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第6章 平行四边形
一．选择题（共9小题）
1．如图，平面直角坐标系中，点A，C两点的坐标分别为（1，3），（5，2），若四边形是平行四边形，则B点的坐标为（　　）
A．（8，3） B．（7，4） C．（6，5） D．（5，6）
2．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
3．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问这个八边形的内角和是多少度？（　　）
A．720° B．900° C．1080° D．1260°
4．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　）
A．①对角相等 B．③有一组邻边相等
C．②对角线互相垂直 D．①有一个角是直角
5．小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是（　　）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
6．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，与∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，若∠A＝50°，则∠E的度数为（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
7．过n边形的其中一个顶点有5条对角线，则n为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．一个多边形的内角和不可能是（　　）
A．1800° B．540° C．720° D．810°
9．如果平行四边形一边长为10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（　　）
A．6cm、8cm B．6cm、10cm C．8cm、12cm D．20cm、30cm
二．填空题（共6小题）
10．若一个多边形的内角和与外角和具有2倍的数量关系，则它是 　 　边形．
11．一个正多边形的每个外角为72°，那么这个正多边形的内角和是 　 　．
12．如图所示的多边形中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　度．
13．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF并延长交AC于点E．若AB＝8，BC＝12，则线段EF的长为 　 　．
14．有一锐角为30°的直角三角形纸片，现过斜边上一点与斜边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则在四边形中，最大角的度数是 　 　．
15．从多边形的一个顶点出发，向其余的每个顶点引一条线段，将多边形分成6个三角形，则此多边形的边数为 　 　．
三．解答题（共9小题）
16．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
17．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；
（2）如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，直接写出你的结论：　 　．
18．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系；
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由．
19．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BD于点E，F，连接AF，CE．
（1）若∠BCF＝65°，求∠ABC的度数；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
21．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
22．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．
（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，点E为OC的中点．
（1）求证：∠ADO＝2∠OBE；
（2）若F，G分别是OD，AB的中点．
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG，BC＝8时，直接写出线段BE的长 　 　．
24．如图，在 ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E．连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G．
（1）求证：四边形BFDG是平行四边形．
（2）若∠DAB＝60°，AD＝2，直接写出四边形BFDG的面积．
第6章 平行四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【答案】C
【分析】连接OB、AC交于点F，设F（m，n），B（a，b），则AF＝CF，OF＝BF，所以m（1+5）＝3，n（3+2），则F（3，），所以3a，b，则B（6，5），于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB、AC交于点F，设F（m，n），B（a，b），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF＝CF，OF＝BF，
∵点A，C两点的坐标分别为（1，3），（5，2），
∴m（1+5）＝3，n（3+2），
∴F（3，），
∴3a，b，
∴a＝6，b＝5，
∴B（6，5），
故选：C．
【点评】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质、线段的中点坐标的求法等知识，正确地求出线段OB的中点坐标是解题的关键．
2．【答案】B
【分析】根据多边形的内角和公式与外角和的关系找出等量关系，构建方程即可求解．
【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意得：
（n﹣2） 180°＝3×360°，
解得：n＝8，
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，解题关键是记住内角和的公式与外角和的性质．
3．【答案】C
【分析】利用多边形内角和定理，即可求出八边形的内角和．
【解答】解：根据题意得：八边形的内角和是（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，牢记“多边形内角和是（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）”是解题的关键．
4．【答案】A
【分析】由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．
【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故B不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．
5．【答案】C
【分析】直接利用平移的性质结合平行四边形的判定定方法得出答案．
【解答】解：根据平移的性质，得到AB∥B1A1，AB＝B1A1，
故选：C．
【点评】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
6．【答案】C
【分析】运用四边形的内角和等于360°，可求∠DCB的度数，再利用角平分线的性质可求∠E的度数．
【解答】解：∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠A＝50°，
∴∠C＝360﹣90﹣90﹣50＝130°，
∵∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，
∴∠CDE＝∠CBE＝45°，
∴∠E＝130﹣45﹣45＝40°
故选：C．
【点评】本题运用四边形的内角和和角平分线的性质，关键是准确计算．
7．【答案】D
【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数为（n﹣3），求出边数即可得解．
【解答】解：∵一个n边形过一个顶点有5条对角线，
∴n﹣3＝5，
解得n＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的对角线的公式，牢记公式是解题的关键．
8．【答案】D
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答．
【解答】解：810°不能被180°整除，一个多边形的内角和不可能是810°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键．
9．【答案】D
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边即可解决问题．
【解答】解：∵平行四边形一边长为10cm，对角线互相平分，
当的两条对角线的长度是6cm、8cm时，3+4＜10，故A选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是6cm、10cm时，3+5＜10，故B选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是8cm、12cm时，4+6＝10，故C选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是20cm、30cm时，10+15＞10，故D选项符合题意；
∴它的两条对角线的长度不可以是6cm、8cm，6cm、10cm，8cm、12cm，
∴它的两条对角线的长度可以是20cm、30cm，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形两边之和大于第三边，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
二．填空题（共6小题）
10．【答案】三或六．
【分析】根据多边形的外角和是360°以及内角和的计算方法列方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形为n边形，
若多边形的内角和是外角和的2倍，则（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得n＝6，
即这个多边形为六边形；
若多边形的外角和是内角和的2倍，则（n﹣2）×180°×2＝360°，
解得n＝3，
即这个多边形为三角形；
综上所述，这个多边形为三角形或六边形．
故答案为：三或六．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是360°是正确解答的关键．
11．【答案】540°．
【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．
【解答】解：这个正多边形的边数为5，
所以这个正多边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°．
故答案为：540°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2） 180 （n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360度．
12．【答案】540．
【分析】根据多边形内角和的计算方法进行计算即可．
【解答】解：五边形ABCDE的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．
故答案为：540．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算方法是正确解答的关键．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DFAB＝AD＝BD＝4且∠ABF＝∠BFD，结合角平分线可得∠CBF＝∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE＝6，由EF＝DE﹣DF可得答案．
【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝8，D为AB中点，
∴DFAB＝AD＝BD＝4，
∴∠ABF＝∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得：DE＝6，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
14．【答案】150°．
【分析】分两种情况分别画出图形，根据直角三角形各角的度数和四边形内角和进行求解，最后通过比较即可得出最大角的度数．
【解答】解：如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，DE⊥AB于点D，则∠BDE＝90°，
∠CED＝360°﹣∠C﹣∠B﹣∠BDE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°，
如图2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，B＝60°，DE⊥AB于点D，则∠ADE＝90°，
∴∠CED＝360°﹣∠C﹣∠A﹣∠ADE＝360°﹣90°﹣30°﹣90°＝150°，
∵150°＞120°，
∴在四边形中，最大角的度数是150°．
故答案为：150°．
【点评】本题主要考查了四边形的内角和外角，分类讨论和正确画出图形是解题的关键．
15．【答案】8．
【分析】设多边形的边数为n，由题意知，n﹣2＝6，计算求解即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意知，n﹣2＝6，解得n＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形的对角线．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
三．解答题（共9小题）
16．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，则∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；
（2）先由平行四边形的性质得出OB＝OD＝7，再证出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝14，
∴OB＝OD＝7，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EGOB．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．
17．【答案】（1）见解答；
（2）EF（AB﹣AC）．
【分析】（1）利用ASA证明△ABE≌△ADE，根据全等三角形的性质得出BE＝DE，AB＝AD，再根据三角形的中位线定理及线段的和差即可解决问题；
（2）先证明AB＝AP，根据等腰三角形的三线合一，推出BE＝PE，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵BE⊥AE于点E，
∴∠BEA＝∠DEA＝90°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（ASA），
∴BE＝DE，AB＝AD，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∴EFDC（AC﹣AD）（AC﹣AB）；
（2）如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠APE，
∴AB＝AP，
∵AE⊥BP，
∴E为BP的中点，
∴BE＝PE，
∵点F为BC的中点，
∴EF是△BCP的中位线，
∴EFPC（AP﹣AC）（AB﹣AC），
故答案为：EF（AB﹣AC）．
【点评】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．【答案】（1）10°；
（2）∠DAE∠C∠B；
（3）∠DAE（∠ACD﹣∠ABD）．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据角平分线的定义得到∠EAM（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN（∠BCD﹣∠CBD），求得∠MAD＝∠ADN，根据角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE∠BAC﹣（90°﹣∠C）（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C∠C∠B，
即∠DAE∠C∠B；
（3）不变，
理由：连接BC交AD于F，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，
∴∠EAM（∠ACB﹣∠ABC），
同理，∠ADN（∠BCD﹣∠CBD），
∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，
∴∠MAD＝∠ADN，
∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN（∠ACB﹣∠ABC）（∠BCD﹣∠CBD）（∠ACD﹣∠ABD）．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用．
19．【答案】（1）50°；
（2）证明过程见解析．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得出答案；
（2）根据ASA证明△ABE≌△CDF，由全等三角形的性质得出AE＝CF，AE∥CF，则可得出结论．
【解答】（1）解：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠BCF＝65°×2＝130°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣130°＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠BAE∠BAD，∠DCF∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．【答案】见解析．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵E，F是对角线AC的三等分点，
∴AE＝CF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
【点评】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ABE≌△CDF解答．
21．【答案】【三角形中位线定理】见解析；
【应用】135°；
【拓展】见解析．
【分析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论；
【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可；
【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且MHAC，NH∥BD且NHBD，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DEBC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DEBC；
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MHAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
同理可得NH∥BD且NHBD．
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴MH＝NH，
∴AC＝BD．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由三角形中位线定理得DEBC，DE∥BC，再由CFBC，得DE＝CF，即可得出结论；
（2）过点D作DH⊥BC于H，由等边三角形的性质得∠B＝60°，BDAB＝4，则∠BDH＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BHDB＝2，由勾股定理得DH＝2，然后由CFCB＝4，即可求解．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，DE∥BC，
∵CFBC，
∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点
∴∠B＝60°，BDAB＝4，
∵∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∴BHDB＝2，
∴DH，
∵CFCB＝4，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝4×28．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFC为平行四边形是解题的关键．
23．【答案】（1）见解答；
（2）①见解答；
②．
【分析】（1）由平行四边形的性质可知，AD∥BC，AD＝BC，BD＝2DO＝2BO，则∠ADO＝∠CBO，AD＝BO＝BC，可得△BOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知∠OBE＝∠CBE∠CBO∠ADO，进而结论得证；
（2）①由等腰三角形的性质可知∠BEA＝90°，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得EGAB，由中位线的性质可知EFCD，由平行四边形的性质可知AB＝CD，可得EG＝EF，进而结论得证；②证明四边形BEFG是平行四边形，则∠EFG＝∠GBE，证明△EFG∽△EBA，则△ABE是等腰三角形，∠BAE＝∠ABE＝45°，设AG＝GE＝x，则BE＝AEx，CE，在Rt△BCE中，由勾股定理BC2＝BE2+CE2求出满足要求的x值，进而可得BE．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，BD＝2DO＝2BO，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵BD＝2AD，
∴AD＝BO＝BC，
∴△BOC是等腰三角形，
∵OE＝CE，
∴∠OBE＝∠CBE∠CBO∠ADO，
∴∠ADO＝2∠OBE．
（2）①证明：∵△BOC是等腰三角形，E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA＝90°，
∵G为AB中点，
∴EGAB，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EFCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴EG＝EF，
∴△EFG是等腰三角形．
②解：由题意知，EF∥CD∥BG，
∴EFCDAB＝BG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴∠EFG＝∠GBE，
∵∠FEG＝∠AEB＝90°，
∴△EFG∽△EBA，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴EG⊥AB，
设AG＝GE＝x，则BE＝AEx，CE，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，BC2＝BE2+CE2，即82，
解得x或x（不合题意，舍去），
∴BE＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DAF＝∠BAE，由平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥DC，由平行线的性质和等角对等边推出BE＝BA，然后证明△ADF≌△ECF（AAS），继而得出AF＝EF，根据等腰三角形三线合一性质推出BF⊥AE，从而得出DG∥BF，即可得证；
（2）根据30°角的直角三角形可得DH＝1，根据勾股定理可得，证明△ADG为等边三角形，可得DG＝AD＝2，再根据等腰三角形三线合一性质可得，最后根据平行四边形的面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF＝∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴∠DAF＝∠E，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝BA，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
又∵BE＝BA，
∴BF⊥AE，
∵DG⊥AE，
∴DG∥BF，
∵DF∥BG，
∴四边形BFDG是平行四边形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF＝∠BAE＝30°，
∵DG⊥AE，AD＝2，
∴，∠AHD＝∠AHG＝90°，
∴，
∠ADH＝90°﹣∠DAH＝90°﹣30°＝60°，
∠AGH＝90°﹣∠GAH＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADH＝∠AGH＝60°，
∴△ADG为等边三角形，
∴DG＝AD＝2，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝∠DFA＝30°，
∴DA＝DF，
又∵DG⊥AE，
∴，
∴四边形BFDG的面积为：，
即四边形BFDG的面积为．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，平行四边形的面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
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