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第5章 分式与分式方程
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中是分式的是（　　）
A． B．x+y C． D．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≠﹣2
3．甲、乙两人分别从相距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，设甲的速度为3x km/h．依题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若分式方程有增根，则增根是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
5．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
6．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
7．方程的解为（　　）
A． B．x＝1 C． D．x＝2
8．已知关于x的分式方程2的解为非负数，则a的取值范围为（　　）
A．a且a B．a且a
C．a且a D．a且a
9．如果a﹣b＝4，那么代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如果an＝3，bn＝4，那么的值等于（　　）
A． B． C．12 D．21
二．填空题（共6小题）
11．已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是 　 　．
12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
13．要使分式有意义，则x需要满足的条件是 　 　．
14．若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解是整数，则满足条件的所有整数a的值之和为 　 　．
15．已知，则分式的值等于 　 　．
16．化简　 　．
三．解答题（共9小题）
17．解分式方程：1．
18．先化简，再求值：，其中．
19．先化简（） ，再从﹣1，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值．
20．（1）计算：．
（2）化简：．
21．为了创建国家卫生城市，我县某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．
（1）求购买一个A型垃圾桶需多少元？
（2）若小区一 次性购买A型，B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过4000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？
22．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，现公司用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）求每辆B型汽车进价是多少万元？
（2）A型汽车利润率为5%，B型汽车利润率为8%，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？
23．劳动课上，甲、乙两小组制作纸玫瑰花，已知甲组每分钟比乙组多制作2朵，甲组制作15朵所用的时间与乙组制作10朵所用的时间相等，求甲、乙两组每分钟各制作玫瑰花多少朵？
24．甲辰龙年春节，红嘴鸥“火”了，全国各地的游客慕名而来，感受昆明人鸥和谐的美好氛围．某教育集团组织开展观鸟节科普系列活动，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用1000元购进A款和用800元购进B款文化衫的数量相同．求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
25．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
第5章 分式与分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】根据分式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、是整式，不是分式，故A不符合题意；
B、x+y是整式，不是分式，故B不符合题意；
C、是整式，不是分式，故B不符合题意；
D、是分式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
2．【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
3．【答案】D
【分析】求的是速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：甲比乙提前20分钟到达目的地．等量关系为：乙走10千米用的时间﹣甲走6千米用的时间＝20分钟．
【解答】解：设甲的速度为3x千米/时，则乙的速度为4x千米/时．
根据题意，得．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
4．【答案】D
【分析】根据分式方程的增根的定义解答即可．
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴x﹣4＝0，
∴x＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．
5．【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，
解得：x＝m﹣2，
由分式方程的解是非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．【答案】C
【分析】根据分式的性质：分式的分子、分母异号得负，可得答案．
【解答】解：∵，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母同号得正，异号得负．
7．【答案】C
【分析】根据解分式方程的一般步骤来解答．
【解答】解：，
5（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
5x﹣5﹣x﹣1＝0，
4x＝6，
x，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是根据解分式方程的一般步骤来解答．
8．【答案】A
【分析】先解方程得到x＝4﹣3a，再由方程的解为非负数，得到4﹣3a≥0，再由x≠2，可得4﹣3a≠2，从而可求a的取值范围．
【解答】解：2，
x﹣a﹣2a＝2（x﹣2），
x＝4﹣3a，
∵方程的解为非负数，
∴4﹣3a≥0，
∴a，
∵x≠2，
∴4﹣3a≠2，
∴a，
∴a的取值范围是a且a，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程的增根情况是解题关键．
9．【答案】B
【分析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时利用完全平方公式将分子因式分解，最后计算乘法，进而将a﹣b＝4代入计算可得．
【解答】解：
＝（）
，
a﹣b＝4，则2，
故选：B．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是正确化简、计算．
10．【答案】A
【分析】根据分式的乘方法则计算即可．
【解答】解：∵an＝3，bn＝4，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】将已知条件进行变换，然后将分式代简，即可得出结果．
【解答】解：∵，
∴3，即3①；
同理可得4②，
5③；
∴①+②+③得：2（）＝3+4+5；6；
又∵的倒数为，即为6，则原数为．
故答案为．
【点评】本题先把已知式子转化为倒数计算，可使计算简便．
12．【答案】且x≠﹣1．
【分析】根据分式有意义生物条件列式计算即可．
【解答】解：由题意可得1﹣2x≥0，1+x≠0，
解得且x≠﹣1．
故答案为：且x≠﹣1．
【点评】本题考查分式有意义的条件，正确记忆相关知识点是解题关键．
13．【答案】x≠0且x≠1．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x2﹣x≠0，
解得x≠0且x≠1．
故答案为：x≠0且x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
14．【答案】﹣14．
【分析】先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，求出a的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解是整数，求出a值，最后求出同时满足已知条件的a的值，求出它们的和即可．
【解答】解：，
由①得：3x﹣1＜2x+4，
3x﹣2x＜4+1，
x＜5，
由②得：5x+2x≥a+3，
7x≥a+3，
，
∴，
∵关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，
∴这两个奇数解为1和3，
∴，
﹣7＜a+3≤7，
﹣10＜a≤4，
，
方程两边同时乘y﹣2得：3y+a﹣6＝y﹣2，
3y﹣y＝﹣2﹣a+6，
2y＝4﹣a，
∴，
∵关于y的分式方程 的解是整数，
∴4﹣a＝0或±2或±4或±6或±8或±10…，且，
解得：a＝4或2或6或0或8或﹣2或10或﹣4或12或﹣6或14或﹣8或16…，且a≠0，
综上可知；a＝﹣2或2或4或﹣4或﹣6或﹣8，
∴满足条件的所有整数a的值之和为：﹣2+2+4﹣4﹣6﹣8＝﹣14，
故答案为：﹣14．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．
15．【答案】．
【分析】根据，设a＝3k，b＝2k，代入分式求值即可．
【解答】解：∵，设a＝3k，b＝2k（k≠0），
∴；
故答案为：．
【点评】本题考查分式求值．熟练掌握设k法是解题的关键．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】先把要求的式子进行因式分解，再把分子与分母约去相同的部分，即可得出答案．
【解答】解：；
故答案为：．
【点评】此题考查了约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．注意：①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3），得x（x+3）﹣（x+3）（x﹣3）＝18，
化简得3x+9＝18，
解得：x＝3，
经检验x＝3是增根，原分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．【答案】，1．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式

，
当 时．
原式
＝1．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式性质，把所求式子化简．
19．【答案】，．
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从﹣1，0，1，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（）


，
∵当x＝﹣1，0，1时原分式无意义，
∴x＝2，
当x＝2时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．【答案】（1）﹣5；（2）．
【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）
＝﹣2﹣4+1
＝﹣5；
（2）

．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．【答案】（1）购买一个A型垃圾桶需50元，一个B型垃圾桶需80元．
（2）最少要购买27个A型垃圾桶．
【分析】（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x+30）元，根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可．
（2）设小区一次性购买y个A型垃圾桶，则购买（60﹣y）个B型垃圾桶，根据“总费用不超过4000元”列出一元一次不等式并解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需（x+30）元，
由题意得：2，
解得：x＝50，
经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意，
则x+30＝80，
答：购买一个A型垃圾桶需50元，一个B型垃圾桶需80元．
（2）设小区一次性购买y个A型垃圾桶，则购买（60﹣y）个B型垃圾桶，
由题意得：50y+80（60﹣y）≤4000，
解得：y≥27．
答：最少要购买27个A型垃圾桶．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，利用数量＝总价÷单价，结合用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）求出两种汽车利润之和即可．
【解答】解：（1）设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，
根据题意得：20，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意．
答：每辆B型汽车进价是10万元；
（2）1500×5%+1200×8%＝171（万元）＝1710000（元），
答：该公司出售完此批汽车后总利润是1710000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．【答案】甲组每分钟制作6朵玫瑰花，乙组每分钟制作4朵玫瑰花．
【分析】设甲组每分钟制作x朵玫瑰花，则乙组每分钟制作（x﹣2）朵玫瑰花，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲组制作15朵所用的时间与乙组制作10朵所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲组每分钟制作玫瑰花的数量，再将其代入（x﹣2）中，即可求出乙组每分钟制作玫瑰花的数量．
【解答】解：设甲组每分钟制作x朵玫瑰花，则乙组每分钟制作（x﹣2）朵玫瑰花，
根据题意得：，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意，
∴x﹣2＝6﹣2＝4（朵）．
答：甲组每分钟制作6朵玫瑰花，乙组每分钟制作4朵玫瑰花．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．【答案】A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元．
【分析】设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件（x﹣10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1000元购进A款和用800元购进B款文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A款文化衫的单价，再将其代入（x﹣10）中，即可求出B款文化衫的进价．
【解答】解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件（x﹣10）元，
根据题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x﹣10＝50﹣10＝40（元）．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（）×151．
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（）＝22.5（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：该工程的费用为225000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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