资源简介

6.3.1 平面向量基本定理
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．理解平面向量基本定理及其意义，会判断两个向量能不能作为一个基底．
2．了解向量基底的含义．在平面内，当一个基底确定后，会用这个基底来表示其他向量．
平面向量基本定理的定义
条件 e1，e2是同一平面内的两个______________
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________
基底 若e1，e2不共线，把________叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
|微|点|助|解|　
对平面向量基本定理的理解
(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
(2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值．
(3){e1，e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底．(　　)
(2)零向量可以作为基向量．(　　)
(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．(　　)
2．设O为平行四边形ABCD的对称中心，＝4e1，＝6e2，则2e1－3e2等于(　　)
A. B.
C. D.
3.
如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
4．已知向量a，b不共线，若λa＋b＝－a＋μb，则λ＝________，μ＝________.
题型(一)　对平面向量基本定理的理解
[例1]　(多选)设e1，e2是两个不共线的向量，则下列四组向量中，能作为平面向量的一个基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2　 　 B．e1＋2e2和e2＋2e1
C．3e1－2e2和4e2－6e1 D．e2和e2＋e1
听课记录：
|思|维|建|模|
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示．　　
[针对训练]
1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　)
A.，　　 B.，
C.， D.，
2．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，若{a，b}能作为一个基底，则实数λ的取值范围为________________．
题型(二)　用基底表示向量
[例2]　如图所示，已知 ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以{a，b}为基底表示，.
听课记录：
[变式拓展]
1．在本例中，若取＝x，＝y，以{x，y}作为一个基底，试用x，y表示，.
2．在本例中，若取＝e，＝f，以{e，f}作为一个基底，试用e，f表示.
|思|维|建|模|
用基底表示向量的依据和两个“模型”
(1)依据：
①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义，向量的数乘的几何意义．
(2)模型：
　　
[针对训练]
3.如图，点A，B，C，P均在正方形网格的格点上．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋2μ＝(　　)
A．1 B.
C. D．2
4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________．
题型(三)　平面向量基本定理的应用
[例3]　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
　
听课记录：
[变式拓展]
　若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN的值．
|思|维|建|模|
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量为基底；
(2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题；
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解；
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．　　
[针对训练]
5．如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，
且＝，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)若G为长方形ABCD内部一点，且＝a＋b，求证：E，G，F三点共线．
6．3.1　平面向量基本定理
课前预知教材
不共线向量　λ1e1＋λ2e2　{e1，e2}
[基础落实训练]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2.选B　如图，＝＝(－)＝2e1－3e2.
3．4e1＋3e2
4．解析：∵λa＋b＝－a＋μb，
∴(λ＋1)a＋(1－μ)b＝0.又∵a，b不共线，
∴λ＋1＝0且1－μ＝0.即λ＝－1，μ＝1.
答案：－1　1
?课堂题点研究
　[题型(一)]
[例1]　选ABD　e1＋e2和e1－e2没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一个基底；e1＋2e2和e2＋2e1没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一个基底；4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，二者是共线向量，不能作为平面向量的一个基底；e2和e2＋e1不共线，可作为平面向量的一个基底．故选A、B、D.
[针对训练]
1．选B　由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．故选B.
2．解析：若{a，b}能作为一个基底，则向量a，b不共线．由题可知，若向量a，b共线，则有λ＝4，故当向量a，b不共线时，λ≠4，即实数λ的取值范围是(－∞，4)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)
　[题型(二)]
[例2]　解：∵四边形ABCD是平行四边形，
E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2.
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，＝＋＝＋＝b－a.
[变式拓展]
1．解：依题意x＝a＋b，y＝a－b，∴x＋y＝2a，x－y＝2b.∴a＝(x＋y)，b＝(x－y)．
于是＝a－b＝(x＋y)－(x－y)＝x＋y，
＝b－a＝(x－y)－(x＋y)＝x－y.
2．解：由例2，知＝a－b＝e，＝b－a＝f.解得a＝e＋f，b＝e＋f.
∴＝a－b＝e＋f－＝e－f.
[针对训练]
3．选B　设在正方形网格中，方向为水平向右，长度为一格的向量为i，方向为竖直向上，长度为一格的向量为j，∴＝－2i＋2j，＝4i，＝i＋j.∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)，即i＋j＝λ(－2i＋2j)＋μ×4i＝(4μ－2λ)i＋2λj，∴
解得∴λ＋2μ＝.故选B.
4．解析：如图所示．
∵A，M，Q三点共线，∴＝x＋(1－x)＝＋(1－x)·.又∵＝＋，＝t，
∴解得t＝.
答案：
　[题型(三)]
[例3]　解：设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，得
解得∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.
[变式拓展]
解：如图，设＝e1，＝e2，则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得
解得∴＝，＝，
∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
[针对训练]
5．解：(1)＝＋＝＋＝＋＝a＋b；
＝＋＝＋＝＋＝a＋b；
＝＋＝－＋＝－＋a＋b＝a－b.
(2)证明：由(1)知＝a＋b，＝a＋b，设＝λ＋μ，
则a＋b＝λ＋μ＝a＋b，
即解得
故＝＋，＋＝1，
故E，G，F三点共线．(共67张PPT)
6.3.1
平面向量基本定理
(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.理解平面向量基本定理及其意义,会判断两个向量能不能作为一个基底.
2.了解向量基底的含义.在平面内,当一个基底确定后,会用这个基底来表示其他向量.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
平面向量基本定理的定义
条件 e1,e2是同一平面内的两个____________
结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=_________
基底 若e1,e2不共线,把_______叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
不共线向量
λ1e1+λ2e2
{e1,e2}
|微|点|助|解|
对平面向量基本定理的理解
(1)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
(2)基底给定时,分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值.
(3){e1,e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的向量.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.(　　)
(2)零向量可以作为基向量. (　　)
(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. (　　)
×
×
×
2.设O为平行四边形ABCD的对称中心,=4e1,=6e2,则2e1-3e2等于(　　)
A. B.
C. D.
解析:如图,==(-)=2e1-3e2.
√
3.如图所示,向量可用向量e1,e2表示为　　　　.
4e1+3e2
4.已知向量a,b不共线,若λa+b=-a+μb,则λ=　　,μ=　　.
解析:∵λa+b=-a+μb,
∴(λ+1)a+(1-μ)b=0.又∵a,b不共线,
∴λ+1=0且1-μ=0.即λ=-1,μ=1.
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课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一)　对平面向量基本定理的理解
[例1]　(多选)设e1, e2是两个不共线的向量,则下列四组向量中,能作为平面向量的一个基底的是(　　)
A.e1+e2和e1-e2 B. e1+2e2和e2+2e1
C.3e1-2e2和4e2-6e1 D. e2和e2+e1
√
√
√
解析:e1+e2和e1-e2没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一个基底;e1+2e2和e2+2e1没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一个基底;4e2-6e1=-2(3e1-2e2),二者是共线向量,不能作为平面向量的一个基底;e2和e2+e1不共线,可作为平面向量的一个基底.故选A、B、D.
|思|维|建|模|　
考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示.
1.如图所示,点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为基底的一对向量是 (　　)
A., B.,
C., D.,
解析:由题中图形可知与,与,与共线,不能作为基底向量,与不共线,可作为基底向量.故选B.
√
针对训练
2.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,若{a,b}能作为一个基底,则实数λ的取值范围为　　　　　　　　.
解析:若{a,b}能作为一个基底,则向量a,b不共线.由题可知,若向量a,b共线,则有λ=4,故当向量a,b不共线时,λ≠4,即实数λ的取值范围是(-∞,4)∪
(4,+∞).
(-∞,4)∪(4,+∞)
题型(二)　用基底表示向量
[例2]　如图所示,已知 ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的中点,若=a,=b,试以{a,b}为基底表示,.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
E,F分别是BC,DC边上的中点,
∴==2,==2.
∴==b,==-=-a.
∴=++=-++=-b+a+b=a-b,
=+=+=b-a.
1.在本例中,若取=x,=y,以{x,y}作为一个基底,试用x,y表示,.
解:依题意x=a+b,y=a-b,∴x+y=2a,x-y=2b.∴a=(x+y),b=(x-y).
于是=a-b=(x+y)-(x-y)=x+y,
=b-a=(x-y)-(x+y)=x-y.
变式拓展
2.在本例中,若取=e,=f,以{e, f}作为一个基底,试用e, f表示.
解:由例2,知=a-b=e,=b-a=f.
解得a=e+f,b=e+ f.
∴=a-b=e+ f-=e- f.
|思|维|建|模|　
用基底表示向量的依据和两个“模型”
(1)依据:
①向量加法的三角形法则和平行四边形法则;
②向量减法的几何意义,向量的数乘的几何意义.
(2)模型:
3.如图,点A,B,C,P均在正方形网格的格点上.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+2μ=(　　)
A.1 B.
C. D.2
√
针对训练
解析:设在正方形网格中,方向为水平向右,长度为一格的向量为i,方向为竖直向上,长度为一格的向量为j,∴=-2i+2j,=4i,=i+j.
∵=λ+μ(λ,μ∈R),即i+j=λ(-2i+2j)+μ×4i=(4μ-2λ)i+2λj,
∴解得∴λ+2μ=.故选B.
4.在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为　　　　.
解析:如图所示.∵A,M,Q三点共线,∴=x+(1-x)=+(1-x).又∵=+,=t,∴
解得t=.
题型(三)　平面向量基本定理的应用
[例3]　如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN的值.
解:设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数λ,μ使得=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2.故=+=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
而=+=2e1+3e2,
由平面向量基本定理,得解得
∴=,=,
∴AP∶PM=4,BP∶PN=.
若本例中的点N为AC的中点,其他条件不变,求AP∶PM与BP∶PN的值.
解:如图,设=e1,=e2,
则=+=-2e2-e1,
=+=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数λ,μ使得=λ=-λe1-2λe2,
变式拓展
=μ=2μe1+μe2.
故=+=-=(λ+2μ)e1+(2λ+μ)e2.而=+=2e1+2e2,由平面向量基本定理,得解得
∴=,=,
∴AP∶PM=2,BP∶PN=2.
|思|维|建|模|　
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量为基底;
(2)将相关的向量用基底表示,将几何问题转化为向量问题;
(3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解;
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
5.如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且=,设=a,=b.
(1)试用a,b表示,,;
针对训练
解:=+=+=+=a+b;
=+=+=+=a+b;
=+=-+=-+a+b=a-b.
(2)若G为长方形ABCD内部一点,且=a+b,求证:E,G,F三点共线.
解:证明:由(1)知=a+b,=a+b,
设=λ+μ,
则a+b=λ+μ=a+b,
即解得
故=+,+=1,
故E,G,F三点共线.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.平面内任一向量m都可以表示成λa+μb(λ,μ∈R)的形式,下列关于向量a,b的说法正确的是(　　)
A.向量a,b的方向相同
B.向量a,b中至少有一个是零向量
C.向量a,b的方向相反
D.当且仅当λ=μ=0时,λa+μb=0
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解析:因为任一向量m=λa+μb(λ,μ∈R),根据平面向量的基本定理得,向量a,b不共线,故A、C不正确.因为a,b是一个基底,所以不能为零向量,故B不正确.因为a,b不共线,且不能为零向量,所以若λa+μb=0,当且仅当λ=μ=0,故D正确.故选D.
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2.已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是 (　　)
A.a=0,b=e1-e2
B.a=3e1-3e2,b=e1-e2
C.a=e1-2e2,b=e1+2e2
D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2
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解析:对于A,零向量与任意向量均共线,所以这两个向量不可以作为基底.对于B,因为a=3e1-3e2,b=e1-e2,所以a=3b.所以这两个向量不可以作为基底.对于C,设a=λb,即e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解,所以这两个向量不共线,可以作为一个基底.对于D,因为a=e1-2e2,b=2e1-4e2,所以a=b.所以这两个向量不可以作为基底.故选C.
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3.设{e1,e2}是平面内的一个基底,若向量a=-3e1-e2与b=e1-λe2共线,则λ= (　　)
A. B.-
C.-3 D.3
解析:因为a与b共线,所以存在μ∈R,使得a=μb,即-3e1-e2=μ(e1-λe2).故μ=-3,-λμ=-1,解得λ=-.故选B.
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4.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则等于(　　)
A.-2 B.-
C.- D.
解析:∵=+=+=-+=-,∴λ=1,μ=-.因此=-2.
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5.如图所示,点C在线段BD上,且BC=3CD,则=(　　)
A.3-2 B.4-3
C.- D.-
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解析:因为BC=3CD,所以=.因为=+=+
=+(-),所以=-.即=-.故选C.
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6.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x+y)e1+(3x+2y)e2=0,则x+y=　 .
解析:∵e1,e2不共线,∴
解得∴x+y=0.
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7.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　,y=　　　.
解析:由题意,得=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-.
　
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8.如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,若a=λe1+μe2,则λ+μ=　　　　.
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解析:如图,=3e2,=e1,所以a=+=e1+3e2.又a=λe1+μe2,所以λ=1,μ=3.即λ+μ=4.
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9.(8分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:{a,b}可以作为一个基底;
解:证明:若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得 ∴λ不存在,故a与b不共线,{a,b}可以作为一个基底.
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(2)以{a,b}为一个基底,求向量c=3e1-e2的分解式;
解:设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.∵e1与e2不共线,∴解得∴c=2a+b.
(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
解:由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.
∴解得
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10.(10分)如图,在△ABC中,=2,E是AD的中点,设=a,=b.
(1)试用a,b表示,;
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解:因为=2,所以=,所以=+=+
=+(-)=+=a+b.因为E是AD的中点,
所以===-+(-)=-+
=-a+b.
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(2)若|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,求·.
解:因为|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,所以a·b=|a||b|cos =1×1×=,
由(1)知,=a+b,= a+b,所以·=·=-a2-a·b+b2=--×+=-.
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B级——重点培优
11.(多选)已知M为△ABC的重心,D为BC的中点,则下列等式成立的是(　　)
A.||=||=|| B.++=0
C.=+ D.S△MBC=
√
√
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解析:如图,M为△ABC的重心,则++=0,A错误,B正确;
=+=+=+(-)=+,C错误;
由DM=AD得S△MBC=S△ABC,D正确.
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12.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,F是线段DC上的点.若DC=3DF,设=a,=b,则=(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
√
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解析:如图所示,平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,F是线段DC上的点,且DC=3DF,
∴==(-)=(-),=-=+,则=+=+(-)=+=a+b,故选B.
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13.在△ABC中,已知点D在线段BC的延长线上,且3+=0,点O在线段CD上(与点C,D不重合).若=-x+,则x的取值范围是　　.
解析:如图所示,
(0,3)
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设=t,则=+=+t=+t(-)=-t+(1+t).
因为3+=0,点O在线段CD上(与点C,D不重合),所以t∈(0,3),
又=-x+(1+x),所以x∈(0,3).
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14.(12分)如图,在 ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.
(1)试用向量a,b来表示,;
解:因为AN=AB,所以==a,所以=-=a-b.因为BM=BC,所以===b,所以=+=a+b.
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(2)若AM交DN于点O,求AO∶OM的值.
解:因为A,O,M三点共线,所以∥,设=λ,则=-=λ-=λ-b=λa+b.因为D,O,N三点共线,所以∥,则存在实数μ使得=μ,所以λa+b=μ.
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由于向量a,b不共线,则解得
所以=,=,所以AO∶OM=3∶11.
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15.(12分)如图,在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M.过点M的直线l与OA,OB分别交于点E,F.
(1)试用,表示向量;
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解:由A,M,D三点共线可得,存在实数m,使得=m+(1-m).又=,故=m+.由C,M,B三点共线可得,存在实数n,使得=n+(1-n).又=,故=+(1-n).
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由题意知,不共线,所以
解得故=+.
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(2)设=λ,=μ,求证:+是定值.
解:证明:由E,M,F三点共线,可设=k+(1-k)(k∈R),
由=λ,=μ,
得=kλ+(1-k)μ.
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由(1)知=+,所以
即所以+=7,故+是定值.课时跟踪检测(八)　平面向量基本定理
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法正确的是(　　)
A．向量a，b的方向相同
B．向量a，b中至少有一个是零向量
C．向量a，b的方向相反
D．当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0
2．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(　　)
A．a＝0，b＝e1－e2
B．a＝3e1－3e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e1＋2e2
D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2
3．设{e1，e2}是平面内的一个基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　)
A. B．－
C．－3 D．3
4．已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则等于(　　)
A．－2 B．－
C．－ D.
5.如图所示，点C在线段BD上，且BC＝3CD，则＝(　　)
A．3－2 B．4－3
C.－ D.－
6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
7．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝______，y＝______.
8．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝________.
9．(8分)设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为一个基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值.
10.(10分)如图，在△ABC中，＝2，E是AD的中点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，；
(2)若|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，求·.
B级——重点培优
11．(多选)已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　)
A．||＝||＝||
B.＋＋＝0
C.＝＋
D．S△MBC＝S△ABC
12．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　 )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
13．在△ABC中，已知点D在线段BC的延长线上，且3＋＝0，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若＝－x＋，则x的取值范围是______.
14.(12分)如图，在 ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB.
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值．
15.(12分)如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M.过点M的直线l与OA，OB分别交于点E，F.
(1)试用，表示向量；
(2)设＝λ，＝μ，求证：＋是定值.
课时跟踪检测(八)
1．选D　因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，根据平面向量的基本定理得，向量a，b不共线，故A、C不正确．因为a，b是一个基底，所以不能为零向量，故B不正确．因为a，b不共线，且不能为零向量，所以若λa＋μb＝0，当且仅当λ＝μ＝0，故D正确．故选D.
2．选C　对于A，零向量与任意向量均共线，所以这两个向量不可以作为基底．对于B，因为a＝3e1－3e2，b＝e1－e2，所以a＝3b.所以这两个向量不可以作为基底．对于C，设a＝λb，即e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解，所以这两个向量不共线，可以作为一个基底．对于D，因为a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2，所以a＝b.所以这两个向量不可以作为基底．故选C.
3．选B　因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.故选B.
4．选A　∵＝＋＝＋＝－＋＝－，
∴λ＝1，μ＝－.因此＝－2.
5．选C　因为BC＝3CD，所以＝.因为＝＋＝＋＝＋(－)，所以＝－.即＝－.故选C.
6．解析：∵e1，e2不共线，∴
解得∴x＋y＝0.
答案：0
7．解析：由题意，得＝＋＝A＋C＝A＋(A－A)＝A－A＝x＋y，所以x＝，y＝－.
答案：　－
8．解析：如图，＝3e2，＝e1，所以a＝＋＝e1＋3e2.又a＝λe1＋μe2，所以λ＝1，μ＝3.即λ＋μ＝4.
答案：4
9．解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得 ∴λ不存在，故a与b不共线，{a，b}可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∵e1与e2不共线，
∴解得
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴解得
10．解：(1)因为＝2，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.因为E是AD的中点，
所以＝＝＝－＋(－)＝－＋＝－a＋b.
(2)因为|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos ?a，b?＝1×1×＝，
由(1)知，＝a＋b，＝－a＋b，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－－×＋＝－.
11.选BD　如图，M为△ABC的重心，则＋＋＝0，A错误，B正确；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，C错误；由DM＝AD得S△MBC＝S△ABC，D正确．
12．选B　如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝＋，则＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选B.
13．解析：如图所示，设＝t，则＝＋＝＋t＝＋t(－)＝－t＋(1＋t).因为3＋＝0，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以t∈(0,3)，
又＝－x＋(1＋x)，所以x∈(0,3)．
答案：(0,3)
14．解：(1)因为AN＝AB，所以＝＝a，所以＝－＝a－b.因为BM＝BC，所以＝＝＝b，所以＝＋＝a＋b.
(2)因为A，O，M三点共线，所以∥，设＝λ，则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b.因为D，O，N三点共线，所以∥，则存在实数μ使得＝μ，
所以λa＋b＝μ.
由于向量a，b不共线，则
解得所以＝，＝，所以AO∶OM＝3∶11.
15．解：(1)由A，M，D三点共线可得，存在实数m，使得＝m＋(1－m).又＝，故＝m＋.由C，M，B三点共线可得，存在实数n，使得＝n＋(1－n).又＝，故＝＋(1－n).
由题意知，不共线，
所以解得
故＝＋.
(2)证明：由E，M，F三点共线，可设＝k＋(1－k)(k∈R)，
由＝λ，＝μ，得＝kλ＋(1－k)μ.
由(1)知＝＋，
所以即
所以＋＝7，故＋是定值．

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