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第3章 图形的平移与旋转
一．选择题（共8小题）
1．将点A（﹣3，﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点A′，则点A′在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，当时，AC的长为（　　）
A． B．10 C． D．
3．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得△COD，若∠AOB＝45°，∠AOD＝110°，则∠BOC的度数是（　　）
A．20° B．25° C．65° D．15°
5．已知点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称，则mn的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
6．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△A'B'C，点A的对应点A'恰好落在AB边上，若∠CAB＝65°，则旋转角α的度数是（　　）
A．65° B．60° C．50° D．45°
7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝64°，将△ABC绕顶点A顺时针旋转，得到△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AE∥BC，则旋转角的大小是（　　）
A．51° B．52° C．53° D．54°
二．填空题（共6小题）
9．如图，将周长为10cm的△ABC沿BC方向平移得到△DEF，连接AD，四边形ABFD的周长为15cm，则平移的距离为 　 　cm．
10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转，使得C点对应的C′恰在CB延长线上，点B的对应点为B′，连接CB′，若AB＝2，BC＝1，则CB′＝　 　．
11．点（﹣5，4）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
12．如图，在△ABC中，∠CAB＝64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 　 　．
13．在直角坐标系中，点A（﹣7，1）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AD＝CD，则∠C＝　 　°．
三．解答题（共9小题）
15．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′．
（1）画出旋转后的图形△OA′B′；
（2）在（1）的条件下，求线段OB在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
16．如图，把△ABC的A（4，3）点平移到A1（﹣2，3）点，（1）画出△A1B1C1；
（2）写出另外两个点B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上．
（1）求证：AE平分∠CED；
（2）连接BD，求证：∠DBC＝90°．
18．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上．
（1）作△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB2，求点B所走的路径的长度（结果保留π）．
19．如图，在△ABC，BA＝BC，∠ABC＝50°，将△ABC点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）求∠AFC度数．
20．如图，在直角坐标系中，已知点A（3，0），B（1，﹣3），C（0，﹣1），将△ABC绕点O旋转得到△DEF，点A，B的对应点分别是点D，E．
（1）在图1中，作出△DEF，使点D落在x轴上．
（2）在图2中，作出△DEF，使点E的横坐标是纵坐标的3倍．
21．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（4，2）．
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，使点C的对应点为C2（﹣2，﹣4）；
（3）写出直线l的函数解析式为 　 　．
22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度α得到△DEB，点A，C的对应点分别是D，E，连接AD．
（1）如图1，当点E恰好在AB上时，求∠ADE的大小；
（2）如图2，若α＝60°，点F是AB的中点，判断四边形CEDF的形状，并证明你的结论．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到A′BC′，旋转角为α（0°＜α＜360°），过点A作AE∥C′A′交直线CC′于点E，交AA′于点D．
（1）求证：ED＝C′D；
（2）若∠ABC＝60°，在△ABC绕点B旋转过程中是否存在某个时刻，使得EC′＝AA′，如果存在，请直接写出此时α的度数；如果不存在，说明理由．
第3章 图形的平移与旋转
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】B
【分析】先根据平移的性质得出A′的坐标，再由各象限内点的坐标特点即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣3，﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点A′（﹣3﹣2，﹣1+4），即A′（﹣5，3），
∵﹣5＜0，3＞0，
∴点A′在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，根据平移的性质得出A′的坐标是解题的关键．
2．【答案】C
【分析】如图，连接DB，延长DC交AB于F，首先利用旋转的性质证明△DAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质求出DF，接着利用已知条件求出CF，最后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接DB，延长DC交AB于F，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝12，
∴△DAB为等边三角形，
∴DA＝DB，
∵AC＝BC，
∴CD为AB的中垂线，
∴AFAB＝6，
在Rt△ADF中，DF6，
而CD＝2，
∴CF＝DF﹣CD＝4，
在Rt△ACF中，AC2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练利用旋转的性质和等边三角形的性质．
3．【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．【答案】A
【分析】根据旋转的性质和角的和差即可得到结论．
【解答】解：将△AOB绕着点O顺时针旋转，得△COD，∠AOB＝45°，∠AOD＝110°，
∴∠COD＝∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝110°﹣45°＝65°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝20°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5．【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），据此求解即可．
【解答】解：∵点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n） 关于原点对称，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系和解二元一次方程组，熟知关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数是解题的关键．
6．【答案】C
【分析】根据旋转的性质可知CA＝CA′，再利用等边对等角即可解决问题．
【解答】解：由旋转可知，
CA＝CA′，
所以∠CAB＝∠CA′A．
又因为∠CAB＝65°，
所以∠CA′A＝65°，
所以∠ACA′＝180°﹣2×65°＝50°，
即旋转角α的度数是50°．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
7．【答案】B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
8．【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得AB＝AD，∠BAC＝∠DAE＝64°，由AE∥BC可得∠BDA＝∠DAE＝64°，根据等腰三角形的性质即可求出旋转角．
【解答】解：∵将△ABC绕顶点A顺时针旋转，得到△ADE．
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE＝64°，旋转角为∠BAD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∵AE∥BC，
∴∠BDA＝∠DAE＝64°，
∴∠BAD＝180°﹣64°﹣64°＝52°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
二．填空题（共6小题）
9．【答案】2.5．
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝AD+CF+10＝15，即可得出答案．
【解答】解：∵将周长为10cm的△ABC沿BC方向平移得到△DEF，四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝AD+CF+10＝15，AD＝CF，
∴2AD＝5，
解得：AD＝2.5，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF＝AD，DF＝AC是解题的关键．
10．【答案】．
【分析】以B为原点，CC'所在直线为x轴建立直角坐标系，根据已知可得A（0，2），C（﹣1，0），C'（1，0），由将Rt△ABC绕点A逆时针旋转，使得C点对应的C′恰在CB延长线上，点B的对应点为B′，知AB'＝AB＝2，B'C'＝BC＝1，设B'（m，n），可得，即可解得B'（，），由两点间的距离公式可得答案．
【解答】解：以B为原点，CC'所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：
根据已知可得A（0，2），C（﹣1，0），
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转，使得C点对应的C′恰在CB延长线上，点B的对应点为B′，
∴AB'＝AB＝2，B'C'＝BC＝1，AC＝AC'，
∵∠ABC＝90°，
∴BC'＝BC＝1，
∴C'（1，0），
设B'（m，n），
∴，
解得或（舍去），
∴B'（，），
∴CB'；
故答案为：．
【点评】本题考查直角三角形的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的性质，建立直角坐标系求出B'的坐标．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点（﹣5，4）关于原点过对称的点的坐标是（5，﹣4）．
故答案为（5，﹣4）．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．
12．【答案】52°．
【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′＝∠CAB＝64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC＝AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′＝∠AC′C＝64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝64°
∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴∠CAC′等于旋转角，AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝64°，
∴∠CAC′＝180°﹣∠ACC′﹣∠AC′C＝180°﹣2×64°＝52°，
∴旋转角为52°．
故答案为：52°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
【解答】解：在直角坐标系中，点A（﹣7，1）关于原点对称的点的坐标是（7，﹣1）．
故答案为：（7，﹣1）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
14．【答案】24．
【分析】由旋转的性质可知AD＝AB，由AD＝DC，推出∠ADB＝∠B，∠C＝∠DAC，设∠C＝x，则∠ADB＝∠C+∠DAC＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x即可．
【解答】解：由旋转的性质可知AD＝AB，∠C＝∠E，
∵AD＝DC，
∴∠ADB＝∠B，∠C＝∠DAC，
设∠C＝x，则∠ADB＝∠B＝∠C+∠DAC＝2x，
∵∠C+∠B+∠BAC＝180°，
∴3x+108°＝180°，
∴x＝24°，
∴∠C＝24°．
故答案为：24．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共9小题）
15．【答案】（1）见解答．
（2）．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△OA′B′即为所求．
（2）由勾股定理得，OB5，
∴线段OB在旋转过程中扫过的面积为．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平移的性质，找到各点的对应点，然后顺次连接即可得出平移后的图形；
（2）作出平移后的图形，然后结合直角坐标系即可得出另外两个点的坐标．
（3）根据图形可得出BC、AB、AC的长，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是等腰直角三角形，继而可求出面积．
【解答】解：（1）所作图形如下：
（2）根据（1）所作的图形可得：B1（﹣3，1），C1（﹣5，2）；
（3）AB，BC，AC，
∴AB2+BC2＝AC2，即△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC的面积AB×BC＝2.5．
【点评】此题考查了平移作图、三角形的面积、直角坐标系的知识，解答本题的关键是正确的作出图形，判断出△ABC是等腰直角三角形，难度一般．
17．【答案】证明过程见解析．
【分析】（1）由旋转的性质得出AE＝AC，∠C＝∠AED，证出∠C＝∠AEC，则可得出结论；
（2）由旋转的性质得出AE＝AC，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，证出∠AEC＝∠ADB，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，
∴AE＝AC，∠C＝∠AED，
∴∠C＝∠AEC，
∴∠AED＝∠AEC，
即AE平分∠CED；
（2）如图，
∵将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，
∴AE＝AC，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠AEC+∠AEB＝180°，
∴∠ADB+∠AEB＝180°，
∵∠DAE＝90°，∠DAE+∠AEB+∠ADE+∠DBE＝360°，
∴∠DBE＝90°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18．【答案】（1）A1（﹣1，﹣2）；
（2）π．
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）先利用勾股定理计算出AB，然后根据弧长公式计算点B所走的路径的长度．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，点A1的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB2，
∴∠BAB2＝90°，
∵AB，
∴点B所走的路径的长度为π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）50°．
【分析】（1）根据旋转得到AB＝BD＝BC＝BE和∠ABC＝∠DBE，即可证得结论；
（2）根据等腰三角形性质得∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC，结合四边形内角和求得∠AFE，即可求得答案．
【解答】（1）证明：由旋转得，AB＝BD，BC＝BE，
∵BA＝BC，
∴AB＝BD＝BC＝BE，
∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）解：由旋转得，AB＝BD＝BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝100°，
则∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝40°，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝150°，
∴∠AFE＝360°﹣∠ABE﹣∠BAD﹣∠BEC＝130°，
∴∠AFC＝180°﹣∠AFE＝50°．
【点评】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和四边形内角和，解题关键是熟悉旋转性质．
20．【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）若点D落在x轴上，则△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，根据旋转的性质作图即可．
（2）由题意可取点E（3，1）或（﹣3，﹣1），即△DEF是由△ABC绕点O逆时针旋转90°或顺时针旋转90°得到的，再根据旋转的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图1，△DEF即为所求．
（2）如图2，△D'E'F'和△D''E''F''均满足题意．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
21．【答案】（1）见解析C，1（﹣1，1）；
（2）见解析；
（3）y＝﹣x．
【分析】（1）根据△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的△A1B1C1，即可写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，使点C的对应点为C2（﹣2，﹣4）即可；
（3）根据待定系数法即可写出直线l的函数解析式．
【解答】解：
（1）如图，△ABC向左平移4个单位长度，
再向下平移1个单位长度后得到的△A1B1C1，
C1（﹣1，1）；
（2）如图即为△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，
使点C的对应点为C2（﹣2，﹣4）；
（3）直线l的函数解析式为y＝﹣x．
故答案为：y＝﹣x．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换、待定系数法求一次函数解析式、作图﹣平移变换，解决本题的关键是准确画图．
22．【答案】（1）15°；
（2）四边形CEDF是平行四边形，理由见解答过程；
【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∠ACB＝∠BED＝90°，由等腰三角形的性质可求∠BAD＝75°＝∠BDA，即可求解；
（2）由旋转的性质可得∠CBE＝∠ABD＝60°，BC＝BE，DE＝AC，AB＝DB，由“SAS”可证△ABC≌△BDF，可得DF＝BC，即可求解．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度α得到△DEB，
∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∠ACB＝∠BED＝90°，
∴∠BAD＝75°＝∠BDA，
∴∠ADE＝∠BED﹣∠BAD＝15°；
（2）四边形CEDF是平行四边形，理由如下：
∵点F是边AB中点，
∴CFBA＝AF＝BF，
∵∠ABC＝30°，
∴ACBA，
∴CF＝AF＝AC＝BF，
∴△ACF是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，
∴∠CBE＝∠ABD＝60°，BC＝BE，DE＝AC，AB＝DB，
∴DE＝CF，△CBE为等边三角形，
∴CE＝BC＝BE，
∵AB＝BD，∠A＝∠ABD＝60°，AC＝BF，
∴△ABC≌△BDF（SAS），
∴DF＝BC，
∴DF＝CE，
而CF＝DE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．【答案】（1）见解答；
（2）60°或240°．
【分析】（1）连接AE，AC'，根据旋转的性质得出AE＝A′C′．证明四边形AC′A′E是平行四边形即可得证；
（2）由（1）问可知，四边形AC′A′E为平行四边形，当其为矩形时，可使对角线EC′＝AA′．在△ABC的旋转过程中，当点C′在直线AB上时，可使∠AC'A'为直角，此时平行四边形AC'A'E为矩形，求出此时对应的旋转角α即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AE，AC'，
∵BC＝BC'，
∴∠C'CB＝∠CC'B，
∵∠ACB＝∠AC′B＝90°，∠EC′C＝180°，
∴∠ACC′＝∠ACB﹣∠C′CB＝90°﹣∠C′CB，
∠EC′A′＝∠EC′C﹣∠AC′B﹣∠CC′B＝180°﹣90°﹣∠CC′B＝90°﹣∠CC′B，
∴∠ACC′＝∠EC′A′，
∵AE∥C′A′，
∴∠EC′A′＝∠AED，
∴∠ACC′＝∠AED，
∴AC＝AE，
由旋转的性质可得，AC＝A′C′，
∴AE＝A′C′．
∵AE∥C′A′，
∴四边形AC′A′E是平行四边形，
∴ED＝C′D．
（2）解：如图，当点C′在线段AB上时，
∵∠AC′B＝90°，点C′在线段AB上，
∴∠AC′A′＝90°，
∵四边形AC′A′E是平行四边形，
∴四边形AC′A′E是矩形，
∴EC′＝AA′，
∵∠ABC＝60°，
∴此时旋转角α的度数为60°．
如图，当点C′在线段AB的延长线上时，
∵∠AC′B＝90°，点C′在线段AB的延长线上，
∴∠AC′A′＝90°，
∵四边形AC′A′E是平行四边形，
∴ AC′A′E是矩形，
∴EC′＝AA′，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBC′＝120°，
∴此时旋转角α的度数为240°，
故存在，此时旋转角α的度数为60°或240°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，以及旋转的性质，正确作出辅助线是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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