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第4章 因式分解
一．选择题（共10小题）
1．利用因式分解计算2023×2024﹣20232＝（　　）
A．1 B．2023 C．2024 D．20232
2．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
3．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，2，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱化 B．爱物化 C．我爱数学 D．物化数学
4．因式分解：mx2﹣4m＝（　　）
A．m（x2﹣4） B．m（x+2）（x﹣2）
C．mx（x﹣4） D．m（x+4）（x﹣4）
5．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（　　）
A．2 B．6 C．4 D．8
6．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a2﹣4+a＝（a+2）（a﹣2）+a
B．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2
C．a2+b＝a（a+b）
D．a2+4a+3＝（a+1）（a+3）
7．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．x2﹣4x+4＝x）
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x
8．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（　　）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
9．下列各式的变形中，是因式分解的是（　　）
A．3x（2x+5）＝6x2+15x B．2x2﹣x+1＝x（2x﹣1）+1
C．x2﹣xy＝x（x﹣y） D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
10．因式分解“16m2﹣？”得（4m+5n）（4m﹣5n），则“？”是（　　）
A．5n2 B．25n2 C．75n2 D．125n2
二．填空题（共6小题）
11．把多项式2ax2﹣4a2x+2a3分解因式的结果是 　 　．
12．因式分解：4（m﹣n）2﹣（m+n）2＝　 　．
13．如果一个四位数m，其各个数位上的数字均不为0，若百位数字比个位数字大2，十位数字是个位数字2倍，则这样的四位数为“倍和数”．将组成“倍和数”m的百位和个位去掉得到一个新的两位数m1，组成m的千位和十位去掉得到一个新的两位数m2，记．例如：s＝7563，因为5＝3+2，6＝2×3，所以7563是一个“倍和数”，则，计算F（8684）＝　 　．
若“倍和数”s（1≤a≤4，1≤b≤6，1≤c≤4，1≤d≤4，其中a、b、c、d都为正整数），规定K（s）＝|s1﹣s2|，当为整数时，则满足条件的K（s）的最大值为 　 　．
14．分解因式：x3﹣6x2+9x＝　 　．
15．若一个各数位数字不为0的四位数m，m的千位数字与百位数字的和等于其十位数字与个位数字两倍的和，则称这个四位数m为“双丰数”，将“双丰数”m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到新数m1，并记，则最小的“双丰数”为 　 　；若四位数，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，a，b，c，d为整数）为“双丰数”，且F（m）能被9整除，令，则在所有满足条件的“双丰数”m中，当G（m）值最小时的“双丰数”为 　 　．
16．因式分解m2﹣1＝　 　．
三．解答题（共6小题）
17．因式分解：
（1）﹣3x3+6x2y﹣3xy2；
（2）（x+y）（x﹣y）﹣（y﹣x）2．
18．分解因式：
（1）﹣x2+6x﹣9；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．
19．分解因式：
（1）a3﹣4a；
（2）2x2﹣12xy+18y2．
20．分解因式
（1）m3n﹣9mn；
（2）（x+2y）（2y﹣3x）+4x2．
21．阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．
（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解：
①x2﹣8x﹣9；
②x2+3x﹣4．
（2）深入探究：说明多项式x2﹣6x+12的值总是一个正数？
22．观察图形，结合材料解决问题：
（1）如图①，将几个边长不等的小正方形和小长方形拼成一个大正方形．
①用下列两种不同的方法计算这个大正方形的面积：
方法一：（整体法）用大正方形的边长的平方表示：　 　．
方法二：（局部法）用3个小正方形与6个小长方形的面积和表示：　 　．
②若a、b、c三个数满足a2+b2+c2＝20，ab+bc+ca＝16，则（a+b+c）2＝　 　．
（2）如图②，将边长为a的小正方形AEFG和边长为b的大正方形ABCD拼在一起，且D，A，E三点在同一直线上，连接DB和DF，若两个正方形的边长满足a+b＝8，ab＝12，请求出阴影部分的面积．
第4章 因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】提取公因式2023，再化简，整理即可．
【解答】解：2023×2024﹣20232＝2023（2024﹣2023）＝2023×1＝2023．
故选：B．
【点评】本题考查因式分解的应用．找到公因式并合理提取是解决本题的关键．
2．【答案】D
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、选项是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、选项分解错误，不符合题意；
C、选项不是因式分解，不符合题意；
D、选项是因式分解，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
3．【答案】C
【分析】首先应用提取公因式法，把2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）因式分解，然后根据x﹣1，a﹣b，2，x2+1，a，x+1分别对应数，爱，我，化，物，学，判断出结果呈现的密码信息即可．
【解答】解：2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）
＝（2a﹣2b）（x2﹣1）
＝2（a﹣b）（x﹣1）（x+1）．
∵2，a﹣b，x﹣1，x+1，分别对应我，爱，数，学，
∴结果呈现的密码信息可能是我爱数学．
故选：C．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是要明确因式分解的方法，注意平方差公式的应用．
4．【答案】B
【分析】先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可得出答案．
【解答】解：原式＝m（m2﹣4）
＝m（m+2）（m﹣2）；
故选：B．
【点评】本题主要考查因式分解的方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
5．【答案】C
【分析】先把原式进行因式分解，再把m+n＝2代入进行计算即可．
【解答】解：∵m+n＝2，
∴原式＝（m+n）（m﹣n）+4n
＝2（m﹣n）+4n
＝2m﹣2n+4n
＝2（m+n）
＝2×2
＝4．
故选：C．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，解答此题的关键是利用因式分解的方法把原式化为已知条件的形式，再把m+n＝2代入进行计算．
6．【答案】D
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【解答】解：a2﹣4+a＝（a+2）（a﹣2）+a中，等号右边不是积的形式，则A不符合题意；
a2+4a﹣4＝（a﹣2）2中，左右两边不相等，则B不符合题意；
a2+b＝a（a+b）中，左右两边不相等，则C不符合题意；
a2+4a+3＝（a+1）（a+3）符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握其定义是解题的关键．
7．【答案】C
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
D．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
8．【答案】B
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解的实际运用，正确应用平方差公式是解题关键．
9．【答案】C
【分析】直接利用因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解分析得出答案．
【解答】解：A．3x（2x+5）＝6x2+15x，是整式乘法，故不符合题意；
B．2x2﹣x+1＝x（2x﹣1）+1，没没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不符合题意；
C．x2﹣xy＝x（x﹣y），是因式分解，故符合题意；
D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式乘法，故不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键．
10．【答案】B
【分析】根据因式分解的意义即可求得答案．
【解答】解：（4m+5n）（4m﹣5n）＝16m2﹣25n2，
则“？”是25n2，
故选：B．
【点评】本题考查因式分解的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】2a（x﹣a）2．
【分析】先提公因式2a，然后利用完全平方公式法分解因式即可．
【解答】解：2ax2﹣4a2x+2a3
＝2a（x2﹣2ax+a2）
＝2a（x﹣a）2．
故答案为：2a（x﹣a）2．
【点评】本题考查了因式分解的方法，掌握因式分解的方法是关键．
12．【答案】（3m﹣n）（m﹣3n）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝[2（m﹣n）+（m+n）][2（m﹣n）﹣（m+n）]
＝（3m﹣n）（m﹣3n）．
故答案为：（3m﹣n）（m﹣3n）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
13．【答案】48，42．
【分析】m＝8684，则m1＝88，m2＝64，计算F（8684）即可；根据s是“倍和数”可得s各个数位上数字的关系．分别表示出s1，s2，进而求得F（s）和K（s），根据为整数可判断出K（s）的最大值．
【解答】解：∵m＝8684，
∴m1＝88，m2＝64．
∴F（8684）48．
∵s是“倍和数”，
∴b+3＝d+2，2c＝2d．
∴b＝d﹣1，c＝d．
∴b＝c﹣1．
∴s1＝10×2a+2c＝20a+2c，
s2＝10（b+3）+d＝10（c﹣1+3）+c＝11c+20．
∴F（s）8a+3c+4，
K（s）＝|s1﹣s2|＝|（20a+2c）﹣（11c+20）|＝|20a﹣9c﹣20|．
∴a．
∵为整数，1≤a≤4，1≤b≤6，1≤c≤4，1≤d≤4，
∴a＝1时，c＝3，b＝2，d＝3；
a＝4时，c＝2，b＝1，d＝2．
①a＝1，c＝3，b＝2，d＝3时，
K（s）＝|20a﹣9c﹣20|＝|20﹣9×3﹣20|＝27；
②a＝4时，c＝2，b＝1，d＝2时，
K（s）＝|20a﹣9c﹣20|＝|20×4﹣9×2﹣20|＝42．
∵27＜42，
∴满足条件的K（s）的最大值为42．
故答案为：48，42．
【点评】本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．难点是根据所给条件进行合理分析．
14．【答案】x（x﹣3）2．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：x3﹣6x2+9x
＝x（x2﹣6x+9）
＝x（x﹣3）2，
故答案为：x（x﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法法综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
15．【答案】1211，9162．
【分析】根据新定义的意义得到各个数位上数字的关系，根据得到关系可推断出最小的“双丰数”；分别表示出m和m1，进而求得F（m）的值并进行合理整理，根据F（m）能被9整除，可得c和d的可能值，进而根据G（m）值最小求得a和b的值，以及c和d的准确值，即可求得所求的“双丰数”．
【解答】解：设“双丰数”m千位上的数字为e，百位上的数字为f，十位上的数字为p，个位上的数字为q，
∴e+f＝p+2q．
∵求最小的“双丰数”，
∴千位数字可选数字1．
∵1+f＝p+2q，p和q都能选最小的数字1，
∴f＝2．
∴最小的“双丰数”是1×1000+2×100+1×10+1＝1211；
∵四位数为“双丰数”，
∴a+b＝c+2d．
∵m＝1000a+100b+10c+d，
∴m1＝1000b+100a+10d+c．
∴F（m）
＝100a+100b+c+d
＝100（a+b）+c+d
＝100（c+2d）+c+d
＝101c+201d．
∴11c+22d．
∵F（m）能被9整除，
∴2c+3d能被9整除．
∵1≤c≤9，1≤d≤9，
∴c＝3，d＝1或c＝6，d＝2．
∴a+b＝5或a+b＝10．
∵G（m）1，G（m）值最小，
∴a取最大值9，
∴b＝1，c＝6，d＝2．
∴当G（m）值最小时的“双丰数”为1000×9+100×1+10×6+2＝9162．
故答案为：1211，9162．
【点评】本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据所给条件进行合理推理判断出各个数位上的数字是解决本题的难点．
16．【答案】（m+1）（m﹣1）．
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．
故答案为：（m+1）（m﹣1）．
【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
17．【答案】（1）﹣3x（x﹣y）2；
（2）2y（x﹣y）．
【分析】（1）根据提公因数法和公式法分解因式即可；
（2）根据提公因数法和公式法分解因式即可；
【解答】解：（1）﹣3x3+6x2y﹣3xy2
＝﹣3x（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3x（x﹣y）2；
（2）（x+y）（x﹣y）﹣（y﹣x）2
＝（x﹣y）（x+y﹣x+y）
＝2y（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因数法和公式法分解因式，熟练掌握提公因数法和公式法分解因式是解题的关键．
18．【答案】（1）﹣x2+6x﹣9＝﹣（x﹣3）2；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）＝（a+2）（a﹣2）（x﹣y）．
【分析】（1）先分解因式，再化简；
（2）先提公因式，再因式分解．
【解答】解：（1）﹣x2+6x﹣9＝（﹣x+3）（x﹣3）＝﹣（x﹣3）（x﹣3）＝﹣（x﹣3）2；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝（a2﹣4）（x﹣y）＝（a+2）（a﹣2）（x﹣y）．
【点评】本题考查了因式分解，关键是运算正确．
19．【答案】（1）a（a+2）（a﹣2）；
（2）2（x﹣3y）2．
【分析】（1）首先提取公因式，然后利用平方差公式分解即可；
（2）首先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝2（x2﹣6xy+9y2）
＝2（x﹣3y）2．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
20．【答案】（1）mn（m+3）（m﹣3）；
（2）（x﹣2y）2．
【分析】（1）根据提公因式法及平方差公式可进行分解因式；
（2）根据完全平方公式可进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝mn（m2﹣9）
＝mn（m+3）（m﹣3）；
（2）原式＝x2﹣4xy+4y2
＝（x﹣2y）2．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
21．【答案】（1）①（x+1）（x﹣9）；②（x+4）（x﹣1）；
（2）详见解析．
【分析】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可；
（2）利用配方法和非负数的性质进行说明即可．
【解答】解：（1）①x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+42﹣42﹣9
＝（x﹣4）2﹣25
＝（x﹣4+5）（x﹣4﹣5）
＝（x+1）（x﹣9）；
②x2+3x﹣4
＝（x+4）（x﹣1）；
（2）x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3．
∵（x﹣3）2≥0．
∴（x﹣3）2+3＞0．
∴多项式x2﹣6x+12的值总是一个正数．
【点评】本题考查了因式分解的应用，仔细阅读材料理解配方的方法是解题的关键．
22．【答案】（1）①（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
②52；
（2）阴影部分的面积＝14．
【分析】（1）①从整体看，大正方形的边长为：a+b+c，那么面积为：（a+b+c）2；
从组成看，大正方形可用3个小正方形与6个小长方形的面积和表示，整理好后合并同类项即可得到所求的式子；
②由①得到：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，进而整理成与a2+b2+c2及ab+bc+ca有关的式子，代入求解即可；
（2）根据阴影部分的面积＝大正方形的面积+小正方形的面积﹣S△DCB﹣S△DEF，把相关数值代入后，整理成和a+b，ab相关的式子，代入求值即可．
【解答】解：（1）①方法一：从整体看，大正方形的边长为：a+b+c，那么面积为：（a+b+c）2．
方法二：∵3个小正方形的面积分别为：a2，b2，c2；6个小长方形的面积分别为：ab，ac，ab，bc，ac，bc．∴3个小正方形与6个小长方形的面积和为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
②由①得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）．
∵a2+b2+c2＝20，ab+bc+ca＝16，
∴原式＝20+2×16＝52．
（2）阴影部分的面积＝a2+b2b2a （a+b）b2+a2aba2a2b2ab（a2+b2）ab[（a+b）2﹣2ab]ab（a+b）2ab．
∵a+b＝8，ab＝12，
∴阴影部分的面积8212＝32﹣18＝14．
【点评】本题考查因式分解的应用．根据图形得到相关等式是解决本题的关键．用到的知识点为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
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