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6.3 三角形的中位线
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于F，AB＝6，则DF的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．1.5 D．2.5
4．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE、EF，则四边形ADEF的周长为（　　）
A．6 B．9 C．11 D．13
5．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，下列各值：①线段MN的长；②△PMN的周长；③△PMN的面积；④四边形ABNM的面积；⑤∠APB的大小．其中随点P的移动而不变的是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①③④
6．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝10，BC＝16，则EF的长为（　　）
A．8 B．6 C．3 D．2
7．如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，AF⊥FC．若AC＝5，BC＝8，则DF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2.5 D．3
二．填空题（共6小题）
11．如图，点D、E是AB、AC的中点，若AD＝4，AE＝6，△ABC的周长为30，则DE＝　 　．
12．如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 　 　cm．
13．如图，在△MBN中，已知BM＝6，BN＝8，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，则四边形ABCD的周长是 　 　．
14．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为 　 　．
15．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE延长线上的一点，且∠AFC＝90°，若AC＝12，BC＝20，则DF的长为　 　．
16．若三角形的三边长分别为6，8，10，顺次连接三边中点所围成的三角形的面积为 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．在△ABC中，点D和点E分别是AB、AC上两点，连接ED，EB．点F、G、H分别是DE、BC、BE的中点，连接HG，FG，HF．
（1）猜想∠A与∠FHG的关系，并证明你的猜想．
（2）若∠A＝90°，∠2＝∠1+60°，求的值．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，AB＝6，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，DF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t秒．
（1）判断GH与AD的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
（2）若CD＝8，
①点F由点A向点C匀速运动的过程中，则线段GH所扫过区域的面积为 　 　；
②若△FGH是等腰三角形，直接写出t的值 　 　．
19．如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EF交对角线BD于点G．求证：EG＝FG．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E．
（1）求∠EDC的度数；
（2）若AE＝2，求CE的长．
21．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．
22．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度数．
23．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点． 求证：DE∥BC，且DEBC．
方法一： 证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF． 方法二： 证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF＝GE，连接AF．
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，点F在BC的延长线上，且∠CEF＝∠A．求证：DE＝CF．
25．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在线段DE上，AB＝5，BF＝4，AF＝3，BC＝7，求DF的长度．
6.3 三角形的中位线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】根据D，E分别是AB，AC的中点，得DE是△ABC的中位线，再结合角平分线的定义得出DB＝DF即可求解．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，BD，
∴DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴DF＝DB＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，角平分线的定义，证明DE∥BC是解题的关键．
2．【答案】C
【分析】根据已知条件，首先可知各三角形都相似，然后根据题意可得规律：第n个三角形与原三角形的相似比为1：2n﹣1，又由△ABC周长为1，即可求得第2012个三角形的周长．
【解答】解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，
∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，
∴它们相似，且相似比为1：2，
同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，
即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，
以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为1：22011，
∵△ABC周长为1，
∴第2012个三角形的周长为 1：22011．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质与三角形中位线的性质．此题难度较大，解题的关键是找到规律：第n个三角形与原三角形的相似比为1：2n﹣1．
3．【答案】A
【分析】先延长CD交AB于点F，根据已知条件证明△ADF≌△ADC，再根据全等三角形的性质求出AF，DC＝DF，进而求出BF，证明点D为CF中点，利用三角形中位线定理求出答案即可．
【解答】解：延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AF＝AC＝6cm，DF＝DC，
∴FB＝AB﹣AF＝10﹣6＝4cm，
点D为CF的中点，
∵点E为BC的中点，
∴DE为△CFB的中位线，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理．
4．【答案】C
【分析】根据线段中点的概念分别求出AD、AF，根据三角形中位线定理分别求出DE、EF，计算即可．
【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴ADAB＝2.5，AFAC＝3，DE、EF是△ABC的中位线，
∴EFAB＝2.5，DEAC＝3，
∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝2.5+3+2+2.5+3＝11，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
5．【答案】D
【分析】求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的中位线即可判断①③，根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化，即可判断②⑤，根据平行线间的距离相等判断出④．
【解答】解：∵A、B为定点，
∴AB长为定值，
∵点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MNAB为定值，故①正确；
∵点A，B为定点，定直线l∥AB，
∴P到AB的距离为定值，
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，故③正确；
当P点移动时，PA+PB的长发生变化，
∴△PAB的周长发生变化，故②错误；
∵直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，
∴四边形ABNM的面积不发生变化，故④正确；
当P点移动时，∠APB发生变化，故⑤错误；
∴随点P的移动而不变的是①③④，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理的应用，能熟记三角形的中位线定理是解此题的关键，用了运动观点的思想．
6．【答案】C
【分析】根据三角形的中位线得出DEBC＝8，DE∥BC，求出BD＝5，根据平行线的性质得出∠CBF＝∠DFB，根据角平分线的定义得出∠DBF＝∠CBF，求出∠DBF＝∠DFB，根据等腰三角形的判定得出BD＝DF＝5，再求出EF即可．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，AB＝10，BC＝16，
∴BD＝AD＝5，DEBC＝8，DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中位线性质，能熟记三角形中位线性质是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
7．【答案】B
【分析】由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长是，即可得到规律，从而可得第2023个小等边三角形的周长．
【解答】解：如图所示：
，
∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，
∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，
∴，
∴△DEF的周长，
∴第二个三角形的周长为，
同理可得，第三个三角形的周长是，
……
∴第2023个小等边三角形的周长为．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及应用，熟练掌握三角形中位线定理，得出相应的规律是解题的关键．
8．【答案】B
【分析】利用三角形中位线定理得到DEBC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DFAB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．
【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC＝4．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，
∴DFAB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．
9．【答案】A
【分析】根据勾股定理得到AB5，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DEAB，根据平行线的性质得到∠DFA＝∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF＝∠BAF，求得∠DAF＝∠DFA，于是得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DEAB，
∴∠DFA＝∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝ADAC，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10．【答案】B
【分析】由三角形的中位线定理可得DE＝4，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝2.5，最后由DF＝DE﹣EF进行计算即可得到答案．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵AF⊥FC，E分别是AC的中点，
∴，
∴DF＝DE﹣EF＝4﹣2.5＝1.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解此题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】5．
【分析】根据三角形中位线定理得到DEBC，再根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：∵点D、E是AB、AC的中点，AD＝4，AE＝6，
∴AB＝2AD＝8，AC＝2AE＝12，DEBC，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴BC＝30﹣8﹣12＝10，
∴DEBC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
12．【答案】8．
【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB＝2CD，
∵CD＝4cm，
∴AB＝2CD＝8（cm），
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
13．【答案】14．
【分析】根据三角形中位线定理得到AD＝4，AD∥BN，CD＝3，CD∥BM，得到四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，BM＝6，BN＝8，
∴ADBN8＝4，AD∥BN，CDBM6＝3，CD∥BM，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD的周长＝2×（3+4）＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14．【答案】1．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DEBC＝3，根据角平分线定义和平行线的性质以及等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DEBC＝4，
∴∠DFB＝∠HBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DB＝DFAB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．【答案】16．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EF，根据三角形中位线定理求得DE，则DF＝DE+EF．
【解答】解：在直角△AEC中，EF是斜边AC上的中线，AC＝12，则EFAC＝6．
在△ABC中，DE是中位线，BC＝20，则DEBC＝10．
则DF＝DE+EF＝10+6＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．【答案】6．
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形中位线的性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为6，8，10，
∴62+82＝102，
∴三角形是直角三角形，
∴顺次连接三边中点所围成的三角形的面积6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）∠A+∠EHG＝180°，理由见解析；
（2）．
【分析】（1）直接利用三角形的中位线定理得出FH∥BD，GH∥CE，再借助三角形的外角的性质即可得出∠A+∠EHG＝180°，即可得出结论；
（2）利用三角形的中位线定理得出，由（1）的结论结合已知求得∠HFG＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）猜想，∠A+∠EHG＝180°，理由如下，
∵点F是DE的中点，点H是BE的中点，
∴FH∥BD，
∴∠FHE＝∠ABE，
∵点G是BC的中点，点H是BE的中点，
∴GH∥CE，
∴∠HGB＝∠C，
∵∠EHG＝∠EBG+∠HGB＝∠EBG+∠C，
∴∠FHG＝∠FHE+∠EHG＝∠ABE+∠EBG+∠C＝∠ABC+∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+∠EHG＝180°；
（2）∵点G是BC的中点，点H是BE的中点，
∴，即CE＝2GH，
∵∠A＝90°，∠A+∠EHG＝180°，
∴∠EHG＝90°，
∵FH∥BD，
∴∠2＝∠1+∠HFG，
∵∠2＝∠1+60°，
∴∠HFG＝60°，
∴∠HGF＝30°，
∴FG＝2FH，，
∴．
【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，求得∠HFG＝60°是解题的关键．
18．【答案】（1）GH∥AD，且GHAD，GH＝3；
（2）12；
（3）6或5或．
【分析】（1）GH是△ADF的中位线，再由三角形中位线的性质求解即可；
（2）①线段GH所扫过区域是以AC、AD为边的平行四边形，求出平行四边形的面积即可；
②过点F作FM⊥CD交于M，分别求出GFt，HF，再由根据等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵G，H分别是AF，DF的中点，
∴GH∥AD，且GHAD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝45°，AB＝6，
∴AD＝6，
∴GH＝3；
（2）①线段GH所扫过区域是以AC、AD为边的平行四边形，
∴平行四边形的两边分别为5、3，
当F是AC的中点时，平行四边形的高为CD，
∵CD＝8，
∴CD＝4，
∴S＝4×3＝12，
故答案为：12；
（3）∵G是AF的中点，AF＝t，
∴GFt，
过点F作FM⊥CD交于M，
∵CD＝8，AD＝6，
∴AC＝10，
∴CF＝10﹣t，
∴FM∥AD，
∴，
∴FM（10﹣t），CM（10﹣t），
∴DMt，
∴DF，
∵H是DF的中点，
∴HF，
①当GF＝GH时，3t，
∴t＝6；
②当GF＝HF时，t，
解得t＝5；
③当GH＝HF时，3，
解得t＝0（舍）或t；
综上所述：t的值为6或5或．
【点评】本题考查三角形中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，平行线的性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
19．【答案】见解析．
【分析】利用三角形中位线定理以及平行四边形的判定定理得到四边形OEBF是平行四边形，据此即可得到EG＝FG．
【解答】证明：连接AC，交BD于点O，
连接OE，OF，
∵四边形ABCD平行是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴OE∥BC，OF∥AB，
∴四边形OEBF是平行四边形，
∴EG＝GF．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接AD，根据三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，求得底角∠C的度数，由DE⊥AC即可求得结论；
（2）在直角三角形ADE中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AD的长，在直角三角形ADC中，再利用30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，由AC﹣AE即可求出CE的长．
【解答】解：（1）连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°
∴∠DAC∠BAC＝60°，
∵DE⊥AC于E，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣30°＝60°；
（2）∵∠AED＝90°，∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝30°，
在Rt△ADE中，AE＝1，∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝4，
在Rt△ADC中，AD＝4，∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝8，
则CE＝AC﹣AE＝8﹣2＝6．
【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，以及三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质是解题的关键．
21．【答案】140°．
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝12，根据平行线的性质求出∠ADB，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，EF＝6，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，
∴∠ADB＝∠AFE＝50°，
在△BDC中，BD2+CD2＝122+92＝225，BC2＝225，
则BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°+50°＝140°．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
22．【答案】120°．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，进而可得出结论．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PFBC，PEAD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∴△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝30°，
∴∠PEF＝∠PFE＝30°，
∴∠FPE＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
23．【答案】选择方法一，证明见解析．
【分析】证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得到CF＝AD，∠DAE＝∠FCE，再证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
【解答】解：选择方法一，
证明如下：在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴CF＝AD，∠DAE＝∠FCE，
∴CF∥AB，
∵AD＝DB，
∴CF＝DB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∵DEDF，
∴DEBC，DE∥BC；
方法二，证明△AEF≌△CEG，
得到四边形ABGF为平行四边形，仿照方法一证明．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】根据等角的余角相等得∠B＝∠F，根据三角形中位线定理得：DE∥BC，得∠ADE＝∠F和AE＝CE，证明△ADE≌△EFC，根据对应边相等得出结论．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠CEF+∠F＝90°，
∵∠CEF＝∠A，
∴∠B＝∠F，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，AE＝CE，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠F，
∴△ADE≌△EFC，
∴DE＝CF．
【点评】本题是考查了三角形的中位线定理和三角形全等的性质，明确三角形的中位线定义，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；三角形的中位线定理得出的结论为证明两三角形全等创造了条件．
25．【答案】1．
【分析】由三角形中位线定理得到DE＝3.5，再证明△ABF是直角三角形，即∠AFB＝90°，即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EF＝2.5，则DF＝DE﹣EF＝1．
【解答】解：∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵AB＝5，BF＝4，AF＝3，
∴BF2+AF2＝32+42＝25＝52＝AB2，
∴△ABF是直角三角形，即∠AFB＝90°，
∴，
∴DF＝DE﹣EF＝1．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，证明△ABF是直角三角形是解题的关键．
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