资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
1.6 利用三角函数测高
一．选择题（共10小题）
1．如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为（　　）
A．atan55°米 B．米 C．米 D．米
2．如图，在综合实践活动中，嘉嘉在学校门口的点A处测得树的顶端B的仰角为40°，同时测得AC＝10米，则树的高BC为（　　）
A．10 tan40°米 B．米
C．10 sin40°米 D．米
3．如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶200米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（　　）
A．400米 B．（100100）米
C．（100100）米 D．（100100）米
4．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（　　）（结果精确到0.1米，tan67.5°＝1，1.414）
A．35.7米 B．35.74米 C．34.14米 D．34.1米
5．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（　　）
A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米
6．如图，距离地面高m米的A处，用测倾仪测得树顶端C点的仰角为α，测得树底端D点的俯角为45°，则树CD的高为（　　）米．
A．m+mtanα B．m+mcosa C．m+msina D．
7．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（　　）
A．80（）米 B．40（）米
C．（120﹣40）米 D．40（）米
8．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为（　　）
A．15米 B．
C． D．22.5米
9．如图，海中有一小岛A，在B处测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B处出发由西向东航行10海里到达C处，在C处测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（　　）海里．
A． B． C．20 D．
10．如图，一艘船从A处出发，匀速向正北方向航行30海里至点B，从A处测得一礁石C在北偏西15°的方向上，从B处测得礁石C在北偏西30°的方向上．如果这艘船沿此航线继续航行，则礁石与船的最短距离是（　　）海里．
A．10 B．15 C．20 D．30
二．填空题（共6小题）
11．如图，一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行4小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 　 　海里/小时．
12．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 　 　km．
13．某火箭从地面P处发射，当火箭达到A点时，从位于地面Q处雷达站测得A、Q的距离是500米，仰角∠AQP为α，此时火箭A的高度是 　 　米．
14．如图，小明一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶一段距离至B地，再沿北偏东60°方向行驶千米到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么A，B两地的距离为 　 　千米．
15．某人在大厦一层乘坐观光电梯，看到大厦外一棵树上的鸟巢，仰角为30°，到达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为60°，已知大厦的层高均为4m，则这棵树与大厦的距离为 　 　m．
16．如图是某建筑物的侧面图形．已知AB建筑物坡度为3：1总长为米．斜坡AC和平台CD形成∠ACD为135°，从E点看D点的仰角为30°，AC斜坡长15米．求DE长度为 　 　米．（结果保留根号）
三．解答题（共9小题）
17．【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角∠ADG的正切值为．斜坡CD的坡比为，两观测点CD的距离为15m．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
任务1：计算C，D两点的垂直高度差．
任务2：求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为．
任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度．
18．如图，校园内有一个横截面近似为Rt△ABC的小土坡，坡度（或坡比）i＝1：2，古树DE长在该土坡上，树干与水平线AC垂直，同学们选在阳光明媚的一天测量其高度．他们测得坡底点A与古树底端D的距离是5m，在坡底点C处沿着AC所在直线向右走了6m到达点F处，此时发现古树顶端E的影子与土坡最高点B的影子恰好在F处重合，在F处测得树顶E的仰角为53°．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°，2.4）．
（1）求土坡的水平距离AC；
（2）求树高DE（结果精确到0.1m）．
19．周六，小李和小张相约到图书馆去看书．如图，小李家在点A处，小张家在小李家的正南方向300米的点B处，图书馆在小张家的南偏东60°方向的点C处．小李骑自行车从家向正东方向前进到路口D，再沿D的南偏东45°方向前行1000米到图书馆C；小张从家跑步到图书馆C．
（1）小李家到路口D的路程是多少米？（结果保留根号）
（2）若小李骑自行车的速度是300米/分钟，小张跑步的速度是240米/分钟，请通过计算说明他们谁先到达图书馆C？（参考数据：1.73，1.41）
20．我市为满足广大市民的锻炼需求，拟将郊区的一座山打造为健身公园，山体的横截面示意图如图1，计划修建两段登山步道AB、CD和两段平台BC、DE．其中，平台BC．DE均与水平地面AF平行，平台BC长75米，在点B处观察点D的仰角为45°（即∠DBC＝45°），步道CD的坡角为53°，平台DE距离地面AF的竖直高度为900米，步道AB的坡度i＝1：．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°，1.41）
（1）求步道CD的长度；
（2）为方便市民徒步登山，市规划局预备将步道AB全部修建成石梯，石梯的修建方式及尺寸（包括踏步高和踏步宽）均如图2所示，每一步石梯的安全标准是路步高不小于150mm，不大于175mm，且踏步宽不小于260mm，不大于300mm．若计划修建3600个相同尺寸的连续石梯，请你通过计算说明这样修建的石梯是否符合安全标准？
21．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，1.73，1.41）
22．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一座大楼CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为80米，在B处测得大楼CD顶部D的仰角为30°，在E处测得大楼CD顶部D的仰角为60°，求大楼CD的高度．（结果保留根号）
23．一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上．
（1）求轮船在B处时与小岛P的距离．
（2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
24．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，B在A的正东方向，AB＝2km，有一艘小船在点C处，从A测得小船在北偏东30°的方向，从B测得小船在北偏西45°的方向．求点C到海岸线l的距离（结果精确到0.01km）．
参考数据：
1.414
1.732
25．某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：A﹣B﹣C﹣D．已知点B在点A的北偏东45°方向3.6km处，点C在点B的正东方2.4km处，点D在点C的南偏东30°方向，点D在点A的正东方．（参考数据：1.414，1.732，2.449）
（1）求线段CD的长度；（结果精确到0.01km）
（2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线A﹣B﹣C﹣D进行运送能否按时送达？（送货司机在各站点停留的时间忽略不计）
1.6 利用三角函数测高
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】连接AB，BC，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：连接AB，BC，
由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，
∴tan∠ABC＝tan55°，
∴AB，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
2．【答案】A
【分析】根据△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，得出，即，推出BC＝AC tan40°＝10 tan40°米．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
∴，
即，
∴BC＝AC tan40°＝10 tan40°（米）；
故选：A．
【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
3．【答案】B
【分析】过点A作AD⊥BC于点D．由题意可得∠BAD＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABD中，sin30°，cos30°，解得AD＝100，BD，在Rt△ACD中，∠ACB＝45°，则AD＝CD＝100米，根据BC＝BD+CD可得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．
由题意可得∠BAD＝30°，∠ACB＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝200米，∠BAD＝30°，
∴sin30°，cos30°，
解得AD＝100，BD，
在Rt△ACD中，∠ACB＝45°，
则AD＝CD＝100米，
∴BC＝BD+CD＝（100）米．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
4．【答案】A
【分析】过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，
∵∠BDB'＝∠B'DC＝22.5°，
∴EB'＝B'F，
∵∠BEB′＝90°，
∴EB′＝B′F＝10米，
∴DF＝（20+10）米，
∴DC＝DF+FC＝20+101.6≈35.74＝35.7米．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
5．【答案】A
【分析】利用所给角的正切函数即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．
∴BC＝30tanα．
故选：A．
【点评】本题考查仰角、俯角的概念，以及三角函数的应用．
6．【答案】A
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝DE＝m米，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：AB＝DE＝m米，
在Rt△AED中，∠EAD＝45°，
∴AEm（米），
在Rt△ACE中，∠CAE＝α，
∴CE＝AE tanα＝mtanα（米），
∴CD＝CE+DE＝（mtanα+m）米，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．【答案】B
【分析】过点B作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝x米，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：过点B作BD⊥CA交CA的延长线于D，如图：
设BD＝x米，
∵∠BCA＝30°，
∴CDx，
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x，
则x﹣x＝80，
解得x40（1），
答：这段河的宽度为40（1）米．
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．【答案】B
【分析】设旗杆底部为点A，顶部为点B，无人机处为点C，延长AB，交点C处的水平线于点D，在Rt△BCD中，tan30°，解得BD，由AB＝AD﹣BD可得答案．
【解答】解：设旗杆底部为点A，顶部为点B，无人机处为点C，
延长AB，交点C处的水平线于点D，
由题意得，AD＝37米，CD＝45米，∠DCB＝30°，
在Rt△BCD中，tan30°，
解得BD，
∴AB＝AD﹣BD＝（37）米．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
9．【答案】D
【分析】根据题意可得：AC⊥BC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AC⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝10海里，
∴AC＝BC tan60°＝10（海里），
∴此时渔船与小岛A的距离为10海里，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．【答案】B
【分析】过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，根据三角形外角关系可证明三角形ABC为等腰三角形，则AB＝BC，再解直角三角形BCD即可求出礁石与船的最短距离．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
∵∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，
∴∠BCA＝15°，
∴AB＝CB＝30海里，
∴CDBC＝15海里，
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定、三角形外角的性质、方向角的定义，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】（10+10）．
【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC＝4x海里，AQ⊥BC，∠BAQ＝60°，∠CAQ＝45°，AB＝80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC＝40+404x，解方程即可．
【解答】解：如图所示：
设该船行驶的速度为x海里/时，
4小时后到达小岛的北偏西45°的C处，
由题意得：AB＝80海里，BC＝4x海里，
在直角三角形ABQ中，∠BAQ＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AQAB＝40，BQAQ＝40，
在直角三角形AQC中，∠CAQ＝45°，
∴CQ＝AQ＝40，
∴BC＝40+404x，
解得：x＝10+10．
即该船行驶的速度为（10+10）海里/时；
故答案为：（10+10）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．
12．【答案】（30+10）．
【分析】过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，证出∠ACB＝60°，由题意得∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，解直角三角形求出AE、CE的长，即可得到答案．
【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，
则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，
∴∠ACB＝20°+40°＝60°，
由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝30km，
∴AE＝BEAB＝30（km），
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB，
∴CE10（km），
∴AC＝AE+CE＝30+10（km），
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，
故答案为：（30+10）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．【答案】500sinα．
【分析】在Rt△APQ中，由sinα可求得AP，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，AQ＝500米，
在Rt△APQ中，AP＝AQ sinα＝（500sinα）米，
∴火箭A的高度是500sinα米，
故答案为：500sinα．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
14．【答案】4．
【分析】过点B作BD⊥AC于D，由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，利用三角形内角和定理求出∠C＝45°，再求出∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于D，
由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，
∴AB，CD＝BD＝2千米，
∴AB4（千米），
答：A，B两地的距离为4千米．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．【答案】4．
【分析】根据题意可得∠BAC＝30°，∠DCB＝30°，AB＝4×4＝16（m），然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，根据题意可知：∠BAC＝30°，∠DCB＝30°，AB＝4×4＝16（m），
∴∠ADC＝90°，设CD＝x m，
∴ADADx m，BDCDx m，
∵AD+BD＝AB，
∴xx＝16，
∴x＝4（m）．
答：这棵树与大厦的距离为4m．
故答案为：4．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，能够造出直角三角形是解题的关键．
16．【答案】（120﹣15）．
【分析】在Rt△ABH中，设BH＝x m，则AH＝3x m，则ABx＝20m，求出AH＝60；在Rt△ACG中，求出AGAC；在Rt△DNE中，∠DEN＝30°，则DE＝2ND，即可求解．
【解答】解：过点A作AH⊥BE于点H，延长DC交AH于点G，作DN⊥BE于点N，
则Rt△ABH中，设BH＝x m，则AH＝3x m，
则ABx＝20，
解得：x＝20，
则AH＝60（m），
在Rt△ACG中，由∠ACD为135°知，∠ACG＝45°，
则AGAC（m），
则GH＝AH﹣AG＝（60）m＝DN，
在Rt△DNE中，∠DEN＝30°，
则DE＝2ND＝（120﹣15）m，
故答案为：（120﹣15）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】任务1：C，D两点的垂直高度差为9米；
任务2：顶点A到水平地面的垂直高度为30米；
任务3：旗杆AB的高度为24米．
【分析】任务1：过点D作DH⊥CF，垂足为H，根据已知可设DH＝3x米，则CH＝4x米，然后在Rt△CDH中，利用勾股定理进行计算，即解答；
任务2：延长AB交FE的延长线于点M，延长DG交AB于点N，根据题意可得：DH＝NM＝9米，DN＝MH，然后设CM＝x米，则DN＝MH＝（x+12）米，从而分别在Rt△ACM和Rt△ADN中，利用锐角三角函数的定义求出AN和AM的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答；
任务3：若选择小组一的方案：在Rt△BCM中，利用锐角三角函数的定义求出BM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
若选择小组二的方案：在Rt△DNB中，利用锐角三角函数的定义求出BN的长，再在Rt△ADN中，利用锐角三角函数的定义求出AN的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：任务1：过点D作DH⊥CF，垂足为H，
∵斜坡CD的坡比为，
∴设DH＝3x米，则CH＝4x米，
在Rt△CDH中，CD5x（米），
∵CD＝15米，
∴5x＝15，
解得：x＝3，
∴DH＝9米，CH＝12米，
∴C，D两点的垂直高度差为9米；
任务2：延长AB交FE的延长线于点M，延长DG交AB于点N，
由题意得：DH＝NM＝9米，DN＝MH，
设CM＝x米，
∵CH＝12米，
∴DN＝MH＝CM+CH＝（x+12）米，
在Rt△ACM中，tan∠ACM＝2，
∴AM＝CM tan∠ACM＝2x（米），
在Rt△ADN中，tan∠ADN，
∴AN＝DN tan∠ADN（x+12）米，
∵AM＝AN+MN，
∴2x（x+12）+9，
解得：x＝15，
∴AM＝2x＝30（米），
∴顶点A到水平地面的垂直高度为30米；
任务3：若选择小组一的方案：
在Rt△BCM中，tan∠BCM，CM＝15米，
∴BM＝CM tan∠BCM＝156（米），
∴AB＝AM﹣BM＝30﹣6＝24（米），
∴旗杆AB的高度为24米；
若选择小组二的方案：
在Rt△DNB中，tan∠NDB，DN＝MH＝CM+CH＝15+12＝27（米），
∴BN＝DN tan∠NDB＝273（米），
在Rt△ADN中，tan∠ADN，
∴AN＝DN tan∠ADN＝2721（米），
∴AB＝AN+BN＝21+3＝24（米），
∴旗杆AB的高度为24米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．【答案】（1）土坡的水平距离AC为16m；
（2）树高DE约为17.2m．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BCF＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）延长ED交AC于G，得到∠AGD＝90°，设AG＝2x m，DG＝x m，根据勾股定理得到ADx＝5，求得AG＝2m，DGm，得到FG＝AC﹣AG+CF＝16﹣26＝（22+2）m，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BC⊥AF，
∴∠BCF＝90°，
∵∠BFC＝53°，CF＝6m，
∴，
∴BC＝8，
∵，
∴AC＝2BC＝16，
答：土坡的水平距离AC为16m；
（2）延长ED交AC于G，
则∠AGD＝90°，
∴，
设AG＝2x m，DG＝x m，
∴ADx＝5，
∴x，
∴AG＝2m，DGm，
∴FG＝AC﹣AG+CF＝16﹣26＝（22﹣2）m，
在Rt△EFG中，tan∠EFG，
∴EG（m），
∴DE＝EG﹣DG17.2（m），
答：树高DE约为17.2m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，正确地找出辅助线是解题的关键．
19．【答案】（1）小李家到路口D的路程是（7001000）米；
（2）小李先到达图书馆C．
【分析】（1）过C作CE⊥AB交AB的延长线于E，过D作DF⊥CE于F，根据矩形的性质得到DF＝AE，EF＝AD，解直角三角形即可得到结论；
（2）由（1）知，BE＝700米，求得BC＝2BE＝1400米，根据时间＝路程÷速度即可得到结论．
【解答】解：（1）过C作CE⊥AB交AB的延长线于E，过D作DF⊥CE于F，
则四边形AEFD是矩形，
∴DF＝AE，EF＝AD，
由题意得，∠DCF＝∠CDF＝45°，
∴DF＝CFCD10001000（米），
∴AE＝DF＝1000米，
∵AB＝300米，
∴BE＝AE﹣AB＝700（米），
∵∠EBC＝60°，
∴CEBE＝700（米），
∴AD＝EF＝CE﹣CF＝（7001000）米，
答：小李家到路口D的路程是（7001000）米；
（2）由（1）知，BE＝700米，
∴BC＝2BE＝1400米，
∵小李骑自行车的速度是300米/分钟，小张跑步的速度是240米/分钟，
∴小李所用时间为5.4（分钟），
小张所用时间为1400÷240＝5.8（分钟），
答：小李先到达图书馆C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．【答案】（1）CD＝375米；
（2）不符合安全标准．
【分析】（1）根据直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可；
（2）求出BP、AP的长，根据石梯的高度和宽度进行计算即可．
【解答】解：（1）如图1，由题意得，DN＝900米，∠DBC＝45°，∠DCM＝53°，BC＝75米，步道AB的坡度为1：，
在Rt△DBM中，∠DBM＝45°，
∴BM＝DM，
在Rt△DCM中，∠DCM＝53°，tan53°，
∴，
即CMDM，
∵BC＝75＝BM﹣CM，
∴DMDM＝75，
解得DM＝300（米），
∴MN＝BP＝900﹣300＝600（米），
sin53°，
∴CD＝375（米），
答：步道CD的长约为375米；
（2）这样修建的石梯不符合安全标准，理由如下：
如图2，BP＝600米＝600000mm，
∵步道AB的坡度为1：，即，
∴，
即AP＝600846（米）＝846000mm，
600000÷3600≈167（mm），
846000÷3600≈235（mm），
∵235＜260，
∴这样修建的石梯不符合安全标准．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及锐角三角函数是正确解答的关键．
21．【答案】0.7m．
【分析】根据题意画出图形，延长BC交AD于点E，可得则AE＝AD﹣DE＝0.6m，进而可得结果．
【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝0.6（m），
MN＝BC＝2CE＝20.7（m），
答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为0.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
22．【答案】4030．
【分析】作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，先解Rt△DBF得到米，再由斜坡BE的坡度i＝1：4，得到CF＝AB＝20米，解Rt△DCE得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，
在Rt△DBF中，，
∴米，
∵斜坡BE的坡度i＝1：4，
∴，
∵坡底AE的长为80米，
∴AB＝20米，
∴CF＝AB＝20米，
在Rt△DCE中，DC＝DF+CF＝（x+20）米，，
∴米，
∴，
∴，
∴，
∴CD＝DF+CF20＝4030（米），
答：大楼CD的高度是（4030）米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．
23．【答案】（1）12海里；
（2）若轮船继续向东航行，有触礁的危险，理由见解析过程．
【分析】（1）过点P作AB的垂线，求出角度后，利用等角对等边得出PB＝AB即可解决问题．
（2）求出点P到AB的距离，将这个距离与7进行比较即可解决问题．
【解答】解：（1）过点P作AB的垂线，垂足为M，
由题知，
∠PAM＝90°﹣75°＝15°，∠PBM＝90°﹣60°＝30°，
所以∠APB＝30°﹣15°＝15°，
所以BP＝AB＝12（海里），
答：轮船在B处时与小岛P的距离是12海里．
（2）有触礁的危险．
在Rt△PBM中，
sin∠PBM，
因为∠PBM＝30°，PB＝12，
所以，
则PM＝6，
因为6＜7，
所以若轮船继续向东航行，有触礁的危险．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，过点P作AB的垂线构造出直角三角形是解题的关键．
24．【答案】1.27km．
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，设点C到海岸线l的距离CH＝x km，根据正切的定义用x表示出AH，根据等腰直角三角形的性质用x表示出BH，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
设点C到海岸线l的距离CH＝x km，
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH，
∴AH＝CH tan∠ACHx（km），
在Rt△CHB中，∠CBH＝45°，
则BH＝CH＝x km，
由题意得：x+x＝2，
解得：x＝31.27，
答：点C到海岸线l的距离约为1.27km．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25．【答案】（1）线段CD的长度约为2.94km；
（2）能按时送达．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△ABE中，求出AE，从而得到CF，再在Rt△CDF中，即可求出CD；
（2）先求出路线A﹣B﹣C﹣D的总长，进而求出送餐需要的时间，再与16分钟比较即可判断是否能按时送达．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
∵C在点B的正东方，点D在点A的正东方，
∴四边形AFCE是矩形，
在Rt△ABE中，
∵AB＝3.6km，∠BAE＝45°，
∴AE＝AB cos45°＝3.62.55（km），
∴CF＝AE＝2.55km，
在Rt△CDF中，
∵∠DCF＝30°，
∴CD2.94（km），
答：线段CD的长度约为2.94km；
（2）送货司机按既定路线A﹣B﹣C﹣D路线长为AB+BC+CD＝3.6+2.4+2.94＝8.94（km），
按全程保持10m/s＝600m/分的速度匀速行驶，需要8940÷600＝14.9（分钟）＜16（分钟），
∴能按时送达．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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