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6.4 多边形的内角和与外角和
一．选择题（共10小题）
1．在学习多边形内角和的课上，老师让同学们计算一个多边形的内角和，小凯非常积极地举手回答说：“我计算出这个多边形的内角和为2024°“．老师说：“小凯同学回答问题非常积极，值得大家好好学习，但你的计算不对呀，你可能少加了一个角!”请问小凯同学少加的这个角的度数是（　　）
A．24° B．44° C．136° D．144°
2．在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线1剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（　　）
A．这个多边形是一个五边形
B．从这个多边形的顶点A出发，最多可以画4条对角线
C．从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成4个三角形
D．以上说法都不正确
3．图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（　　）
A．135 B．120 C．112.5 D．112
4．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（　　）
A．17 B．16
C．15 D．16或15或17
5．一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总数是（　　）
A．88 B．44 C．45 D．50
6．下列多边形中，内角和等于外角和的是（　　）
A． B．
C． D．
7．要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．一个多边形每个外角都等于36°，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条（　　）
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
9．如图，∠1、∠2、∠3，∠4是六边形ABCDEF的四个外角，延长FA．CB交于点H．若∠1+∠2+∠3+∠4＝224°，则∠AHB的度数为（　　）
A．24° B．34° C．44° D．54°
10．小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（　　）
A．30° B．36° C．60° D．72°
二．填空题（共6小题）
11．如图，多边形ABCDEF和多边形ABGH分别为正六边形和正方形，连接CG，则∠CBG＝　 　°．
12．过一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了4个三角形，则这个多边形共有 　 　条对角线．
13．经过多边形的任意一个顶点的对角线将多边形分成了五个三角形，则多边形有　 　条边．
14．六边形的内角和的度数是 　 　．
15．已知一个n边形的内角和比其外角和的3倍少180°，则n＝　 　．
16．一个多边形从一个顶点出发，可作4条对角线，则这个多边形是 　 　边形．
三．解答题（共8小题）
17．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
18．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ① 　 　
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　 　
（1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①　 　；②　 　；
（2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
（3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．
19．如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去阴影部分，且∠A+∠E+∠F+∠ABG+∠EDG＝485°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
20．阅读材料：
我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题，如图，四边形ABCD是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线AC，则四边形内角和就转化为△ACB和△ACD内角和的和为360°．
解决问题：
（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BCD（∠BCD≤180°与∠B，∠D，∠BAD三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是：∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接AC并延长AC到点E．
联系拓广：
（2）如图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的（即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的）．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 　 　°；
②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 　 　°．
21．已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的3倍．
（1）求这个正多边形的边数．
（2）若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝50°，求∠C的大小．能否求得∠D的大小，为什么？
23．（1）一个多边形的内角和是1260°，求这个多边形共有多少条对角线．
（2）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多36°，求这个多边形的边数．
24．一个正多边形的一个内角比一个外角的3倍还多20°，求这个正多边形的边数及内角和．
6.4 多边形的内角和与外角和
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】利用多边形内角和公式，列出方程，解出方程，得到多边形的边数．根据多边形的边数，计算少加的这个角的度数．
【解答】解：设多边形的边数为n，则内角和为：（n 2）×180°，
由题可知，小凯计算出的内角和为2024°，则：
（n 2）×180°＝2024°，
解得：n 2≈11.24，
所以n≈13.24，
由于多边形的边数不能是分数，因此这个多边形的边是13或14，
即：（13﹣2）×180°＝1980°，（14﹣2）×180°＝2160°，
同时，小凯在少算一个角的情况下得出内角和是2024°，
因此正确的内角和应该大于2024°，所以边数为14，
则：2160°﹣2024°＝136°，
应选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和，首先要明确多边形内角和的公式，然后根据题干条件列出方程，最后解出方程即可．
2．【答案】C
【分析】结合图形，根据多边形的对角线性质逐项判断即可．
【解答】解：由图形可得减掉一个角后所得的多边形为六边形，则A不符合题意；
从这个多边形的顶点A出发，最多可以画6﹣3＝3（条）对角线，则B不符合题意；
从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成的三角形个数为6﹣2＝4（个），则C符合题意；
综上，可得D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查多边形的对角线，熟练掌握其性质是解题的关键．
3．【答案】C
【分析】多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数），由此即可计算．
【解答】解：根据题意得：x+x+9+126+120+2x﹣120+135＝（6﹣2）×180，
∴x＝112.5，
故选：C．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理．
4．【答案】D
【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．
【解答】解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据（n﹣2） 180°＝2520°解得：n＝16，
则多边形的边数是15，16，17．
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理的计算方法．
5．【答案】B
【分析】根据一个n边形从一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据n边形对角线的总数为即可求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，
∴n﹣3＝8，
解得：n＝11，
∴总的对角线的条数为：（条）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题．掌握n边形从一个顶点出发有（n﹣3）条对角线和其对角线总数为是解题关键．
6．【答案】B
【分析】任意多边形的外角和都等于360°，所以当内角和等于外角和时，内角和等于360°，利用公式求出多边形内角和即可．
【解答】解：A．三角形的内角和等于180°，任意多边形的外角和等于360°，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意．
B．四边形的内角和等于360°，任意多边形的外角和等于360°，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意．
C．五边形的内角和等于540°，任意多边形的外角和等于360°，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意．
D．六边形的内角和等于720°，任意多边形的外角和等于360°，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和、外角和，熟练掌握任意多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°是解决本题的关键．
7．【答案】B
【分析】设多边形的边数为n，可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数为n﹣1．
【解答】解：设多边形的边数为n，
则：n﹣1＝2022，
解得n＝2023，
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的对角线，熟练掌握多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数＝多边形的边数﹣1是解题的关键．
8．【答案】A
【分析】若要确定从这个多边形的某个顶点画对角线的条数，需确定该多边形的边数．由一个多边形每个外角都等于36°，得这个多边形的边数为10，从而解决此题．
【解答】解：∵此多边形每个外角都等于36°，
∴该多边形的边数为10．
∴从这个多边形的某个顶点能画的对角线的条数为10﹣3＝7（条）．
故选：A．
【点评】本题主要考查多边形的外角和以及多边形的对角线，熟练掌握多边形的外角和以及多边形的一个顶点处能画出的对角线的条数是解决本题的关键．
9．【答案】C
【分析】先利用多边形的外角和求出∠HAB+∠ABH的度数，再利用三角形的内角和定理得结论．
【解答】解：∵多边形的外角和恒为360°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠HAB+∠ABH＝360°，
∴∠HAB+∠ABH＝136°．
∵∠AHB+∠HAB+∠ABH＝360°，
∴∠AHB＝44°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是180°”、“多边形的外角和是360°”等知识点是解决本题的关键．
10．【答案】A
【分析】小聪第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．计算这个正多边形的边数和外角即可．
【解答】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴多边形的边数为：72÷6＝12．
根据多边形的外角和为360°，
∴他每次转过的角度θ＝360°÷12＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查多边形的外角和．解题的关键时判断出小丽第一次返回点A时，所经过的路径构成一个正多边形．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】150．
【分析】根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角∠ABC的度数，根据∠ABC+∠ABG+∠CBG＝360°即可得出答案．
【解答】解：正六边形的内角∠ABC＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
正方形的内角∠ABG＝90°，
∵∠ABC+∠ABG+∠CBG＝360°，
∴∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°．
故答案为：150．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握周角等于360°是解题的关键．
12．【答案】9．
【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n﹣2）个三角形，可得多边形的边数；再根据对角线的概念，知一个多边形从一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，求出n的值，再根据多边形对角线的总数为，即可解答．
【解答】解：由题意得4+2＝6，
故过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形的多边形为六边形，
9（条），
即这个多边形共有9条对角线．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查多边形的对角线，是需要熟记的内容．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】根据从同一个顶点引对角线将多边形分成（n﹣2）个三角形解答．
【解答】解：∵经过多边形的任意一个顶点的对角线将多边形分成了五个三角形，
∴多边形的边数为5+2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记多边形的边数与分成的三角形的个数的公式是解题的关键．
14．【答案】720°．
【分析】根据多边形的内角和公式可得答案．
【解答】解：六边形的内角和的度数是（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
15．【答案】7．
【分析】根据n边形的内角和（n﹣2）180°，外角和为360°，结合已知条件得（n﹣2）180°＝3×360°﹣180°，由此解出n即可．
【解答】解：∵n边形的内角和（n﹣2）180°，外角和为360°，
又∵n边形的内角和比其外角和的3倍少180°，
∴（n﹣2）180°＝3×360°﹣180°，
解得：n＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和与外角和，理解n边形的内角和（n﹣2）180°，外角和为360°是解决问题的关键．
16．【答案】7．
【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解．
【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引4条对角线，设多边形边数为n，
∴n﹣3＝4，
解得n＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】由三角形外角性质得，∠AGH＝∠B+∠C，∠FHG＝∠D+∠E，从而求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和，变为∠A+∠F+∠AGH+∠FHG的度数和，因∠A，∠F，∠AGH，∠FHG是四边形AGHF的四个内角，利用多边形的内角和定理：多边形的内角和＝180°（n﹣2）即可求出它们的和．
【解答】解：∵由三角形外角性质得，∠AGH＝∠B+∠C，∠FHG＝∠D+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠F+∠AGH+∠FHG＝180°×（4﹣2）＝360°．
故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°．
【点评】本题考查多边形的内角和定理，三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论；
（2）依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量；
（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点，进而得到每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话，据此进行判断．
【解答】解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3，多边形对角线的总条数为n（n﹣3）；
故答案为：n﹣3，n（n﹣3）；
（2）∵3×6＝18，
∴数学社团的同学们一共将拨打电话为18×（18﹣3）＝135（个）；
（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；
每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话；
两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n（n﹣3）；
数学社团有18名同学，当n＝18时，18×（18﹣3）＝135．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）（n≥3，且n为整数）．
19．【答案】（1）720°；
（2）115°．
【分析】（1）根据六边形的内角和的计算方法进行计算即可；
（2）利用四边形内角和是360°，以及周角的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）六边形ABCDEF的内角和为（6﹣2）×180°＝720°；
（2）如图，连接FG，四边形ABGF，四边形DEFG的内角和都是360°，
即∠A+∠ABG+∠BGF+AFG＝360°，∠FGD+∠GDE+∠DEF+∠EFG＝360°，
∴∠A+∠ABG+∠BGF+AFG+∠FGD+∠GDE+∠DEF+∠EFG＝360°×2＝720°，
又∵∠A+∠E+∠F+∠ABG+∠EDG＝485°．
∴∠BGF+∠DGF＝720°﹣485°＝235°，
∴∠BGD＝360°﹣235°＝115°．
【点评】本题考查多边形的内角和外角，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．
20．【答案】（1）180；（2）360．
【分析】（1）先证明∠BDE＝∠B+∠BAD，∠CDE＝∠C+∠CAD，相加即可；
（2）①利用（1）结论，得到∠BFE＝∠CFD＝∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解；
②利用（1）的结论，得到∠CHF＝∠DHE＝∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可．
【解答】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E．
则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角，
∴∠BDE＝∠B+∠BAD，
∠CDE＝∠C+∠CAD．
∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC．
（2）①如图2，由（1）得，∠CFD＝∠A+∠C+∠D，
∴∠BFE＝∠CFD＝∠A+∠C+∠D，
∵∠BFE+∠B+∠E＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180．
②如图3，
由（1）得，∠DHE＝∠A+∠D+∠E，
∴∠CHF＝∠DHE＝∠A+∠D+∠E，
∵∠F+∠B+∠C+∠CHF＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故答案为：360．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角公式．解题关键掌握多边形的内角和外角关系．
21．【答案】（1）8；
（2）1260° 或1080° 或900°．
【分析】（1）设正多边形的一个外角的度数为 x° 则与其相邻的内角等于 3x°．然后列得x+3x＝180，求得x的值，再利用多边形的外角和列式计算即可；
（2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：（1）设正多边形的一个外角的度数为 x°，则与其相邻的内角等于 3x°，
则x+3x＝180，
解得：x＝45，
则360÷45＝8，
即这个多边形的边数为8；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
当多边形为九边形时，
内角和为（9﹣2）×180°＝1260°；
②当多边形为八边形时，
内角和为（8﹣2）×180°＝1080°；
③当多边形为七边形时，
内角和为（7﹣2）×180°＝900°；
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为1260° 或1080° 或900°．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，（2）中进行正确的分类讨论是解题的关键．
22．【答案】130°；
不能求得∠D的度数，因为无法找到∠D与∠B或∠C的关系．
【分析】由AB∥CD，∠B＝50°，根据平行线的性质，即可求得∠C的度数；不能求得∠D的度数，因为无法找到∠D与∠B或∠C 的关系．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣50°＝130°，
不能求得∠D的度数，因为无法找到∠D与∠B或∠C的关系．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
23．【答案】（1）这个多边形共有27条对角线；
（2）10．
【分析】（1）根据多边形的内角和的计算方法，求出边数，再根据对角线的计算方法，求解即可．
（2）根据多边形的外角和为360°，内角和外角互补，进行求解即可．
【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n，
由题意可得：（n﹣2）×180°＝1260°，
解得：n＝9；
，
所以这个多边形共有27条对角线．
（2）设这个正多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于（3α+36）°，
由题意，得（3α+36°）+α＝180°，
解得α＝36°．
即正多边形的每个外角为36°．
又∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，多边形的对角线问题，掌握多边形的内角和的计算公式，外角和为360°，对角线的条数的计算公式，是解题的关键．
24．【答案】9，1260°．
【分析】设这个正多边形的外角为x，则内角为3x+20，根据内角和外角互补可得x+3x+20°＝180°，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数，根据内角和公式：（n﹣2）×180°计算内角和即可．
【解答】解：设这个正多边形的一个外角的度数为 x，
则内角的度数为（3x+20）；
∴x+3x+20°＝180°，
∴x＝40°，
∴这个正多边形的边数为360°÷40°＝9，
∴这个正多边形的内角和为 9×（9﹣2）×180°＝1260°，
答：这个正多边形的边数为9，内角和为 1260°．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
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