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2024-2025 学年四川省德阳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.设集合 = {1,2,3}, = { | = ln( 1)+ 3 }，则集合 ∩ 的元素个数为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2.已知复数： = + ( ∈ )，则“| | < 10”是“ < 3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.某单位共有老年、中年、青年职工 320 人，其中有青年职工 150 人，老年职工与中年职工的人数之比为
7：10.为了了解职工的身体状况，現采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工 30 人，则抽取
的老年职工的人数为( )
A. 14 B. 20 C. 21 D. 70
4.若圆锥的母线长为 2，侧面展开图的面积为 2 3 ，则该圆锥的体积是( )
A. 3 B. 3 C. 3 D.
5.在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数
学家鲁伊兹 布劳威尔( . . . )，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数 ( )，存在一个点 0，
使得 ( 0) = 0，那么我们称 0为该函数的“不动点”.若函数 ( ) = 2 5 + 9 的“不动点”为 ，角
的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过 ( , 4)，则 =( )
A. 4 B. 45 5 C.
3
5 D.
3
5
6.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25 和 ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平
均数比甲组数据的平均数大 3，则( )
A.甲组数据的第 70 百分位数为 23 B.甲、乙两组数据的极差不相同
C.乙组数据的中位数为 24.5 D.甲、乙两组数据的方差相同
7.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中
也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及
总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，
我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为 ，则 cos( 2 + 6 )等于( )
A. 1 1 3 32 B. 2 C. 2 D. 2
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8.若 ( ) ( ) ( )是定义在 上的偶函数，对 1， 2 ∈ ( ∞,0]，当 1 ≠ 2时，都有 1 2 > 0，若关于 的不1 2
等式 ( ) > ( )在 上恒成立，则 的取值范围是( )
A. ( ∞,0] B. ( ∞,0) C. (0, + ∞) D. {0}
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，为了测量障碍物两侧 ， 之间的距离，一定能根据以下数据确定 长度的是( )
A. ， ，
B. ， ，
C. ， ，
D. ， ，
10.已知向量 ， 不共线，向量 + 平分 与 的夹角，则下列结论一定正确的是( )
A. = 0
B. ( + ) ⊥ ( )
C.向量 ， 在 + 上的投影向量相等
D. | + | = | |
11.已知10 = 2，102 = 5，则下列结论正确的是( )
A. + 2 > 1 B. < 18 C. 10
+ > 5 D. <
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 3, ≥ 10.已知函数 ( ) = ( ( + 5)), < 10 ( ∈ )，则 (9) = ______．
13.平面 过正方体 1 1 1 1的顶点 ， //平面 1 1， ∩平面 = ， ∩平面 1 1 = ，
则 ， 所成角正切值为______．
14.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上
海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”.由物理学知识可知，某
阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 ( )和时间
( )的函数关系为 = sin( + )( > 0, | | < )，如图，若该阻尼器在摆动
过程中连续三次到达同一位置的时间分别为 1， 2， 3(0 < 1 < 2 < 3)，且 1 + 2 = 2， 2 + 3 = 5，则在
一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 0.5 的总时间为______ .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量 = ( , + )，向量 = ( , )，若 = 2, = 32 ．
(1)求△ 的面积；
(2) 2若 = 3，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3sin2( + 4 ) 2
2 3 + 1．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2)若 是 ( ) = 2 的一个零点，求 ( )的值．
17.(本小题 15 分)
在梯形 中， // ， = = ， = 2 . 为 的中点， 为 的中点.将△ 所在平面沿
翻折，使构成的四棱锥 体积最大．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若 为 边的中点，能否在棱 上找到一点 ，使平面 ⊥平面 ？并证明你的结论．
18.(本小题 17 分)
1+
已知函数 ( ) = + ln 1 ．
(1)探讨函数 = ( )图象的对称性，并说明理由；
(2)将函数 = ( )的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到函数 = ( )的图象．
①求 ( ) + (2 )的值；
②若函数 = ( )满足 ( 2) + (2 2 + 1) ≤ 6，求 的最大值；并指出当 取得最大值时， 、 的值分别
是多少？
19.(本小题 17 分)
将所有平面向量组成的集合记作 2， 是从 2到 2的映射，记作 = ( )或( 1, 2) = ( 1, 2)，其中 =
( 2 21, 2)， = ( 1, 2)， 1， 2， 1， 2，都是实数.定义映射 的模为：在| | = 1 + 2 = 1 的条件下| |
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的最大值，记作| |.若存在非零向量 ∈ 2，及实数 使得 ( ) = ，则称 为 的一个特征值．
(1)若 ( 1, 2) = (
1
3 1, 2)，求| |；
(2)如果 ( 1, 2) = ( 1 + 2 2, 1 2)，计算 的特征值，并求相应的 ；
(3)若 ( 1, 2) = ( 1 1 + 2 2, 1 1 + 2 2)，要使 有唯一的特征值，实数 1， 2， 1， 2应满足什么条件？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8
13. 3
14.1
15.(1)根据题意可知， = 2 + 2 2 = 2 且 2 = 2 + 2 2 ，
3 1 1
两式联立得： = 1，又∵ = 2 ，∴ = 2或 2 (舍)，
1 3
故 = 2，由三角形面积公式得 = 2 = 2 ；
(2) ∵ = 23，且由(1)知 = 2，设三角形 的外接圆半径为 ，
2 3
由正弦定理得： = 2 × 2 = 4 2 = 4 2 × 3 = 2,
2 = 4，
= 3解得 2 或
3
2 ( )
3 3 3
舍 ，∴ = 2 = 2 × 2 × 2 = 2．

16. 1 cos(2 + )(1)由题意可得 ( ) = 2 3 2 1 2 2 2 2 3 + 1
= 3[1 + 2 ] (1 2 ) 3 + 1
= 3 2 + 2
= 2 (2 + 6 )，
令 2 + ∈ [ + 2 , 6 2 2 + 2 ]， ∈ ，
解得 ∈ [ 3 + ,

6 + ], ∈ ，
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故 ( )的单调递增区间为[ 3 + ,

6 + ], ∈ ；
(2)根据零点条件： ( ) = 2 = 0，
可得 = 2，
2 = 2
2
所以 1+tan2 =
4
5， 2 =
1 tan 3
1+tan2 = 5，
所以 ( ) = 2 (2 + 6 )

= 2( 2 6 + 2 6 )
4 3 3 1
= 2(5 × 2 5 × 2 )
= 4 3 35 ．
17.(1)证明：在梯形 中， // ，
= = ， = 2 . 为 的中点， 为 的中点
∵ // ， = = ， = 2 ，
又 为 的中点，∴△ 为等边三角形，四边形 为菱形，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 3，
∵ 为 的中点，∴ = 12 ，∴ ⊥ ，∴ ⊥
连接 ，则 ⊥ ，
若使构成的四棱锥 体积最大，则 ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)当 为 中点时，平面 ⊥平面 ，
取 中点为 ，连接 ， ， ，
∵ 为 边的中点，∴ // ，
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∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
又 = ， // ，∴四边形 为平行四边形，∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
∴平面 //平面 ，
由(1)得 ⊥平面 ，又 平面 ，∴平面 ⊥平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
18.(1)对于 ( ) = + ln 1+ 1+ 1+ 1 ，要使 ln 1 有意义，则1 > 0，
即(1 + )(1 ) > 0，解这个不等式可得 1 < < 1，所以函数 ( )的定义域为( 1,1)，关于原点对称，
1
再由 ( ) + ( ) = sin( ) + ln 1+ + + ln
1+
1 = 0，
所以 ( ) = ( )，故 ( ) = + ln 1+ 1 是奇函数，它的图象关于原点对称．
(2)由函数 = ( )的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到函数为：
= ( ) = ( 1) + 3 = sin( 1) + ln 2 + 3，此时定义域为(0,2)，
再由 ( ) + (2 ) = sin( 1) + ln 2 + 3 + sin(1 ) + ln
2
+ 3 = 6，
所以 ( ) + (2 ) = 6；
由于 6 ( ) = (2 )，所以不等式 ( 2) + (2 2 + 1) ≤ 6 可变形为：
( 2) ≤ 6 (2 2 + 1) = (2 2 2 1) = (1 2 2)，
因为当 ∈ (0,2) 时， 1 ∈ ( 1,1) [ 2 , 2 ]，所以 = sin( 1)是在 ∈ (0,2)上的增函数，
2+2 2
又因为当 ∈ (0,2)时， = 2 = 2 = 1 2是在 ∈ (0,2)上的增函数，
所以 = ln 2 也是在 ∈ (0,2)上的增函数，

即 = ( ) = sin( 1) + ln 2 + 3 是在 ∈ (0,2)上的增函数，
因为 ( 2) ≤ (1 2 2)，所以 0 < 2 ≤ 1 2 2 < 2，
即 2 + 2 2 ≤ 1，又因为 2 + 2 2 ≥ 2 2 ，所以 2 2 ≤ 1 ≤ 2，4
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它们取等的条件为 2 = 2 2 = 1 22，此时满足 0 < ≤ 1 2
2 < 2，
所以 或 ．
19.(1) 1已知 ( 1, 22) = ( 3 1, 2)，则| | = (
1 )2 + 23 1 2．
由| | = 1，即 2 2 21 + 2 = 1，可得 1 = 1 22．
代入| |2得：| |2 = 19 (1
2
2) + 22 =
8 2 1
9 2 + 9．
因为 22 ∈ [0,1]，当 22 = 1(即 2 =± 1)时，| |2最大为 1，故| | = 1．
(2)由 ( 1, 2) = ( 1 + 2 2, 1 2) = ( 1, 2)，得方程组：
1 + 2 2 = 1 (1 ) 1 = 2 2
1
，整理为
2 = 2 1 = (1 + )
．
2
将 1 = (1 + ) 2代入(1 ) 1 = 2 2，消去 2( 2 ≠ 0，否则 为零向量)得：
(1 )(1 + ) = 2，即 1 2 = 2，解得 =± 3．
当 = 3时， 1 = (1 + 3) 2，取 2 = ( ∈ , ≠ 0)，则 = (1 + 3, 1)．
当 = 3时， 1 = (1 3) 2，取 2 = ( ∈ , ≠ 0)，则 = (1 3, 1)．
(3)由 ( 1, 2) = ( 1 1 + 2 2, 1 1 + 2 2) = ( 1, 2)，得：
( 1 ) 1 + 2 2 = 0
．1 1 + ( 2 ) 2 = 0
因为 非零，所以此齐次方程组有非零解，需系数矩阵行列式为 0，即：
1 2 2
= 0，展开得 ( 1 + 2) + 1 2 2 1 = 0．1 2
要使 有唯一特征值，此二次方程需有唯一解，即判别式 = 0．
计算 = ( 1 + 2)2 4( 1 2 2 1) = ( 1 22) + 4 2 1 = 0．
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