人数，再分步乘法计数原理结合组合的定义即可求解.
5．【答案】D
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：已知如图所示：
在正方体中，记平面为平面，平面为平面，平面为平面，满足，
若平面为平面，满足，此时，
若平面为平面，满足，此时.
由此可得，的位置关系不确定.
故答案为：D.
【分析】先在正方体中找到符合条件的平面，结合找到平面，即可得到的位置关系，再逐项分析即可求解.
6．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：已知，由椭圆的定义可得，
所以，，
因为，
由余弦定理可得
所以，
整理可得，所以，即.
故答案为：A.
【分析】先利用椭圆的定义及已知条件可得，，再利用余弦定理可得，结合离心率的定义即可求解.
7．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意，函数的最小正周期满足，即
所以解得.
因为是函数图像的对称轴，所以，
解得，又因为，所以.
所以，则.
故答案为：B.
【分析】利用正弦型函数图象对称性可得最小正周期为，再利用可得参数和，，最后代入即可求解.
8．【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、取，则，，故A错误；
B、取，，，
所以，故B错误；
C、取，则，，
所以，故C错误；
D、令，其中为整数，，
若，则，
，此时成立，
若，，
，此时成立，
综上，故D正确；
故答案为：D
【分析】利用新定义取特殊值即可判断ABC；令结合新定义即可判断D.
9．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由是与的等比中项，得，
即，解得，故AB正确；
则，，，
所以，又随的增大而减小，所以数列是递减数列，故C错误；
当时，，所以的最大值为8，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】先由题意可得，即可判断AB；再利用等差数列的通项公式可得再利用等差数列的前n项和公式可得，即可判断CD.
10．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，由得，，解得或，
∴有2个零点，故A正确.
B、当时，，由得，解得，
∴的解集为，故B正确.
C、当时，由得或.
当时，，当时，.
当，即时，的大致图象为图1，由图象可得函数在上有极小值，无极大值.
当，即时，的大致图象为图2，由图象可得函数在上有极小值.
当，即时，的大致图象为图3，由图象可得函数在上有极小值.
当，即时，的大致图象为图4，由图象可得函数在上有极小值.
当，即时，的大致图象为图5，由图象可得函数在上有极小值.
综上得，在上有极小值，故C正确.
D、由图1可得，当时，在上无极大值，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】解方程即可判断A；利用时，等价于解不等式即可判断B；讨论的范围，结合函数的零点及函数的连续性画出的图象，根据图象的变化趋势即可判断C，D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、正四面体，作平面，交平面于，如图所示：
连接，且为正三角形的中心，又棱长为6，则的内切圆半径为，，
正四面体的高，
则底面半径为，且，且高，则可以放到正四面体内，故A正确；
B、平面平面，如图所示，
当时，设内切圆半径为，
则，则，
故底面半径为，高为1的圆柱，无法放到正四面体内，故B错误；
C、轴为直线，且底面半径为，高为2的圆锥，如图所示
因，
在线段上取点使得，，
则，
，即，则，
则轴为直线，且底面半径为，高为2的圆锥， 可以放到正四面体内，故C正确；
D、采用选项C中的图，此时条件变为，在线段上取点使得，
则，即得，若圆柱可以放入则其轴中点必然为线段的中点，
而，故轴为直线，且底面半径为，高为0.2的圆柱，可以放到正四面体内，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】先计算的内切圆半径与比较，高与比较即可判断A； 的内切圆半径以及高为1时的正四面体截面内切圆半径与比较即可判断B；以为圆锥顶点，高为2时底面半径与比较即可判断C；找到圆柱的轴中点，当底面半径为时，计算此时圆柱的高与0.2比较即可判断D.
12．【答案】3
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：已知函数为奇函数，则，
设，则，所以，
所以，则，
所以.
故答案为：3
【分析】先利用函数为奇函数可得，再利用分段函数分段求值即可求解.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知，化简可得，
因为是锐角，所以，所以，
整理得，解得或（舍）.
故答案为：
【分析】先利用二倍角的正切公式化简可得，解方程即可求解.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由双曲线的对称性可知，故，
设直线的方程为，，
由得，
由题意，，
，
整理得，由得，
故直线的方程为，即，则，
由题意，点到直线的距离为，
则，
故答案为：
【分析】先利用对称性可知，及可得，设直线的方程为，直线方程和联立可得，再利用根于系数关系可得，利用弦长公式可得，最后利用点到直线的距离可得即可求解.
15．【答案】（1）解：因为函数，其中，则，
因为曲线在处与直线相切，
所以，，解得.
（2）解：由（1）可得，所以，，
当时，，当时，，
所以，在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在处取得极大值即最大值，则，
又，，
所以，.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由题意可得，可得，解方程即可求解；
（2）先求导可得，利用导数和函数单调性的关系可得函数在上先增后减，即可得和再比较即可得最小值.
（1）因为函数，其中，则，
因为曲线在处与直线相切，
所以，，解得.
（2）由（1）可得，所以，，
当时，，当时，，
所以，在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在处取得极大值即最大值，则，
又，，
所以，.
16．【答案】（1）证明：根据正弦定理设，则，
代入，得，即，
整理得，
由，得，
所以；
（2）解：由面积公式得，
由正弦定理得，
整理得，
由，得，
由（1）得，
由平方关系得
解得或
因为，所以，所以．
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将边化角可得，再利用和角的正弦公式化简即可解；
（2）先利用三角形的面积公式及正弦定理得到，再利用和角的余弦公式和同角三角函数的平方关系即可求解.
（1）根据正弦定理设，则，
代入，得，即，
整理得，
由，得，
所以；
（2）由面积公式得，
由正弦定理得，
整理得，
由，得，
由（1）得，
由平方关系得
解得或
因为，所以，所以．
17．【答案】（1）解：由题意得，
，
所以，，
所以关于的线性回归方程为，
由题意得，年月份的月份代码为，当时，，
所以估计该地区新能源汽车在年月份的销量为千辆．
（2）解：记事件为“员工经过培训后，能使用人工智能工具”，
则，
设宣传部门调至其他部门人数为，则参加培训的人数为，
设为培训后能使用人工智能工具的人数，
则，故，
调整后年净利润预计为：万元，
由题意得，
解得，
所以预计最多可调整人去其他部门．
【知识点】线性回归方程；二项分布
【解析】【分析】（1）先由题意计算，即可得到关于的线性回归方程，再把代入直线方程即可求解；
（2）线路有条件可得培训后能使用人工智能工具的人数，计算，利用宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前即可求解.
（1）由题意得，
，
所以，，
所以关于的线性回归方程为，
由题意得，年月份的月份代码为，当时，，
所以估计该地区新能源汽车在年月份的销量为千辆．
（2）记事件为“员工经过培训后，能使用人工智能工具”，
则，
设宣传部门调至其他部门人数为，则参加培训的人数为，
设为培训后能使用人工智能工具的人数，
则，故，
调整后年净利润预计为：万元，
由题意得，
解得，
所以预计最多可调整人去其他部门．
18．【答案】（1）解：当时，，所以点的坐标为，
因为，所以，
解得，
所以抛物线的方程为．
（2）解：①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为，
联立
所以点的坐标分别为．
过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，
当二面角的大小为时，点，即，
所以，
设平面的法向量为，
则即解得取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
②由题意得．
，
当时，，
当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为，
设点的坐标分别为，
联立得，
则，
因为，所以，得，
所以，
，
综上所述，三棱锥的体积为定值．
【知识点】用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先利用倾斜角得，再利用两点间距离可得，即可求解；
（2）①联立方程得，再利用空间向量法计算线面角正弦公式即可求解；
②利用三棱锥体积公式可得，再利用三角形面积公式计算求解.
（1）当时，，所以点的坐标为，
因为，所以，
解得，
所以抛物线的方程为．
（2）①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为，
联立
所以点的坐标分别为．
过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，
当二面角的大小为时，点，即，
所以，
设平面的法向量为，
则即解得取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
②由题意得．
，
当时，，
当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为，
设点的坐标分别为，
联立得，
则，
因为，所以，得，
所以，
，
综上所述，三棱锥的体积为定值．
19．【答案】（1）解：当时，取自集合的交错数列有四种情况，因此；
当时，取自集合的交错数列有七种情况，因此．
（2）证明：设数列是取自集合的交错数列，
因为且是奇数，所以，
构造数列，则，
此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数，
因为数列是递增数列，所以对于每一个都有且仅有一个与之对应，
所以取自集合的首项不为1的交错数列的个数为．
（3）解：设数列是取自集合的交错数列，由（2）得，当时，所有交错数列的个数为，
当时，若，则仅有一个交错数列；
若，构造数列，则，
此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数，
因为数列是递增数列，所以数列与数列，之间一一对应，
又因为，所以数列的所有交错数列的个数为，
综上所述，．
当时，由累加得，
因为，所以，
由及（1）得，
显然单调递增，
因为，
所以，
所以使得成立的的最小值为．
【知识点】集合中元素的个数问题；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用交错数列的概念列举出所有情况可得结果即可求解；
（2）构造数列，则，分析可得对于每一个都有且仅有一个与之对应，即可证明.
（3）利用题意可得，再累加可得，
即，再利用，即可求解.
（1）当时，取自集合的交错数列有四种情况，因此；
当时，取自集合的交错数列有七种情况，因此．
（2）设数列是取自集合的交错数列，
因为且是奇数，所以，
构造数列，则，
此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数，
因为数列是递增数列，所以对于每一个都有且仅有一个与之对应，
所以取自集合的首项不为1的交错数列的个数为．
（3）设数列是取自集合的交错数列，
由（2）得，当时，所有交错数列的个数为，
当时，若，则仅有一个交错数列；
若，构造数列，则，
此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数，
因为数列是递增数列，所以数列与数列，之间一一对应，
又因为，所以数列的所有交错数列的个数为，
综上所述，．
当时，由累加得，
因为，所以，
由及（1）得，
显然单调递增，
因为，
所以，
所以使得成立的的最小值为．
1 / 1广东省2025届高三3月第一次调研考试数学试题
1．（2025·广东模拟）已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：∵指数函数在上单调递增，
∴由得，故，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数的单调性化简可得，再利用集合的交集运算性质即可求解
2．（2025·广东模拟）记复数的共轭复数为，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：已知，则，
则.
故答案为：D.
【分析】先利用共轭复数的定义可得，再利用复数的混合运算即可求解.
3．（2025·广东模拟）已知向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：若，则，，即充分性成立；
若，则，即，但方向不一定相同，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据向量数量积的定义结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
4．（2025·广东模拟）某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20，30，50名学生，则不同的抽样结果共有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分层抽样方法；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，美术组要抽取的学生数为，
音乐组要抽取的学生数为，
舞蹈组要抽取的学生数为，
由分步乘法计数原理可知，不同的抽样结果.
故答案为：C.
【分析】利用分层抽样的定义分别求出每个兴趣小组要抽取的学生人数，再分步乘法计数原理结合组合的定义即可求解.
5．（2025·广东模拟）若空间中四个不同的平面，满足，则下面结论一定正确的是（　　）
A． B．
C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定
【答案】D
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：已知如图所示：
在正方体中，记平面为平面，平面为平面，平面为平面，满足，
若平面为平面，满足，此时，
若平面为平面，满足，此时.
由此可得，的位置关系不确定.
故答案为：D.
【分析】先在正方体中找到符合条件的平面，结合找到平面，即可得到的位置关系，再逐项分析即可求解.
6．（2025·广东模拟）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：已知，由椭圆的定义可得，
所以，，
因为，
由余弦定理可得
所以，
整理可得，所以，即.
故答案为：A.
【分析】先利用椭圆的定义及已知条件可得，，再利用余弦定理可得，结合离心率的定义即可求解.
7．（2025·广东模拟）已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意，函数的最小正周期满足，即
所以解得.
因为是函数图像的对称轴，所以，
解得，又因为，所以.
所以，则.
故答案为：B.
【分析】利用正弦型函数图象对称性可得最小正周期为，再利用可得参数和，，最后代入即可求解.
8．（2025·广东模拟）设表示不大于的最大整数，记，则对任意实数，有（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、取，则，，故A错误；
B、取，，，
所以，故B错误；
C、取，则，，
所以，故C错误；
D、令，其中为整数，，
若，则，
，此时成立，
若，，
，此时成立，
综上，故D正确；
故答案为：D
【分析】利用新定义取特殊值即可判断ABC；令结合新定义即可判断D.
9．（2025·广东模拟）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．数列是递增数列 D．当时，的最大值为8
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由是与的等比中项，得，
即，解得，故AB正确；
则，，，
所以，又随的增大而减小，所以数列是递减数列，故C错误；
当时，，所以的最大值为8，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】先由题意可得，即可判断AB；再利用等差数列的通项公式可得再利用等差数列的前n项和公式可得，即可判断CD.
10．（2025·广东模拟）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则有2个零点
B．若，则的解集为
C．在上有极小值
D．在上有极大值
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，由得，，解得或，
∴有2个零点，故A正确.
B、当时，，由得，解得，
∴的解集为，故B正确.
C、当时，由得或.
当时，，当时，.
当，即时，的大致图象为图1，由图象可得函数在上有极小值，无极大值.
当，即时，的大致图象为图2，由图象可得函数在上有极小值.
当，即时，的大致图象为图3，由图象可得函数在上有极小值.
当，即时，的大致图象为图4，由图象可得函数在上有极小值.
当，即时，的大致图象为图5，由图象可得函数在上有极小值.
综上得，在上有极小值，故C正确.
D、由图1可得，当时，在上无极大值，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】解方程即可判断A；利用时，等价于解不等式即可判断B；讨论的范围，结合函数的零点及函数的连续性画出的图象，根据图象的变化趋势即可判断C，D.
11．（2025·广东模拟）已知正四面体的棱长为6，点分别是的中点，则下列几何体能够整体放入正四面体的有（　　）
A．底面在平面上，且底面半径为，高为的圆锥
B．底面在平面上，且底面半径为，高为1的圆柱
C．轴为直线，且底面半径为，高为2的圆锥
D．轴为直线，且底面半径为，高为0.2的圆柱
【答案】A,C,D
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、正四面体，作平面，交平面于，如图所示：
连接，且为正三角形的中心，又棱长为6，则的内切圆半径为，，
正四面体的高，
则底面半径为，且，且高，则可以放到正四面体内，故A正确；
B、平面平面，如图所示，
当时，设内切圆半径为，
则，则，
故底面半径为，高为1的圆柱，无法放到正四面体内，故B错误；
C、轴为直线，且底面半径为，高为2的圆锥，如图所示
因，
在线段上取点使得，，
则，
，即，则，
则轴为直线，且底面半径为，高为2的圆锥， 可以放到正四面体内，故C正确；
D、采用选项C中的图，此时条件变为，在线段上取点使得，
则，即得，若圆柱可以放入则其轴中点必然为线段的中点，
而，故轴为直线，且底面半径为，高为0.2的圆柱，可以放到正四面体内，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】先计算的内切圆半径与比较，高与比较即可判断A； 的内切圆半径以及高为1时的正四面体截面内切圆半径与比较即可判断B；以为圆锥顶点，高为2时底面半径与比较即可判断C；找到圆柱的轴中点，当底面半径为时，计算此时圆柱的高与0.2比较即可判断D.
12．（2025·广东模拟）若函数是奇函数，则　 　．
【答案】3
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：已知函数为奇函数，则，
设，则，所以，
所以，则，
所以.
故答案为：3
【分析】先利用函数为奇函数可得，再利用分段函数分段求值即可求解.
13．（2025·广东模拟）已知是锐角，若，则　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知，化简可得，
因为是锐角，所以，所以，
整理得，解得或（舍）.
故答案为：
【分析】先利用二倍角的正切公式化简可得，解方程即可求解.
14．（2025·广东模拟）分别为双曲线的左、右焦点，两点在双曲线上且关于原点对称（点在第一象限），直线与双曲线的另一个交点为点，若，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由双曲线的对称性可知，故，
设直线的方程为，，
由得，
由题意，，
，
整理得，由得，
故直线的方程为，即，则，
由题意，点到直线的距离为，
则，
故答案为：
【分析】先利用对称性可知，及可得，设直线的方程为，直线方程和联立可得，再利用根于系数关系可得，利用弦长公式可得，最后利用点到直线的距离可得即可求解.
15．（2025·广东模拟）已知函数，曲线在处与直线相切.
（1）求、的值；
（2）求在上的最大值和最小值.（其中为自然对数的底数）
【答案】（1）解：因为函数，其中，则，
因为曲线在处与直线相切，
所以，，解得.
（2）解：由（1）可得，所以，，
当时，，当时，，
所以，在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在处取得极大值即最大值，则，
又，，
所以，.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由题意可得，可得，解方程即可求解；
（2）先求导可得，利用导数和函数单调性的关系可得函数在上先增后减，即可得和再比较即可得最小值.
（1）因为函数，其中，则，
因为曲线在处与直线相切，
所以，，解得.
（2）由（1）可得，所以，，
当时，，当时，，
所以，在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在处取得极大值即最大值，则，
又，，
所以，.
16．（2025·广东模拟）已知的内角所对的边分别为，且．
（1）证明：；
（2）若的面积为，求．
【答案】（1）证明：根据正弦定理设，则，
代入，得，即，
整理得，
由，得，
所以；
（2）解：由面积公式得，
由正弦定理得，
整理得，
由，得，
由（1）得，
由平方关系得
解得或
因为，所以，所以．
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将边化角可得，再利用和角的正弦公式化简即可解；
（2）先利用三角形的面积公式及正弦定理得到，再利用和角的余弦公式和同角三角函数的平方关系即可求解.
（1）根据正弦定理设，则，
代入，得，即，
整理得，
由，得，
所以；
（2）由面积公式得，
由正弦定理得，
整理得，
由，得，
由（1）得，
由平方关系得
解得或
因为，所以，所以．
17．（2025·广东模拟）近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间 年月 年月 年月 年月 年月
月份代码
销量千辆
（1）若与线性相关，求关于的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在年1月份的销量；
（2）该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？
参考公式：．
【答案】（1）解：由题意得，
，
所以，，
所以关于的线性回归方程为，
由题意得，年月份的月份代码为，当时，，
所以估计该地区新能源汽车在年月份的销量为千辆．
（2）解：记事件为“员工经过培训后，能使用人工智能工具”，
则，
设宣传部门调至其他部门人数为，则参加培训的人数为，
设为培训后能使用人工智能工具的人数，
则，故，
调整后年净利润预计为：万元，
由题意得，
解得，
所以预计最多可调整人去其他部门．
【知识点】线性回归方程；二项分布
【解析】【分析】（1）先由题意计算，即可得到关于的线性回归方程，再把代入直线方程即可求解；
（2）线路有条件可得培训后能使用人工智能工具的人数，计算，利用宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前即可求解.
（1）由题意得，
，
所以，，
所以关于的线性回归方程为，
由题意得，年月份的月份代码为，当时，，
所以估计该地区新能源汽车在年月份的销量为千辆．
（2）记事件为“员工经过培训后，能使用人工智能工具”，
则，
设宣传部门调至其他部门人数为，则参加培训的人数为，
设为培训后能使用人工智能工具的人数，
则，故，
调整后年净利润预计为：万元，
由题意得，
解得，
所以预计最多可调整人去其他部门．
18．（2025·广东模拟）如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为．
①若，求直线与平面所成角的正弦值；
②证明：三棱锥的体积为定值．
【答案】（1）解：当时，，所以点的坐标为，
因为，所以，
解得，
所以抛物线的方程为．
（2）解：①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为，
联立
所以点的坐标分别为．
过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，
当二面角的大小为时，点，即，
所以，
设平面的法向量为，
则即解得取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
②由题意得．
，
当时，，
当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为，
设点的坐标分别为，
联立得，
则，
因为，所以，得，
所以，
，
综上所述，三棱锥的体积为定值．
【知识点】用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先利用倾斜角得，再利用两点间距离可得，即可求解；
（2）①联立方程得，再利用空间向量法计算线面角正弦公式即可求解；
②利用三棱锥体积公式可得，再利用三角形面积公式计算求解.
（1）当时，，所以点的坐标为，
因为，所以，
解得，
所以抛物线的方程为．
（2）①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为，
联立
所以点的坐标分别为．
过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，
当二面角的大小为时，点，即，
所以，
设平面的法向量为，
则即解得取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
②由题意得．
，
当时，，
当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为，
设点的坐标分别为，
联立得，
则，
因为，所以，得，
所以，
，
综上所述，三棱锥的体积为定值．
19．（2025·广东模拟）对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则．
（1）求和的值；
（2）证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为；
（3）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值．
【答案】（1）解：当时，取自集合的交错数列有四种情况，因此；
当时，取自集合的交错数列有七种情况，因此．
（2）证明：设数列是取自集合的交错数列，
因为且是奇数，所以，
构造数列，则，
此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数，
因为数列是递增数列，所以对于每一个都有且仅有一个与之对应，
所以取自集合的首项不为1的交错数列的个数为．
（3）解：设数列是取自集合的交错数列，由（2）得，当时，所有交错数列的个数为，
当时，若，则仅有一个交错数列；
若，构造数列，则，
此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数，
因为数列是递增数列，所以数列与数列，之间一一对应，
又因为，所以数列的所有交错数列的个数为，
综上所述，．
当时，由累加得，
因为，所以，
由及（1）得，
显然单调递增，
因为，
所以，
所以使得成立的的最小值为．
【知识点】集合中元素的个数问题；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用交错数列的概念列举出所有情况可得结果即可求解；
（2）构造数列，则，分析可得对于每一个都有且仅有一个与之对应，即可证明.
（3）利用题意可得，再累加可得，
即，再利用，即可求解.
（1）当时，取自集合的交错数列有四种情况，因此；
当时，取自集合的交错数列有七种情况，因此．
（2）设数列是取自集合的交错数列，
因为且是奇数，所以，
构造数列，则，
此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数，
因为数列是递增数列，所以对于每一个都有且仅有一个与之对应，
所以取自集合的首项不为1的交错数列的个数为．
（3）设数列是取自集合的交错数列，
由（2）得，当时，所有交错数列的个数为，
当时，若，则仅有一个交错数列；
若，构造数列，则，
此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数，
因为数列是递增数列，所以数列与数列，之间一一对应，
又因为，所以数列的所有交错数列的个数为，
综上所述，．
当时，由累加得，
因为，所以，
由及（1）得，
显然单调递增，
因为，
所以，
所以使得成立的的最小值为．
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