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4.1 因式分解
一．选择题（共10小题）
1．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣x＝x（x﹣1）
B．a（m+n）＝am+an
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
2．下列从左到右的变形：①x2﹣2x+1＝（x﹣1）2；②；③21a3b2＝3a2b2 7a；④（3m+n）（3m﹣n）＝9m2﹣n2；其中是因式分解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．下列变形中，是因式分解且正确的是（　　）
A．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
B．a2﹣4a+4＝（a﹣2）2
C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21
D．﹣x2+6x﹣9＝（x﹣3）2
4．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a）
5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．x2+3x﹣4＝x（x+3）﹣4 D．y3﹣4y2+y＝y（y2﹣4y）
6．下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（　　）
A．（3+m）2＝9+6m+m2
B．8y2﹣12y＝2y（4y﹣6）
C．bx2﹣b＝b（x+1）（x﹣1）
D．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
7．式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣1＝x x﹣1 B．x2+2xy+1＝x（x+2y）+1
C．a2b+ab3＝ab（a+b2） D．x（x+y）＝x2+xy
8．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2
C．x2+6x+10＝（x+3）2+1 D．m2﹣4m＝m（m﹣4）
9．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x（x+1）＝x2+x B．
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．x2+2x+1＝（x+1）2
10．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x（x+2）＝x2+2x B．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9
C． D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
二．填空题（共6小题）
11．若（x﹣3）（x+5）是将多项式x2+px+q分解因式的结果，则p＝　 　，q＝　 　．
12．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m﹣n的值为　 　．
13．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m+n＝　 　．
14．若x﹣1是x2﹣5x+c的一个因式，则c＝　 　．
15．把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m+n的值为　 　．
16．分解因式：x2+ay2在有理数范围内能够分解因式，则a的值可以是 　 　．（任意写出一个即可）
三．解答题（共7小题）
17．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+4x+3＝x2+（1+3）x+1×3＝（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5＝x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）＝（x+1）（x﹣5）．
请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18．
18．已知x2+2x+1是多项式x3﹣x2+ax+b的因式，求a、b的值．
19．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9；
（2）m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）；
（3）a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1；
（4）2mR+2mr＝2m（R+r）．
20．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．
21．如果关于x的多项式x2﹣4x+m
（1）当m＝4时，多项式可因式分解为　 　；
（2）如果x+5是多项式的一个因式，求m的值及多项式的另一个因式
22．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．
23．已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因式分解的结果是，求m、n的值．
4.1 因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1）符合因式分解的定义，则A符合题意；
a（m+n）＝am+an是乘法运算，它不是因式分解，则B不符合题意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2是乘法运算，它不是因式分解，则C不符合题意；
x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x中右边不是积的形式，它不是因式分解，则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．【答案】A
【分析】根据因式分解的定义，即将一个多项式写成几个整式积的形式，逐个进行判断即可．
【解答】解：①x2﹣2x+1＝（x﹣1）2是因式分解；
②x2+5x+1＝x（x+5）由于右边不是几个整式的积，因此不是因式分解；
③21a3b2＝3a2b2 7a，由于左边本身是单项式，不是多项式，因此不是因式分解；
④（3m+n）（3m﹣n）＝9m2﹣n2是整式的乘法，不符合因式分解的定义，因此不是因式分解．
综上所述，是因式分解的有：①，共1个．
故选：A．
【点评】本题考查因式分解，理解因式分解的定义，即将一个多项式写成几个整式积的形式，是正确判断的关键．
3．【答案】B
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．x2+y2≠（x+y）（x﹣y），故本选项不符合题意；
B．a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．﹣x2+6x﹣9＝﹣（x﹣3）2，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4．【答案】B
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5．【答案】B
【分析】根据因式分解的定义，即因式分解是把一个多项式写成是几个整式的乘积的形式，利用排除法进行解题．
【解答】解：A．原式的右边不是几个整式的乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
C．原式的右边不是几个整式的乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．原式的右边虽是两个整式的乘积的形式，但因为右边的式子还能进行因式分解，故本选项不符合题意．
故选B．
【点评】本题考查因式分解的定义．
6．【答案】C
【分析】根据因式分解的定义和方法逐项进行判断即可．
【解答】解：A．（3+m）2＝9+6m+m2，从左到右是整式的乘法，不是因式分解，因此选项A不符合题意；
B.8y2﹣12y＝4y（2y﹣3），从左到右虽是因式分解，但没有分解到不能再分解为止，因此选项B不符合题意；
C．bx2﹣b＝b（b2﹣1）＝b（x+1）（x﹣1），因此选项C符合题意；
D．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1，不符合因式分解的定义，因此选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查因式分解，理解因式分解的定义，掌握因式分解的方法是正确解答的关键．
7．【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
D、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
8．【答案】D
【分析】运用因式分解的定义进行辨别、求解．
【解答】解：∵a（3）不是表示整式的乘积，
∴选项A不符合题意；
∵a2﹣2a﹣1≠（a﹣1）2，
∴选项B不符合题意；
∵（x+3）2+1不是整式乘积的形式，
∴选项C不符合题意；
∵m2﹣4m＝m（m﹣4），
∴选项D符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
9．【答案】D
【分析】根据因式分解的概念，将多项式相加写成多个单项式相乘的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．
【解答】解：A．x（x+1）＝x2+x，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不合题意．
B．该等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意．
C．该等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意．
D．x2+2x+1＝（x+1）2，符合因式分解的定义，故本项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．
10．【答案】D
【分析】根据因式分解的定义解答即可．
【解答】解：A、B、C不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、符合因式分解的定义，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】把（x﹣3）（x+5）利用多项式乘法法则展开，与多项式x2+px+q的对应项的系数相同，据此即可求解．
【解答】解：（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，
则p＝2，q＝﹣15．
故答案为：2，﹣15．
【点评】本题 主要考查了因式分解与整式的乘法的关系，两者互为逆运算．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣10）（x+n）展开，得出m，n的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x2﹣8x+m＝（x﹣10）（x+n）＝x2+nx﹣10x﹣10n＝x2+（n﹣10）x﹣10n，
∴n﹣10＝﹣8，m＝﹣10n，
∴n＝2，m＝﹣20，
∴m﹣n＝﹣20﹣2＝﹣22；
故答案为：﹣22．
【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相等．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】把（x﹣10）（x+n）展开后合并，根据对应系数相等即可得出关于m n的方程，求出即可．
【解答】解：∵x2﹣8x+m＝（x﹣10）（x+n），
∴x2﹣8x+m＝x2+（﹣10+n）x﹣10n，
∴﹣10+n＝﹣8，m＝﹣10n，
解得：n＝2，m＝﹣20，
m+n＝﹣20+2＝﹣18．
故答案为：﹣18．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和因式分解的意义等知识点，关键是能得出关于m n的方程组．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】设另一个因式为x+a，根据多项式相乘的法则展开，然后根据对应项系数相等列式求解即可得到a、c的值．
【解答】解：根据题意，设另一因式为x+a，则
（x﹣1）（x+a）＝x2+（a﹣1）x﹣a＝x2﹣5x+c，
∴a﹣1＝﹣5，c＝﹣a，
解得a＝﹣4，c＝4．
故应填4．
【点评】这类问题的关键在于正确应用分解因式与多项式的乘法是互为逆运算的性质．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得m、n的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），得
x2+4mx+5＝（x+5）（x+n），（x+5）（x+n）＝x2+（n+5）x+5n，
x2+4mx+5＝x2+（n+5）x+5n．
4m＝n+5，5n＝5．
解得n＝1，m
m+n＝1，
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题关键．
16．【答案】﹣4（答案不唯一）．
【分析】观察可知多项式x2+ay2中两个单项式没有公因数，因此只需要满足能用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：由题意得当a＝﹣4时，原多项式为x2﹣4y2，分解因式为（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：﹣4（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】把﹣18分成﹣9×2，﹣9+2＝﹣7是一次项系数，由此类比分解得出答案即可．
【解答】解：x2﹣7x﹣18＝x2+（﹣9+2）x+（﹣9）×2＝（x﹣9）（x+2）．
【点评】此题考查因式分解的意义，注意常数项的分解结果与一次项系数的关系是解决问题的关键．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】设x3﹣x2+ax+b＝（x2+2x+1）（x+c），把等号右边的式子化简，合并同类项，与已知的式子对应项的系数相同，即可列方程求解．
【解答】解：设x3﹣x2+ax+b＝（x2+2x+1）（x+c），
则x3﹣x2+ax+b＝（x2+2x+1）（x+c）
＝x3+（c+2）x2+（2c+1）x+c，
则，
解得：．
即a＝﹣5，b＝﹣3．
【点评】本题考查了因式分解的意义，以及代数式相等的条件，理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【解答】解：（1）（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9不是因式分解，因为这是整式的乘法，所以不是因式分解；
（2）m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）是因式分解，因为符合因式分解的定义，所以是因式分解；
（3）a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1不是因式分解，因为没把一个多项式化为几个整式的积的形式，所以不是因式分解；
（4）2mR+2mr＝2m（R+r）是因式分解，因为符合因式分解的定义，所以是因式分解．
【点评】本题考查了因式分解的意义．解决这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，所以当x时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解，即可求出答案．
【解答】解：∵x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，
当x时多项式的值为0，
即30，
∴2+m＝0，
∴m＝﹣2；
∴3x2+x+m＝3x2+x﹣2＝（x+1）（3x﹣2）；
故答案为：m＝﹣2，（x+1）（3x﹣2）．
【点评】本题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用m＝4，再结合完全平方公式分解因式即可；
（2）利用多项式乘法进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）当m＝4时，多项式x2﹣4x+4，可因式分解为：（x﹣2）2；
故答案为：（x﹣2）2；
（2）设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+5）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+5）x+5n
∴，
解得：，
∴另一个因式为（x﹣9），m的值为﹣45．
【点评】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x﹣1）（x﹣9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x﹣2）（x﹣4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．
【解答】解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．
∵2（x﹣1）（x﹣9）＝2（x2﹣10x+9）＝2x2﹣20x+18，
∴a＝2，c＝18；
又∵2（x﹣2）（x﹣4）＝2（x2﹣6x+8）＝2x2﹣12x+16，
∴b＝﹣12．
∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得
2x2﹣12x+18＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2．
【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用多项式的乘法法则计算，然后根据两个多项式相等的条件：对应项的系数相同即可求得m，n的值．
【解答】解：
＝2x2x﹣x
＝2x2x．
则m，n．
【点评】本题考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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