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2024-2025 学年广东省湛江市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 1 = 1 + ， 2 = 3 2 ，则 1 + 2 =( )
A. 4 + B. 2 3 C. 4 D. 2 + 3
2.袋中装有 6 个白球，5 个黄球，4 个红球，从中任取一球，则取到红球的概率为( )
A. 2 B. 4 3 15 15 C. 5 D. 3
3.正方形 ′ ′ ′ ′的边长为 2，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是( )
A. 12
B. 4 2
C. 16
D. 8 2
4 2 .一个圆台母线长为 2，侧面展开图是一个圆心角为 3的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为( )
A. 4 3 B. 2 C. 3 D. 4
5.如图，两座山峰的高度 = = 200 ，为测量峰顶 和峰顶 之间的距离，测量队在 点( , , 在同
一水平面上)测得 点的仰角为 45°， 点的仰角为 30°，且∠ = 45°，则两座山峰峰顶之间的距离
=( )
A. 200 B. 400 C. 200 2 D. 400 2
6.在平行四边形 中, = 3 ，若 交 于点 ，则 =( )
A. = 1 + 2 B. = 3 3 3 7 +
4 7
C. = 2 + 1 D. = 2 5 3 3 7 + 7
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7.如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 ， ， 分别是棱 ， 1， 的中点，则下列说法
错误的是( )
A.直线 1 ， 1 共面
B. 1 1 = 3
C.直线 21 与平面 1 1所成角的正切值为 4
D.过点 ， ， 的平面截正方体的截面面积为 9
8.如图，以边长为 4 的菱形 的四条边为直径向外作四个半圆， 是这四个半圆弧上的一动点，∠ =
60°，则 的最大值是( )
A. 16 B. 16 2
B. C. 18 D. 20
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一次比赛中，7 名裁判员对运动员甲的评分分别为 8.0，8.5，9.0，8.0，8.5，5.5，8.5，关于这组数据，
下列说法正确的有( )
A.这组数据的中位数大于平均数
B.这组数据的 80%分位数为 8.5
C.这组数据的众数为 8.0
D.去掉一个最低分和一个最高分后，新的一组数据的平均数会变大
10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为 1，2，3，4 的 4 个小球，从中依次不放回摸
出两个球.设事件 =“第一次摸出球的编号为奇数”，事件 =“摸出的两个球的编号之和为 5”，事件
=“摸出的两个球中有编号为 2 的球”，则( )
A. ( ) = 12 B.事件 与事件 为独立事件
C. ( + ) = 512 D.事件 与事件 为互斥事件
11.在锐角△ 中，角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，且 + = 2 .则下列说法正确的是( )
A. = 2
B.角 的范围是(0, 6 )
C.若∠ 的平分线交 于 3 1 1 4， = 2， = 5，则 + = 5
D. 2 2 3 的取值范围是( 2 , 3 )
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知 = 2 ，| + | = ______．
13.若 4 个数据的平均值为 6，方差为 5，现加入数据 8 和 10，则这 6 个数据的方差为______．
14.在三棱锥 中， ⊥底面 ， = 2，∠ = 120°，△ 3 3的面积为 2 ，则三棱锥
的外接球表面积的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为
初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取 300 人的成绩作为样
本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)求频率分布直方图中 的值.若从成绩不低于 70 分的学生中，按分层抽样方法抽取 24 人的成绩，求 24
人中成绩不低于 90 分的人数．
(2)用样本估计总体，估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数. (保留小数点后两位)
(3) 2 1若甲、乙两位同学均进入复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为5，乙复赛获一等奖的概率为3，甲、乙是
否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = ( , 1)， = ( , 1)．
(1)当 = 2时，求向量 +
的坐标；
(2)若 // ，求实数 的值；
(3)求 ( ) = 的最大值和最小值．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，∠ = ∠ = 90°， = = 2， = = 1，
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= 2．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的正切值．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 2 ( + 6 )．
(1)求 ；
(2)已知 为边 上的一点，且∠ = 2．
(ⅰ)若 = 2 3， = 1，求 的长；
(ⅱ) 求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
= 1 1 2 (∠ 1 2 + ∠ 2 3 + + ∠ 1 + ∠ 1)，其中 ( = 1,2, , , ≥ 3)为多面体 的所
有与点 相邻的顶点，且平面 1 2，平面 2 3，…，平面 1 和平面 1为多面体 的所有以 为
公共点的面.已知三棱锥 如图所示．
(1)求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若 ⊥平面 ， ⊥ ， = = 4，三棱锥 在顶点 3处的离散曲率为8，求点 到平面
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的距离；
(3)在(2) 30的前提下，又知点 在棱 上，直线 与平面 所成角的余弦值为 6 ，求 的长度．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 2
13.173
14.28
15.解：(1)根据题意可得(0.01 + 0.015 + 0.015 + + 0.025 + 0.005) × 10 = 1，解得 = 0.03；
因为成绩位于(70,80]，(80,90]，(90,100]的频率之比为 0.3：0.25：0.05 = 12：10：2，
所以按分层抽样方法抽取 24 人的成绩，这 24 人中成绩不低于 90 分的人数为 2；
(2)因为前几组的频率依次为 0.1，0.15，0.15，0.3，
所以中位数位于(70,80] 70 + 0.5 0.1 0.15 0.15，且为 0.03 ≈ 73.33；
(3) 2 1因为甲复赛获一等奖的概率为5，乙复赛获一等奖的概率为3，
且甲、乙是否获一等奖互不影响，
2 1 2
所以甲乙两个人都未复赛获一等奖的概率为(1 5 )(1 3 ) = 5，
2 3
所以至少有一位同学复赛获一等奖的概率为 1 5 = 5．
16.(1)已知向量 = ( , 1)， = ( , 1)，
当 = 2时， = ( , 1) = (1,1)，
= ( , 1) = (0,1)，
则 + = (1 + 0,1 + 1) = (1,2)．
(2)若 // ，
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则 × 1 1 × = 0，
即 = ，
所以 = + 4， ∈ ．
(3)因为 = ( , 1)， = ( , 1)，
所以 ( ) = = + 1 × 1 = 12 2 + 1，
因为 2 ∈ [ 1,1]，
所以当 2 = 1 时， ( ) 3取得最大值2，
当 2 = 1 时， ( ) 1取得最小值2．
17.(1)证明：在直角梯形 中，由 = = 1， = 2，得 = = 2，
由 = 2， = 2 得 2 = 2 + 2，即 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，从而 ⊥平面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ，从而 ⊥平面 ；
(2)解：作 ⊥ ，与 交于点 ， ⊥ ，与 交于点 ，连接 ，
由(1)知 ⊥ ，所以∠ 就是二面角 的平面角，
在直角梯形 中，由 2 = 2 + 2，得 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，得 ⊥平面 ，从而 ⊥ ，
由于 ⊥平面 ，得 ⊥ ．
在 △ 中，由 = 2， = 2，得 = 6；
在 △ 中，由 = 2， = 2， = 6得 = 2 3，3
= = 1，∴ = 33
∴ tan∠ = 3，
所以二面角 的正切值为 3．
18.(1)因为 = 2 ( + 6 ) = ( 3 + )，
由正弦定理得 = ( 3 + ) = sin( + ) = + ，
所以 = 3 ，
因为 ∈ (0, ) 3，所以 = 3 ，

所以 = 6．
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(2)(ⅰ)因为 = 2 3, = 1, ∠ = 6，
根据余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 1 + 12 2 × 1 × 2 3 × 32 = 7，所以 = 7，

因为∠ = 2 + ，所以 sin∠ = sin(

2 + ) = ，
在△ 2 3 7 21中，由正弦定理知，sin∠ = ，即 = 1 ，所以 = 7 ，
2
2 7 2 3 21
进而 = 7 ，所以 = 3 = ，故 = 2 ，
(ⅱ) 因为 = 6 , ∠ = 2，所以∠ = 3 ，
在△ 中，由正弦定理得sin∠ = ，所以 = 2 ( 3 )；
又在△ 中， = ；

所以 = 2 (

3 ) = cos[ (

3 )] cos[ + (

3 )] = cos(2

3 ) cos

3 = cos(2

3 )
1
2，
因为∠ > 0，所以 ∈ (0, 3 ), 2

3 ∈ (

3 , 3 )，所以 cos(2 3 ) ∈ (
1
2 , 1],
1
所以 的取值范围是(0, 2 ]．
19.(1)根据离散曲率的定义得 = 1
1
2 (∠ + ∠ + ∠ )，
= 1
1
2 (∠ + ∠ + ∠ ), = 1
1
2 (∠ + ∠ + ∠ )，
= 1
1
2 (∠ + ∠ + ∠ )，
又因为∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠
+∠ + ∠ + ∠ = 4 ，
所以 + + + = 4
1
2 × 4 = 2．
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，∴ ⊥ ，
因为 = 1
1
2 (∠ + ∠ + ∠ ) =
3 1 3
8，即 1 2 (∠ + 2 + 2 ) = 8
所以∠ = 4，所以 = = = 4，过点 作 ⊥ 于点 ，
由 ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
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又 ∩ = ， ， 平面 ，则 ⊥平面 ，
2
因此点 到平面 的距离为线段 的长，在 △ 中， = ∠ = 4 × 2 = 2 2，
所以点 到平面 的距离为 2 2．
(3)过点 作 // 交 于 ，连结 ，
因为 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ，
所以∠ 为直线 与平面 所成的角，
依题意可得， = 4, = 2 + 2 = 4 2，
= 2 + 2 = 4 3，
sin∠ = 3 = 3 ，cos∠ =
6
= 3 ，
设 = (0 < ≤ 4 3) 3，则 = ∠ = 3 , = cos∠ =
6
3 ，
在△ 中， = 2 + 2 2 cos∠ = 16 + 2 2 8 33 3 ，
又 cos∠ = 306 ，所以 sin∠ = 1 cos
2∠ = 66 ，
tan∠ = sin∠ = 5则 cos∠ 5 ，
3
5
所以 tan∠ = 3 = = ，16+23 2
8 3 53
= 4 3解得： 3 或 = 4 3(舍)，
4 3
故 = 3 ．
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