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第1章 三角形的证明
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABC的面积为18cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　）
A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2
2．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，A，B在两个格点上，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的C点的个数为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．在下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件是（　　）
A．∠A+∠B＝2∠C B．AB：AC：BC＝1：1：2
C．（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2 D．∠A﹣∠B＝90°
4．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知等腰△ABC，AD为BC边上的高，且，则等腰△ABC的底角的度数为（　　）
A．45° B．75°或60°
C．45°或75° D．以上都不对
6．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．斜边和一直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一锐角和斜边对应相等
D．两条直角边对应相等
7．如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E．
下列叙述正确的是（　　）
A．BC平分∠ABD B．AB＝BD
C．AE＝BD D．BE＝DE
8．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E是AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，且CE＝CD，若EF＝2，则DF的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
9．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知AB＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE＝3，△ABC的周长为19，则△ABD的周长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
二．填空题（共6小题）
11．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 　 　．
12．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BD⊥CD于点D，BD＝24，CD＝7，在BD右侧的平面内有一点F，△BDF的面积是96，当FA+FC的最小值是30时，那么AB＝　 　．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AE为高线，若BE＝1，AB＝4，则BC＝　 　．
14．如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC＝9，AE：EC＝2：1，则点B到点E的距离是　 　．
15．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 　 　．
16．在平面直角坐标系xOy中，点E（4t+8，﹣3t﹣3）是该平面内任意一点，连接OE，则OE的最小值是 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．综合与实践
“如果一条直线将一个三角形的周长分成相等的两部分，那么这条直线就叫做这个三角形的等周线”．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，点D，E分别在边AC和AB上，且直线DE是△ABC的等周线．
（1）△ABC的周长为 　 　．
（2）若设CD＝x（0≤x≤6），求△ADE的面积S与x的函数关系式．
（3）在（2）中，△ADE的面积S是否有最大值？若有，求出此时DE的长；若没有，请说明理由．
18．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．
（Ⅰ）求∠CAE的度数；
（Ⅱ）求∠FDC的度数．
19．在平面直角坐标系xOy中，A（m，0），B（0，m），其中m＞0．
（1）若点C（4，3）在第一象限，AB⊥AC，求m的值；
（2）点D为x轴正半轴上一个动点，OD＝t，点E的坐标为（n，t），n＞t＞m，若BD＝ED，则在点D运动的过程中，∠EAD的大小是否发生变化？若不变，请求出∠EAD的度数；若变化，请说明∠EAD的大小变化过程．
20．已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形．
21．如图，CD是线段AB的垂直平分线，则∠CAD＝∠CBD．请说明理由．
22．如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
23．如图，某公园有一块四边形空地ABCD，公园管理处计划在四边形ABCD区域内种植草坪，AC处修一条小路．已知AB＝10米，BC＝CD＝20米，AD＝30米，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
24．如图，在△ABC，AB＝AC，点D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E．求证：∠BAC＝2∠BDE．
25．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．
特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　 　；
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数．
第1章 三角形的证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出△PBC的面积等于△ABC面积的一半，代入计算即可．
【解答】解：如图，延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴18＝9（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
2．【答案】B
【分析】AB可以是底边，也可以是腰，因此即可解决问题．
【解答】解：如图，△ABC成为等腰三角形，则满足条件的C点的个数为8个．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定方法．
3．【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形的概念判断即可．
【解答】解：A．∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
∴∠A+∠B＝120°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，故A不符合题意；
B．∵AB：AC：BC＝1：1：2，
∴设AB＝AC＝x，则BC＝2x，
∵AB2+AC2＝x2+x2＝2x2BC2＝4x2，
∴AB2+AC2≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形，故B不符合题意；
C．∵（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2，
∴AC2﹣BC2＝AB2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，故C符合题意；
D．∵∠A﹣∠B＝90°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的判定，掌握直角三角形的概念、勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．【答案】D
【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．
第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4b；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．
第三个图形：梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．
故能够验证勾股定理的有3个．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．
5．【答案】D
【分析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB＝AC时，根据已知条件得出AD＝BD＝CD，从而得出底角的度数；当AB＝BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB＝BC求出底角的度数，当AB＝BC时，求出底角．
【解答】解：①当AB＝AC时，如图，
则∠B＝∠C；
∵AD为BC边上的高，
∴BD＝CD，
∵，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠DAB＝∠B，∠C＝∠DAC，
∴∠DAB＝∠B＝∠C＝∠DAC，
而这四个角和为180°，
∴底角为∠B＝∠C＝45°；
②当AB＝BC时，如图，
∵，
∴，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝75°，
∴底角为75°；
③当AB＝BC时，如图，
∵，
∴，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°，
∴底角为15°；
故选：D．
【点评】此题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
6．【答案】B
【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【解答】解：A、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意；
B、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．【答案】D
【分析】连接AD，CD，先证明△ABC≌△ADC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE＝DE．
【解答】解：连接AD，CD，
由题意得，CB＝CD，AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AE是∠DAB的角平分线，
又∵AB＝AD，
∴BE＝DE，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题关键．
8．【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质，CE＝CD的条件，可得的△BEF是含30°角的直角三角形，由此可求出BE，DE的长，根据DF＝DE+EF即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，DE⊥AC，DE平分∠ABC，
∴，
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∵∠ACB＝60°，且是△CDE的外角，
∴∠CED+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝∠CDE＝30°，
∴∠AEF＝∠CED＝30°，
在△AEF中，∠A＝60°，且∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即EF⊥AB，
∴△BEF中，∠BFE＝90°，
在Rt△BEF中，∠ABE＝30°，EF＝2，
∴BE＝2EF＝2×2＝4，
在△BDE中，∠EBD＝∠D＝30°，
∴DE＝BE＝4，
∴DF＝DE+EF＝4+2＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键．
9．【答案】D
【分析】易知AB＝AD＝3，DE＝EF＝AC，BC＝AE，设AC＝a，由含30度角的直角三角形性质得AE，于是a+3，得到AC，再利用同底等高的三角形面积关系得到S△CEF，进而阴影部分的面积为4S△CEF．
【解答】解：如图，
由题意得，AB＝AD＝3，DE＝EF＝AC，BC＝AE，
设AC＝a，
在Rt△ACE中，∠CEA＝30°，
∴AEBC，即a+3，
解得：a，
∴AC，
∵S△CEF，
∴阴影部分的面积为4S△CEF．
故选：D．
【点评】本题主要考查含30度角的直角三角形性质、全等三角形的性质、三角形的面积，解题关键是利用全等三角形的对应边相等构建方程，求出AC的长．
10．【答案】A
【分析】根据垂直平分线的性质，得AD＝CD，AE＝CE＝3；根据△ABC的周长为19，则AB+AC+BC＝19，可得到AB+BC＝13，即可得到△ABD的周长．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝3，AD＝DC，
∴AC＝6，
∵△ABC的周长为19，
∴AB+AC+BC＝19，
∴AB+BC＝13，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
故选：A．
【点评】本题考查线段的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的周长公式．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4＝18﹣6，
∴S正方形B＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
12．【答案】9．
【分析】由三角形面积公式可求HF＝8，则点F在平行于BD，且到BD的距离为8的直线MN上运动，由轴对称的性质可求CC'＝2，由勾股定理可求AE的长，即可求解．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥DB于H，
∵△BDF的面积是96，BD＝24，
∴DB HF＝96，
∴24HF＝96，
∴HF＝8，
∴点F在平行于BD，且到BD的距离为8的直线MN上运动，
如图，作点C关于MN的对称点C'，连接AC'，则FA+FC的最小值为AC'的长，过点C'作C'E⊥直线AE于E，
∴CC'＝2×（8﹣7）＝2，
∴DC'＝9，
∵C'D⊥BD，DB⊥BE，C'E⊥BE，
∴四边形DBEC'是矩形，
∴C'E＝DB＝24，BE＝DC'＝9，
∴AE18，
∴AB＝AE﹣BE＝18﹣9＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．【答案】6．
【分析】在CE上截取EF＝BE＝1，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AF＝4，根据三角形外角的性质得到∠C＝∠CAF，求得CF＝AF＝4，于是得到结论．
【解答】解：在CE上截取EF＝BE＝1，
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF＝4，
∴∠B＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠C+∠CAF，
∴∠B＝∠C+∠CAF，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠C＝∠CAF，
∴CF＝AF＝4，
∴BC＝BE+EF+CF＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】连接BE．根据垂直平分线的性质可得EA＝EB，求出AE即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BE．
∵AC＝9，AE：EC＝2：1，
∴AE9＝6，EC＝93，
∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP＝∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO＝∠NOP，得到∠COP＝∠CPO，因此OC＝PC，由PC＝5﹣2＝3（cm），即可得到OC的长度是3cm．
【解答】解：过P作PN⊥OB于N，
由题意得：PM＝PN，
∵PM⊥OA，
∴PO平分∠AOB，
∴∠COP＝∠NOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO＝∠NOP，
∴∠COP＝∠CPO，
∴OC＝PC，
∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴PC＝5﹣2＝3（cm），
∴OC的长度是3cm．
故答案为：3cm．
【点评】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，关键是角平分线性质定理的逆定理证明PO平分∠AOB．
16．【答案】．
【分析】根据点E（4t+8，﹣3t﹣3），表示出OE，再利用求出OE2最小值，即可解题．
【解答】解：∵点E（4t+8，﹣3t﹣3），
∴OE2＝（4t+8）2+（﹣3t﹣3）2，
整理得OE2＝25t2+82t+73，
∵，
∴，
∴，
∴OE2有最小值为，
即OE的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查利用勾股定理求两点间得距离，以及平方式非负，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）24．
（2）Sx2（0≤x≤6）．
（3）．
【分析】（1）根据勾股定理求得BC，即可求解．
（2）根据等周线的定义，分别表示AD，AE，进而根据面积公式求解．
（3）根据二次函数的性质，得出当x＝0时，S取得最大值，此时C，D重合，进而求解．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10
∴BC8，
∴△ABC的周长为6+8+10＝24．
故答案为：24．
（2）设CD＝x（0≤x≤6）．
∵直线DE是△ABC的等周线，△ABC的周长为24．
∴AD+DE＝12．
∴AD＝AC﹣DC＝6﹣x，
AE＝12﹣AD＝6+x．
如图所示，过点D作DF⊥AE，则DF＝ADsinA．
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10．
∴sinA，cosA．
∴SAD×AE×sinA（6﹣x）（6+x）（x2﹣36）x2．
即Sx2（0≤x≤6）．
（3）∵Sx2（0≤x≤6）．
∴a0，当0≤x≤6时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，S取得最大值，此时C，D重合．
则AC+AE＝BC+BE，
即6+AE＝8+BE＝12．
∴AE＝6，BE＝4，
∴AE＝AC．
如图所示，过点E作EG⊥AC于点G，
∴GE∥CB．
∴，
即，
∴AG．
∴GC＝6．
在Rt△AGE中，
GE．
∴DE．
【点评】本题考查了勾股定理，解题关键在于熟练掌握勾股定理，了解等周线的定义．
18．【答案】（Ⅰ）35°；
（Ⅱ）25°．
【分析】（Ⅰ）根据等边三角形的性质可得∠BAE＝60°，由于∠BAD＝15°，求得∠DAC的度数，进而求出∠CAE的度数；
（Ⅱ）∠CAE即∠BAE与∠BAC之差，∠FDC可用∠ADC减去∠ADE得到．
【解答】解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°，
∵∠DAE＝80°，
∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；
（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE，
∴∠ADE（180°﹣80°）＝50°，
∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°，
又∵∠ADE＝50°
∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理；利用三角形内角和求角度是解题的关键．
19．【答案】（1）1；
（2）在点D运动的过程中，∠EAD的大小不发生变化，始终是45°．
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于H，依题意得△OAB为等腰直角三角形，则∠OAB＝45°，进而得△ACH为等腰直角三角形，则AH＝CH，然后根据点A（m，0），B（0，m），C（4，3），得OH＝4，CH＝3，AH＝4﹣m，由此得4﹣m＝3，由此解出m即可；
（2）依题意得点D（t，0），且点D在点A的右侧，点E在第一象限，过点E作EM⊥x轴于M，则OA＝OM＝m，OD＝t，AD＝t﹣m，证Rt△ODB和△MED全等得OB＝MD＝m，进而得AM＝AD+MD＝EM＝t，从而得△AME为等腰直角三角形，则∠EAD＝45°，据此可得出结论．
【解答】解：（1）过点C作CH⊥x轴于H，如图1所示：
∵A（m，0），B（0，m），其中m＞0．
∴OA＝OM＝m，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵AB⊥AC，
∴∠CAH＝45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH＝CH，
∵点C（4，3），
∴OH＝4，CH＝3，
∴AH＝4﹣m，
∴4﹣m＝3，
解得：m＝1；
（2）∵点D为x轴正半轴上一个动点，OD＝t，点E（n，t），n＞t＞m，
∴点D（t，0），且点D在点A的右侧，点E在第一象限，
过点E作EM⊥x轴于M，如图2所示：
∵OA＝OM＝m，OD＝t，
∴AD＝OD﹣OA＝t﹣m，
∵点E（n，t），
∴EM＝t，
∴OD＝EM，
在Rt△ODB和△MED中，
，
∴Rt△ODB≌△MED（HL），
∴OB＝MD＝m，
∴AM＝AD+MD＝t﹣m+m＝t，
∴AM＝EM＝t，
∴△AME为等腰直角三角形，
∴∠EAD＝45°．
∴在点D运动的过程中，∠EAD的大小不发生变化，始终是45°．
【点评】此题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握点的坐标，理解等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
20．【答案】见解析．
【分析】由D是AB中点可得AD＝BD，再证明Rt△ACD≌Rt△BCD可得∠A＝∠B，然后根据等角对等边可得AC＝BC即可证明结论．
【解答】证明：∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，证得Rt△ACD≌Rt△BCD是解答本题的关键．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AC＝BC，AD＝BD，再根据等边对等角可得∠CAB＝∠CBA，∠DAB＝∠DBA，然后求解即可．
【解答】解：∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，AD＝BD，
∴∠CAB＝∠CBA，∠DAB＝∠DBA，
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠CBA﹣∠DBA，
即∠CAD＝∠CBD．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．
22．【答案】见解析．
【分析】由AB∥CD可得∠DFE＝∠1＝60°，再利用三角形外角的性质得出∠CEF的度数，再根据等腰三角形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠1＝60°，
∵∠DFE＝∠2+∠E，∠DFE＝60°，∠2＝30°，
∴∠2＝∠E，
∴CF＝EF，
∴△FCE是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识，证明∠2＝∠CEF是解题的关键．
23．【答案】四边形ABCD的面积为（100+100）平方米．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝10米，BC＝20米，
∴AC10（米），
∵CD＝20米，AD＝30米，
∴AC2+CD2＝（10）2+202＝900，AD2＝302＝900，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
AB BCAC CD
10×201020
＝（100+100）平方米，
∴四边形ABCD的面积为（100+100）平方米．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
24．【答案】见解析．
【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理证明∠A+2∠B＝180°，再证明∠B+∠BDE＝90°，即2∠B+2∠BDE＝180°，据此可证明∠BAC＝2∠BDE．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠C+∠A＝180°，
∴∠A+2∠B＝180°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BDE＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴2∠B+2∠BDE＝180°，
∴∠BAC＝2∠BDE．
【点评】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题关键．
25．【答案】（1）60°；
（2）见解答；
（3）α＝30°或80°，60°．
【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果；
（2）可证明△BAM≌△EAN，从而得出结论；
（3）①分成DM＝MO，DM＝OD及OM＝OD，根据∠D＝40°，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果；
②根据旋转的性质进行计算即可．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD∠BAC，
∴∠BAD60，
∴α＝60°，
故答案为：60°；
（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN，
即：∠BAM＝∠EAN，
在△BAM和△EAN中，
，
∴△BAM≌△EAN（ASA），
∴AM＝AN；
（3）解：①如图1，
当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°，
∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO，
∴∠BAD＝∠MOD＝30°，
∴α＝30°，
如图2，
当DM＝DO时，∠MDO＝∠DOM75°，
∴α＝∠DOM＝75°，
如图3，
当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°，
∴α＝∠DOM＝110°，
此时AD和AC重合，这种情形不存在．
综上所述：α＝30°或80°．
②如下图：
当∠EDP＝90°时，
∵∠ABC＝ADE＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵0°＜α＜100°，
∴旋转角α为60°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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