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3.3 中心对称
一．选择题（共9小题）
1．平面直角坐标系内的点A（﹣1，3）与点B（﹣1，﹣3）的位置关系是（　　）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．无法确定
2．“我爱中国”这四个汉字拼音的首字母如图所示，其中属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列四个名牌大学校徽图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．下面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．旋转对称图形一定是中心对称图形
B．角是轴对称图形，它的对称轴就是它的角平分线
C．轴对称图形可能有无数条对称轴
D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
7．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△AOD绕点D旋转180°得到△EFD，若菱形ABCD的面积为 　 　，AC＝2，则BE＝　 　．
11．平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣4）与点Q（﹣5，a）关于原点对称，则a＝　 　．
12．在平面直角坐标系中，点A（a，3）与点B（﹣5，b）关于原点对称，则a﹣b＝　 　．
13．若点P（x，﹣3）与点Q（4，y）关于原点对称，则x+y＝　 　．
14．在平面直角坐标系中，点P关于原点对称的点Q的坐标是（﹣2，3），则点P的坐标是 　 　．
15．设点P（x，y）在第二象限内，且|x|＝3，|y|＝2，则点P关于原点的对称点为 　 　．
三．解答题（共7小题）
16．如图，△ABC与△DEC关于C点成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，求AE的长．
17．在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝2，AC，求AB的长．
18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝1，将△ABC绕点B旋转180°，点A落在点A′处，求AA′的长度．
19．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△DEF的周长．
20．实践操作：如图是4×4正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在图1中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图1中黑色部分是一个轴对称图形；
（2）请在图2中选取若干个白色的单位正方形并涂黑，使图2中黑色部分是一个中心对称图形，且面积占正方形网格面积的一半．
21．如图．
（1）在直角坐标系中，分别描出点A，B，C关于原点O的对称点A1，B1，C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并分别依次连接点A，B，C和点A1，B1，C1．
（2）描述△ABC和△A1B1C1各对应顶点坐标之间的关系．
（3）△A1B1C1是由△ABC经怎样的变化得到的？
22．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，若点B的坐标为（a，b），且，CB∥OA，OA＝2a．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分时停止运动，求此时P点的运动时间．
3.3 中心对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【答案】B
【分析】纵坐标互为相反数，横坐标不变可知两点关于x轴对称．
【解答】解：平面直角坐标系内的点A（﹣1，3）与点B（﹣1，﹣3）关于x轴对称．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2．【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：在英文字母W，A，Z，G中，是中心对称图形的是Z．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是中心对称图形，符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4．【答案】A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5．【答案】C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
6．【答案】C
【分析】分别利用旋转对称图形的性质，中心对称图形及轴对称图形的定义分析得出即可．
【解答】解：A．旋转对称图形不一定是中心对称图形，原说法错误，故本选项不符合题意；
B．角是轴对称图形，角的对称轴就是它的角平分线所在直线，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．轴对称图形可能有无数条对称轴，如圆是轴对称图形，有无数条对称轴，原说法左起，故本选项符合题意；
D．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题综合考查了中心对称图形，旋转对称图形，轴对称图形和性质，掌握相关定义是解答本题的关键．
7．【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
8．【答案】A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
9．【答案】D
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．
二．填空题（共6小题）
10．【答案】，（答案不唯一）．
【分析】给出菱形ABCD的面积，结合AC的长即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴．
令菱形ABCD的面积为，
又∵AC＝2，
∴BD．
∴BO＝DO．
又∵△DEF由△AOD绕点D旋转180°得到，
∴DF，∠F＝90°，EF＝AO＝1，
∴BF．
在Rt△BEF中，
BE．
故答案为：，（答案不唯一）．
【点评】本题考查中心对称及旋转的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
【解答】解：平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣4）与点Q（﹣5，a）关于原点对称，则a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【解答】解：∵点A（a，3）与点B（﹣5，b）关于原点对称，
∴a＝5，b＝﹣3，
∴a﹣b＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得到x、y的值，再算出x+y即可．
【解答】解：∵点P（x，﹣3）与点Q（4，y） 关于原点对称，
∴x＝﹣4，y＝3，
故x+y＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14．【答案】（2，﹣3）．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．
【解答】解：∵与点P关于原点对称的点Q的坐标是（﹣2，3），
∴点P的坐标是：（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
15．【答案】（3，﹣2）．
【分析】根据P在第二象限可以确定x，y的符号，再根据|x|＝3，|y|＝2，就可以得到x，y的值，得出P点的坐标，进而求出点P关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝2，
∴x＝±3，y＝±2，
∵点P（x，y）在第二象限内，
∴x＜0，y＞0，
∴x＝﹣3，y＝2，
即点P的坐标是（﹣3，2），
∴点P关于原点的对称点的坐标是（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
三．解答题（共7小题）
16．【答案】．
【分析】根据△ABC与△DEC关于C点成中心对称，可得△ABC≌△DEC，即可得∠CAB＝∠CDE＝90°，AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，进而有AD＝2，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△DEC关于C点成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE，AC＝DC，∠CAB＝∠CDE，
∵AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，
∴∠CAB＝∠CDE＝90°，AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，
∴AD＝2，
∴在Rt△ADE中，有：．
即．
【点评】本题考查了中心对称图形的性质，全等的性质，勾股定理等知识，根据△ABC与△DEC关于C点成中心对称，得到△ABC≌△DEC，是解答本题的关键．
17．【答案】（1）∠ABC＝∠BEC，理由见解答过程；
（2）3．
【分析】（1）由旋转的性质可得BC＝BE，可得∠BCE＝∠BEC，由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCE＝∠BEC；
（2）过点D作DF⊥CE于点E，由旋转的性质可得AC＝DE，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，可证△BCE是等边三角形，由直角三角形的性质可求CF的长，由勾股定理可求EF的长，可得CE＝BC＝10，即可得BD＝AB的长．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠BEC，理由如下：
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠BEC；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵CE∥AB，
∴∠BCE＝∠ABC，
∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE，
∴∠CDF＝30°，
∴CFCD＝1，DFCF，
在Rt△DEF中，EF4，
∴CE＝EF+CF＝5＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3＝AB，
∴AB的长为3．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】根据旋转的性质和中心对称的性质得出AB＝A'B，进而解答即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∵将△ABC绕点B旋转180°，点A落在点A′处，
∴AB＝A'B＝2，
∴AA'＝AB+A'B＝4．
【点评】此题考查中心对称，关键是根据旋转的性质和中心对称的性质得出AB＝A'B解答．
19．【答案】（1）见解析；
（2）15．
【分析】（1）连接AD，CF，其交点就是对称中心O；
（2）依据△ABC和△DEF关于点O成中心对称，即可得到△ABC≌△DEF，进而得出△DEF的周长．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE＝6，AC＝DF＝5，BC＝EF＝4，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝6+5+4＝15；
答：△DEF的周长为15．
【点评】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．
20．【答案】（1）图形见解答；
（2）图形见解答．
【分析】（1）根据轴对称图形的定义，即可解答；
（2）根据题意可得：要选取3个白色的单位正方形并涂黑，然后再根据中心对称图形的定义，即可解答．
【解答】解：（1）
如图即为所求；
（2）
如图即为所求．
【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握中心对称图形，轴对称图形的定义是解题的关键．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别描出点A，B，C关于原点O的对称点A1，B1，C1，即可得到点A1，B1，C1的坐标，并分别依次连接点A，B，C和点A1，B1，C1．
（2）点A，B，C关于原点O的对称点分别为A1，B1，C1，据此可得结论；
（3）依据△ABC和△A1B1C1关于原点中心对称，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示：
点A1，B1，C1的坐标分别为（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2），（﹣1，﹣1）；
（2）△ABC和△A1B1C1各对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；
（3）△A1B1C1是由△ABC绕着原点O旋转180°得到的．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
22．【答案】（1）A（8，0），B（4，4），C（0，4）；
（2）3．
【分析】（1）由根式的非负性可求a，b的值，即可求解；
（2）由梯形面积公式可求四边形ABCO的面积，由三角形的面积公式可求OP的长，即可求t的值；
【解答】解：（1）∵，
∴a＝4，b＝4，
∴B（4，4），
∵CB∥OA，OA＝8，
∴A（8，0），C（0，4）；
（2）∵S四边形ABCO4×（4+8）＝24，且直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分，
∴S△COP4×OP＝12，
∴OP＝6，
∴t3s，
答：此时P点的运动时间为3秒．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练利用数形结合思想是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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