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2024-2025 学年贵州省六盘水市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据 2，8，13，13，20 的众数为( )
A. 2 B. 8 C. 13 D. 20
2.已知集合 = { ∈ | 2 < < 3}， = { 2, 1,0,2,3}，则 ∩ =( )
A. { 1,2} B. { 1,0,2}
C. { 1,0,1,2} D. { 2, 1,0,1,2,3}
3.已知复数 = 2 1，则 2 =( )
A. B. C. 1 D. 1
4.下列图象中，有可能表示指数函数的是( )
A. B.
C. D.
1
5 1.已知 = ln 3， = 3， = log32，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.已知角 的终边经过点 ( 4,3)，则下列选项正确的是( )
A. = 34 B. =
3 3 4
5 C. tan(2 + ) = 4 D. cos( + ) = 5
7.已知三棱锥 ， ， ， 两两垂直， = 2， = 3， = 5，则三棱锥 外接
球的表面积为( )
A. 10 B. 20 C. 25 D. 40
8.已知边长为 1 的正方形 ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上.若 = + ，则 + 的
最大值为( )
A. 2 B. 1 C. 22 D.
1
2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项为真命题的是( )
A.若 > ， < ，则 > B.若 < < < 0，则 <
C.若 > > 0，则 > D.若 > ， < ，则 >
10.若 ， 表示两条直线， 表示一个平面，则下列选项为真命题的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， ，则 //
11.已知△ 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 2 = ， = 2 ， ∠ = ，△
的面积为 1，△ 的面积为 2，则下列选项正确的是( )
A. 1 =
2
3 2 B. = C. = 3 D. =
3
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.写出命题“ ∈ ， + 3 ≥ 0”的否定：______．
13.若函数 ( ) = ( > 1)在[1,2]上的最大值是最小值的 2 倍，则 (log25) = ______．
14 ( ) =
3 1, > 0
.已知函数 , ≤ 0 ， ( ) = ( ) + ( )，则函数 ( )的零点个数为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知向量 = (2, 3)， = (3,1)．
(1)求| |及 的值；
(2)若( )//(2 )，求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图， 是圆 的直径， 垂直于圆 所在的平面， 是圆周上不同于 ， 的任意一点．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)若 = 2 ，求二面角 的平面角的正弦值．
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17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + 2 3 ．
(1)求函数 ( )的最小正周期；
(2)当 ∈ [0, 2 ]时，求函数 ( )的最大值和最小值；
(3)若函数 ( ) = ( + ) 1 为奇函数，求| |的最小值．
18.(本小题 15 分)
为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办
“网络防骗”知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩(满分 100 分，成绩均为
不低于 40 分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中 的值；
(2)根据频率分布直方图计算样本成绩的 80%分位数；
(3)若总体划分为 2 层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分

1

别为： ， ， 21； ， ， 22，记总的样本平均数为 ，样本方差为 2，则 2 = 2 2 2 + { [ 1 + ( ) ] + [ 2 + (

)2]}.已知在[60,70)的平均数是 65，方差是 6，在[70,80)的平均数是 75，方差是 3，求这两组样本的总平

均数 和总方差 2．
19.(本小题 17 分)

若定义域为(0, + ∞)的函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 0，则称函数 ( )为“ 型”弱对称函数．
(1) + 若函数 ( ) = +1为“1 型”弱对称函数，求 的值；
(2)若函数 ( )为“4 型”弱对称函数，且恰有 3 个零点 1， 2， 3，求 1 2 3的值；
(3)若函数 ( )为“2025 型”弱对称函数，且恰有 101 个零点 101 ( = 1,2, …, 101)，当 =1 > 对任意满足
条件的函数 ( )恒成立，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ∈ ， + 3 < 0
13.5
14.3
15.(1)由 = (2, 3)， = (3,1)，
可得| | = 13，
= 2 × 3 + ( 3) × 1 = 3；
(2)由题意， = (2 3 , 3 )，2 = (1, 7)，
由( )//(2 )，
可得(2 3 ) × ( 7) = ( 3 ) × 1 1，解得 = 2．
1所以 的值为2．
16.(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
因为点 是圆周上不同于 ， 的任意一点， 是⊙ 的直径，
所以 ⊥ ．
又因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)由(1)知 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ．
又因为 ⊥ ，
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所以∠ 就是二面角 的平面角．
设 = ，因为 = 2 ，所以 = 2 ．
在 △ 中，因为 = 2 + 2 = 5 ．

所以 sin∠ = =
2 = 2 55 5 ．
所以二面角 2 5的平面角的正弦值为 5 ．
17.(1) 由题意可得 ( ) = 2 + 3 2 + 1 = 2 (2 3 ) + 1，
可得 ( ) 2 的最小正周期 = 2 = ；
(2) 2 由 ∈ [0, 2 ]，可得 2 3 ∈ [ 3 , 3 ]，
可得当 2 3 = 0，即 =

6时， ( ) = 3，
当 2 3 =
2
3，即 = 2时， ( ) = 0；
(3) 由题意可得 ( ) = ( + ) 1 = 2 [2( + ) 3 ] = 2 (2 + 2 3 )，
若 ( ) 为奇函数，可得 2 3 = 2 + ， ∈ ，
= 5 + 解得 12 2 ( ∈ )，
= 0 = 5 当 时， 12，当 = 1 时， = 12，

所以| |的最小值为12．
18.(1)根据题意可知，(0.005 + 0.010 + 0.020 + + 0.025 + 0.010) × 10 = 1，解得 = 0.030；
(2)由题，成绩在[40,80)的频率为(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030) × 10 = 0.65，
在[40,90)的频率为 0.65 + 0.25 = 0.9，
所以样本成绩的 80%分位数在[80,90)内，设样本成绩的 80%分位数为 ，
则 0.65 + ( 80) × 0.025 = 0.8，解得 = 86，
所以样本成绩的 80%分位数为 86；
(3)[60,70)频率为 0.2，样本量 = 20，[70,80)的频率为 0.3，样本量 = 30，
2 3
所以两组样本的总体平均数 = 5 × 65 + 5 × 75 = 71，
2
两组样本的总方差 2 = 5 [6 + (65 71)
2] + 35 [3 + (75 71)
2] = 1415 = 28.2．
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19.(1) 1由于函数 ( )为“1 型”弱对称函数，因此 ( ) + ( ) = 0，
1
+ 1 +
所以 +1 + ln

1 = 0，化简整理得方程(1 + ) + 1 + = 0 恒成立，
+1
所以 1 + = 0，所以 = 1．
(2) 4根据题意可得 ( ) + ( ) = 0，
4
如果 是函数 ( )的零点，那么 也是零点，而函数 ( )恰有 3 个零点 1， 2， 3，
因此 2 显然是其中一个零点，设 1 = 2，那么
4
2 = ，3
所以 1 2 3 = 2 × 4 = 8．
(3) 2025根据题意， ( ) + ( ) = 0，且 > 0，
( ) = 1 2 101 ( ) = 0 ( 2025对于函数 的零点 ，其中 ， ， ， ，有 ，那么 ) = 0，
= 2025如果 ，那么 = 45，因此 45 必为 ( )的一个零点，
2025 2025 2025 2025
如果 ≠ ，所以 > 0，那么 51 = , 52 = , , 100 = , 101 = 2025， 1 2 50
2025 2025 2025
因此101 =1 = 1 + 2 + + 100 + 101 = ( 1 + ) + ( 2 + ) + + ( 50 + ) + 1011 2 50
2025 2025 2025
= ( 1 + ) + ( 2 + ) + + ( 50 + ) + 451 2 50
> 50 × 2 2025 + 45 = 4545，
又因为101 =1 > 对任意满足条件的 ( )恒成立，因此 ≤ 4545，
= 4545．
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