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6.2 平行四边形的判定
一．选择题（共10小题）
1．如图， ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，则对角线AC的长为（　　）
A．27cm B．17cm C．12cm D．10cm
2．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E，若AB＝5，AC＝8，则OE的长为（　　）
A． B． C．2 D．
4．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝125°，则∠1＝（　　）
A．125° B．65° C．55° D．45°
5．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
6．如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H四点，若平行四边形BHPE面积为6，平行四边形GPFD面积为4，则△APC的面积为（　　）
A． B． C．1 D．2
7．已知 ABCD中，∠B＝4∠A，则∠A的度数为（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
8．能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相垂直且相等
D．对角线互相平分
9．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的度数为（　　）
A．24° B．25° C．26° D．28°
10．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．OA＝OC，AB∥CD
C．AB＝CD，OA＝OC
D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
二．填空题（共6小题）
11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝6．正确的是 　 　（填序号）．
12．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交边BC于E，连接AE，若∠ABC＝60°，∠BAE＝∠DAC，则∠BAE＝　 　°．
13．如图，E为 ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E＝65°，则∠A的度数为　 　．
14．如图，在等腰三角形ABC中，D是底边BC上的中点，四边形DCAE是平行四边形．连接BE，作BG⊥DE，若∠DBG：∠GBE＝1：3，BG，则AB的长度为 　 　．
15．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC的上，添加一个条件使△BOE≌△DOF，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）．
16．如图，平行四边形的面积是15cm2，甲、丙两个三角形面积的比是 　 　，阴影部分的面积是 　 　cm2．
三．解答题（共9小题）
17．如图，在△ABC中，D是边AC的中点，连接BD并延长至点E，使DE＝BD，延长BC至点F，使CF＝BC，连接AE、EF，求证：四边形ACFE是平行四边形．
18．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC于点O，若△DCE的周长为20，求 ABCD的周长．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3）．将平行四边形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM．
（1）请你直接写出点N，M的坐标；
（2）平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是 　 　，重叠部分的面积是 　 　；
（3）点E是x轴上一动点，在直线OB上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝13，AC＝24，求四边形AECD的面积．
21．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，AE＝CE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若BC＝8，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．
22．在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
23．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F为BD上两点，连接AE，AF，CE，CF，且BF＝DE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB⊥AC，CD＝4，AC＝6，E，F为BD的三等分点，求OE的长度．
24．如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF．
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）△ABE≌△CDF．
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠AOE＝70°，∠EAD＝3∠EAO，求∠BCA的度数．
6.2 平行四边形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，
∴AB+BC＝15cm，AB+BC+AC＝27cm，
∴AC＝12cm，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
2．【答案】B
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
3．【答案】D
【分析】先证出平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得，利用勾股定理可得OB＝3，再证出△OAB∽△OBE，利用相似三角形的性质求解即可得．
【解答】解：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴，
∵AB＝5，
∴，
又∵AC⊥BD，BE⊥AB，
∴∠AOB＝∠BOE＝∠ABE＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OBE+∠OBA＝90°，
∴∠OAB＝∠OBE，
∴△OAB∽△OBE，
∴，即，
解得，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
4．【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质可得∠BCD＝∠A，再根据补角定义即可得∠1的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝125°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
5．【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，再根据点的坐标求出点C的坐标即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），
∴DC∥AB，DC＝AB＝5，
∴点C的横坐标＝5+2＝7，纵坐标＝点D的纵坐标＝3，
即点C的坐标是（7，3），
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，能熟记平行四边形的对边平行且相等是解此题的关键．
6．【答案】见试题解答内容
【分析】由平行四边形的性质得S△ABC＝S△ACD，证出四边形EPGA、四边形GPFD、四边形EPHB、四边形PHCF均为平行四边形，得S△AEP＝S△AGPS平行四边形AEPG，S△PHC＝S△PCFS平行四边形PHCF，进而通过三角形与四边形之间的面积转化得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，S△ABC＝S△ACD，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴EF∥AD∥BC，AB∥CD∥GH，
∴四边形EPGA、四边形GPFD、四边形EPHB、四边形PHCF均为平行四边形，
∴S△AEP＝S△AGPS平行四边形AEPG，S△PHC＝S△PCFS平行四边形PHCF，
∵S△ABC＝S△AEP+S平行四边形BHPE+S△PHC﹣S△APC①，S△ACD＝S△AGP+S平行四边形GPFD+S△PFC+S△APC②，
∴②﹣①得：S平行四边形GPFD﹣S平行四边形BHPE+2S△APC＝0，
即2S△APC＝6﹣4＝2，
∴S△APC＝1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线平分平行四边形的面积．
7．【答案】B
【分析】由在 ABCD中，可得∠A+∠B＝180°，又由∠B＝4∠A，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝4∠A，
∴∠A180°＝36°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．
8．【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理可知，对角线相互平分的四边形为平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，D能判定四边形是平行四边形．
故选：D．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定：对角线相互平分的四边形为平行四边形．
9．【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°＝78°，
∴∠BAC＝26°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
10．【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵OA＝OC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB＝CD，OA＝OC，
∴四边形ABCD不是平行四边形．故不能判定这个四边形是平行四边形；
D、∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】①②③④．
【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝3，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°，则③正确；最后求出S AEFD＝6，故④正确；即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，
故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，
故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴，
∴，
故④正确；
∴正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABC≌△DBF是解题的关键．
12．【答案】40．
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AO＝CO，可求∠BAD的度数，由线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，由等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠ACE，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠DAC＝∠ACB，∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∴∠CAE＝∠ACE，
∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE＝∠DAC＝∠EAC，
∴∠BAE＝40°，
故答案为：40；
【点评】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】根据四边形内角和360°求出∠C度数，再借助平行四边形的性质可知∠A＝∠C即可得到结果．
【解答】解：在四边形BCDE中，∠E＝65°，∠EBC＝∠EDC＝90°，
所以∠C＝360°﹣65°﹣90°﹣90°＝115°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝115°．
故答案为115°．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、四边形内角和360°，解决特殊四边形的角度问题，一般借助旋转转化角，进行间接求解．
14．【答案】4．
【分析】由△ABC是等腰三角形，D是BC中点，得BD＝DC，BC⊥AD，又四边形DCAE是平行四边形，故DC∥AE，DC＝AE，即得BD∥AE，BD＝AE，有四边形AEBD是平行四边形，从而可证四边形AEBD是矩形，设AB与DE交于O，由∠DBG：∠GBE＝1：3，∠DBE＝∠DBG+∠GBE＝90°，得∠DBG＝22.5°，∠GBE＝67.5°，根据BG⊥DE，得∠BEG＝90°﹣∠GBE＝22.5°，又四边形BDAE是矩形，可得OB＝OE，OB＝OA，从而∠BOE＝180°﹣2∠BEG＝135°，∠BOG＝45°，已知BG，即得OBBG＝2，AB＝2OB＝4．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D是BC中点，
∴BD＝DC，BC⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∵四边形DCAE是平行四边形，
∴DC∥AE，DC＝AE，
∴BD∥AE，BD＝AE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
又∠BDA＝90°，
∴四边形AEBD是矩形，
设AB与DE交于O，如图：
∵∠DBG：∠GBE＝1：3，∠DBE＝∠DBG+∠GBE＝90°，
∴∠DBG＝90°22.5°，∠GBE＝90°67.5°，
∵BG⊥DE，
∴∠BEG＝90°﹣∠GBE＝22.5°，
∵四边形BDAE是矩形，
∴OB＝OE，OB＝OA，
∴∠BOE＝180°﹣2∠BEG＝135°，
∴∠BOG＝45°，
而BG，
∴OBBG＝2，
∴AB＝2OB＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查矩形的性质及应用，涉及等腰三角形的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质及矩形的性质．
15．【答案】OE＝OF（答案不唯一）．
【分析】由平行四边形的性质得出OD＝OB，由全等三角形的判定可得出结论．
【解答】解：添加OE＝OF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）．
故答案为：OE＝OF（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．【答案】5：3，3．
【分析】由平行四边形的性质得甲、丙两个三角形面积的比是（2+3）：3＝5：3，乙、丙两个三角形面积的比是2：3，进而求出阴影部分的面积即可．
【解答】解：由题意可知，甲、丙两个三角形面积的比是（2+3）：3＝5：3，乙、丙两个三角形面积的比是2：3，
∵平行四边形的面积是15cm2，
∴阴影部分的面积是153（cm2），
故答案为：5：3，3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的对边平行是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】见解析．
【分析】连接CE，先证四边形ABCE是平行四边形，得AE＝BC，AE∥BC，再证CF＝AE，即可得出结论．
【解答】证明：如图，连接CE，
∵D是边AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DE＝BD，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE＝BC，AE∥BC，
∵CF＝BC，
∴CF＝AE，
∵AE∥CF，
∴四边形ACFE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质定理是解题的关键．
18．【答案】40．
【分析】由平行四边形的性质得点O为AC中点，再由线段垂直平分线的性质得AE＝CE，然后求出CD+AD的值，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O为AC中点，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△DCE的周长＝CD+DE+EC＝CD+DE+AE＝CD+AD＝20，
∴平行四边形ABCD周长为2×20＝40．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是线段间的转化，利用整体思想求解平行四边形的周长．
19．【答案】（1）M（2，2），N（4，﹣1）；
（2）平行四边形，；
（3）当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】（1）由平移的性质进行求解即可；
（2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明MF∥AE，ME∥AF，由此即可证明四边形MEAF是平行四边形，即平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线MN的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的面积为；
（3）分OE为边和OE为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）∵将平行四边形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM，
∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N，
∵O（0，0），C（﹣2，3），
∴M（2，2），N（4，﹣1）；
（2）如图所示，设MN与x轴交于E，MD与AB交于F，过点M作MG⊥x轴于G，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，OC∥AB，
由平移的性质可得MN∥OC，MD∥BC，
∴MN∥AB，MD∥OA，即ME∥AF，MF∥AE，
∴四边形MEAF是平行四边形，
∴平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是平行四边形；
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线MN的解析式为，
在中，当y＝0，，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的面积为，
故答案为：平行四边形，；
（3）∵A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝OA＝4，BC∥OA，
∵C（﹣2，3），
∴B（2，3），
同理可得直线OB的解析式为，
设，
当OE为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
，
解得，
∴；
当OE为边时，则OE＝DN，OE∥DN，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或；
综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平移的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
20．【答案】（1）证明见解析；
（2）120．
【分析】（1）证△AOE≌△COD（ASA），得OE＝OD，再由平行四边形的判定定理即可得出结论；
（2）由等腰三角形的在得BO⊥AC，则四边形AECD是菱形，再由勾股定理得OD＝5，则DE＝10，即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OE＝OD，
∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形．
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO⊥AC，
∴四边形AECD是菱形．
在Rt△COD中，CD＝13，OCAC＝12，
∴OD5，
∴DE＝2OD＝10，
∴菱形AECD的面积AC DE24×10＝120．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
21．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证△AEF≌△CED（ASA），得AF＝CD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，证△BCM是等腰直角三角形，得CMBC＝4，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AM，然后由勾股定理得CMAM＝4，求出AM，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠EAF＝∠ECD，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴AF＝CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，
则∠CMA＝∠CMB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∴∠B＝180°﹣135°＝45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴CMBC8＝4，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACM＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴AC＝2AM，
∴CMAM＝4，
∴AM，
∴AC＝2AM，
即AC的长为．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）①4；②证明见解析．
【分析】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN＝4，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN﹣EN＝4，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
23．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，由BF＝DE，利用线段的和差得OE＝OF，再利用平行四边形的判定即可解决问题；
（2）利用勾股定理求出OB＝5，然后根据E，F为BD的三等分点，求出BE，进而可得OE．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝3，
∵AB⊥AC，
∴OB5，
∴BD＝2OB＝10，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF，
∵E，F为BD的三等分点，
∴BE＝DF＝EFBD，
∴OEEF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
24．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．
【分析】（1）证明四边形AECF是平行四边形即可；
（2）用SSS证明全等即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，
又∵AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴∠1＝∠2（平行四边形对角相等）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝FC，AF＝CE，
∴BE＝FD，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关键．
25．【答案】（1）见解析；
（2）∠BCA＝40°．
【分析】（1）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论；
（2）利用三角形内角和定理求出∠EAO，求出∠DAC的度数，再利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝70°，
∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝20°，
∵∠EAD＝3∠EAO，
∴∠EAD＝3×20°＝60°，
∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝60°﹣20°＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC＝40°．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△AEO≌△CFO．
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