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2.2 二次函数的图象与性质
一．选择题（共10小题）
1．对于抛物线y3，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）
B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）
D．开口向下，顶点坐标（5，3）
2．若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点A（2，m），B（n，﹣5）是关于x的“美好函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝4的右侧．有下列结论①4a+c＝0；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
3．已知以坐标轴原点为圆心的⊙O半径为2，抛物线y＝x2+2x+1的对称轴与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
4．已知二次函数y＝x2﹣2x+m的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3，当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 7 5 5 7 11 …
若点P（1，y1），Q（m﹣1，y2）都在该函数图象上，则y1和y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣1），且图象与y轴交于点（0，﹣9）．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，则旋转后得到的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣2（x+2）2﹣1 B．y＝﹣2（x+2）2+1
C．y＝2（x﹣2）2+1 D．y＝2（x﹣2）2﹣1
7．将抛物线y＝2x2﹣3x+2通过以下平移能得到抛物线y＝2x2﹣3x+4的是（　　）
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
8．关于二次函数y＝2（x﹣1）2+3的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值3 D．有最小值3
9．抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＞0，则直线y＝ax+k一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
10．设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
二．填空题（共6小题）
11．平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2﹣1在x轴和x轴下方的部分记作G1，将G1沿x轴翻折记作G2，G1和G2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 　 　．
①图形G关于原点对称；
②图形G关于直线y＝x对称；
③图形G的面积为S，满足2＜S＜π．
12．二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线 　 　．
13．抛物线y＝x2+2的顶点坐标为　 　．
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），其对称轴为直线l，若M＝a+b﹣c，N＝2a﹣b，P＝a+c，则在M，N，P中，值小于0的有 　 　个．
15．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是　 　（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．
16．若二次函数y＝ax2的图象开口向上，则a的取值范围是 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．在平面直角坐标系xOy中，点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx﹣3上，m＜x1＜m+1，2＜x2＜3．
（1）若点（2，﹣3）在抛物线上，求m的值；
（2）若对于任意的x1，x2，总有y2＞y1，求m的取值范围．
18．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1．
（1）二次函数顶点坐标是 　 　；
（2）完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象；
（3）根据图象直接回答：当x 　 　时，y随x的增大而减小；
（4）当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是 　 　．
x … 0 1 2 3 4
y＝x2﹣4x+3 … 3 0 0 3
19．（1）计算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．
（2）已知二次函数y＝x2+2x﹣5，对于一切实数x，函数值y＞t总成立，求t的取值范围．
20．已知点P（m，1）是抛物线y＝（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内，求m的值．
21．已知二次函数y＝x2+（n﹣3）x+n+1的图象经过坐标原点O．求这个二次函数的最小值．
22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝m（x+5）2+n与y＝m（x﹣3）2+n+1交于点A．如图，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C（点B在点C左侧），求线段BC的长．
23．已知是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 　 　；对称轴为 　 　．
（2）若点A的坐标为（2，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 　 　．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣1≤x＜3时，y的范围为 　 　．
24．定义新运算：对于任意实数m、n都有 m*n＝m2﹣mn．
例如：﹣2*2＝（﹣2）2﹣（﹣2）×2＝8，根据以上知识解决下列问题：
求抛物线y＝（x+2）*（﹣2）的顶点坐标．
25．如图，已知二次函数y＝x2+ax+a﹣4的图象经过点P（﹣2，﹣2）．
（1）求a的值和二次函数图象的顶点坐标；
（2）已知点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝﹣3时，求n的值；
②当m≤x≤m+1时，该二次函数有最小值1，请结合函数图象求出m的值．
2.2 二次函数的图象与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系及其顶点坐标进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线y（x﹣5）2+3中k0，
∴此抛物线开口向下，顶点坐标为：（5，3），
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系及顶点坐标公式是解答此题的关键．
2．【答案】A
【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝4的右侧即可求解．
【解答】解：∵点A（2，m），B（n，﹣5）是关于x的“美好函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“美好点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝5，n＝﹣2，
∴A（2，5），B（﹣2，﹣5），
y＝ax2+bx+c（a≠0）得：，
①﹣②得：b，
①+②得：4a+c＝0，故①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝4的右侧，
∴4，
∵b，抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，
∴b＞﹣8a，
∴a，
∴a＜0，故③正确，符合题意，
∵4a+c＝0，
∴c＝﹣4a，
∴a+b+c3a，
∵a＜0，
∴（﹣3）3a＞0×（﹣3），
∴a+b+c，故④错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②③．
故选：A．
【点评】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“美好函数”，“美好点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
3．【答案】A
【分析】先求出抛物线对称轴，再求出圆心到对称轴的距离，然后与半径比较即可．
【解答】解：∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴原点到直线x＝﹣1的距离为1，
∵1＜2，
∴直线x＝﹣1与以坐标轴原点为圆心的⊙O半径为2相交，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，二次函数的性质，关键是掌握圆心到直线的距离与半径的关系．
4．【答案】B
【分析】根据开口向上时距离对称轴越远函数值越大即可解答本题．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+m的对称轴为直线x1，开口向上，
如图所示，
根据x1、x2、x3距离对称轴越远函数值越大可知，y2＜y1＜y3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，开口向上时距离对称轴越远函数值越大是解答本题的关键．
5．【答案】D
【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可．
【解答】解：∵x＝﹣1时，y＝5；x＝0时，y＝5，
∴抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口向上，
∵点Q（m﹣1，y2），P（1，y1）在抛物线上，
∵（，
∴|m﹣1|≤|1|，
∴y1≥y2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
6．【答案】C
【分析】将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°后，顶点为（2，1），与y轴交于点（0，9），据此可得出所求的结论．
【解答】解：将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，顶点为（2，1），与y轴交于点（0，9），
∴y＝a（x﹣2）2+1，
把（0，9）代入得，9＝4a+1，
∴a＝2，
∴旋转后得到的函数解析式为y＝2（x﹣2）2+1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，求得二次函数的顶点坐标和与y轴的交点是解题的关键．
7．【答案】C
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2x2﹣3x+2向上平移2个单位，能得到的抛物线是y＝2x2﹣3x+2+2，即y＝2x2﹣3x+4．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
8．【答案】D
【分析】根据二次函数顶点式进行解答即可．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣1）2+3
顶点坐标为：（1，3），a＝2＞0，开口向上，有最小值3，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数顶点式的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．【答案】B
【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴，
∴0，
当a＞0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、三象限，
当a＜0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第二、三、四象限，
综上，直线y＝ax+k一定经过二、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
10．【答案】A
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（﹣5，y1）离直线x＝﹣1的距离最远，B（1，y2）点离直线x＝﹣1最近，
∴y2＞y3＞y1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】①③．
【分析】根据抛物线的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③．
【解答】解：由图形可知，图形G关于原点对称，不关于直线y＝x对称，故①正确，②错误；
观察图形，图形G的面积S大于两个△ABC的面积，小于⊙O的面积，
所以，图形G的面积满足2＜S＜π，故③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
12．【答案】．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线求解即可．
【解答】解：二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴公式为是解题关键．
13．【答案】（0，2）．
【分析】由二次函数顶点式坐标公式，直接得到答案．
【解答】解：抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查抛物线顶点坐标，熟练掌握顶点坐标公式是解题的关键．
14．【答案】2．
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），和与y轴交点的位置，可以判断M的符号；由抛物线的开口方向和对称轴，可以判断N的符号；由抛物线的开口、对称轴的位置、和过（1，0）点可以判断P的符号，最后综合得出结论，做出选择．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝﹣c，
又∵抛物线与y轴交在y轴的正半轴，
∴c＞0
∴M＝a+b﹣c＝﹣2c＜0，故M＜0；
抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，﹣1的右侧，
∴1，
∴2a﹣b＜0，故N＜0；
抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，因此a、b同号，
∴b＜0
∵a+b+c＝0，
∴a+c＝﹣b＞0，因此P＞0
综上所述：M＜0，N＜0，P＞0；
故答案为：2．
【点评】考查二次函数的图象和性质，主要抛物线的开口方向、对称性，增减性，过某个点、以及与x轴、y轴的交点等知识，正确的识图，用学习的知识做出判断是解决此类问题的关键，在解决问题的过程中，主要字母的符号，容易出现错误．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】分别计算出自变量为﹣3和0所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：∵点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1图象上的两点，
∴y1＝2（x﹣1）2﹣1＝2（﹣3﹣1）2﹣1＝31；y2＝2（x﹣1）2﹣1＝2（0﹣1）2﹣1＝1，
∴y1＞y2．
故答案为y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
16．【答案】a＞0．
【分析】由二次函数y＝ax2的图象开口向上，即可得到a的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的图象开口向上，
∴a＞0，
故答案为：a＞0．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握开口方向是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）m＝1；
（2）m≤1或m≥4．
【分析】（1）将点（2，3）代入解析式，即可求解；
（2）设抛物线上的四个点的坐标分别为A（m，nA），B（m+1，nB），C（2，nC），D（3，nD），点B关于对称轴直线x＝m的对称点为B′（m﹣1，nB），根据题意可得m﹣1≥3或m+1≤2，解不等式，即可求解．
【解答】解：（1）依题意，4﹣4m﹣3＝﹣3
解得：m＝1
（2）∵y＝x2﹣2mx﹣3＝（x﹣m）2﹣3﹣m2，1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m；
∴x≥m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小，
设抛物线上的四个点的坐标分别为A（m，nA），B（m+1，nB），C（2，nC），D（3，nD）
∴点B关于对称轴直线x＝m的对称点为B′（m﹣1，nB）
∴m﹣1≥3或m+1≤2
∴m≤1或m≥4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的对称性，是解题的关键．
18．【答案】（1）（2，﹣1）；
（2）图象见解答过程；
（3）当x＜2时，y随x的增大而减小；
（4）﹣1≤y＜8．
【分析】（1）先利用顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）解方程（x﹣2）2﹣1＝0，得抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）或（3，0），接着求出抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数的图象；
（3）据图象可以看出当x＜2时，y随x的增大而减小；
（4）求出二次函数的顶点坐标得出其最小值，然后将x＝﹣1代入函数解析式即可得出其最大值，从而得解．
【解答】解：（1）∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
（2）当y＝0时，（x﹣2）2﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）或（3，0），
当x＝0时，y＝（x﹣2）2﹣1＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图，
（3）据图象可以看出当x＜2时，y随x的增大而减小；
（4）由图象，函数对称轴为x＝2，
当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝﹣1，即最小值为﹣1，
x＝﹣1到对称轴的距离为3，x＝4到对称轴的距离为2，
∵3＞2，
∴x＝﹣1时，函数值最大，为y＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+3＝8，
故答案为：﹣1≤y＜8．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．
19．【答案】（1）；
（2）t＜﹣6．
【分析】（1）将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案；
（2）求出函数的最小值即可．
【解答】解：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°
；
（2）∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴当 x＝﹣1 时，y有最小值为﹣6，
∵对于一切实数x，若函数y＞t值总成立，
∴t＜﹣6．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值和二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
20．【答案】m＝2．
【分析】将点P的坐标代入抛物线的解析式，从而可以求得m的值．
【解答】解：∵点P（m，1）是抛物线y＝（x﹣1）2上的点，
∴1＝（m﹣1）2，
解得：m＝2或m＝0，
∵点P在第一象限内，
∴m＝2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
21．【答案】﹣4．
【分析】根据题意将原点代入二次函数解析式即可求得n值，利用二次函数开口方向判断函数最值，再利用最值公式即可求得本题答案．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+（n﹣3）x+n+1经过原点，
∴将原点（0，0）代入得：n+1＝0，
∴n＝﹣1，
∴二次函数为y＝x2﹣4x，
∵a＝1＞0，
∴二次函数的有最小值，
∴当时，．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，待定系数法解方程，正确记忆二次函数的性质是解题关键．
22．【答案】16．
【分析】根据抛物线的对称性即可解决问题．
【解答】解：由题知，
两条抛物线的对称轴分别为直线x＝﹣5和直线x＝3，
令直线BC与这两条对称轴的交点分别为M和N，
因为直线BC平行于y轴，
则MN＝3﹣（﹣5）＝8，
又因为BM＝AM，CN＝AN，
所以BC＝AB+AC＝2（AM+AN）＝2MN＝16，
故线段BC的长为16．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．
23．【答案】（1）﹣3，y轴；
（2）（﹣2，﹣4）；
（3）﹣9＜y≤0．
【分析】（1）根据二次函数定义以及当x＜0时，y随x的增大而增大．可得出结论；
（2）根据函数的对称性求点A对称点的坐标即可；
（3）当x＝﹣1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣9并结合函数图象求出y的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得k+2≠0且k2+k﹣4＝2，
解得k1＝﹣3，k2＝2，
∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0，
∴k＝﹣3；
∴二次函数为y＝﹣x2，
∴对称轴为y轴．
故答案为：﹣3，y轴；
（2）把A（2，m）代入y＝﹣x2得，m＝﹣4，
∴A（2，﹣4），
∵对称轴为y轴，
∴该图象上点A的对称点的坐标为（﹣2，﹣4）；
故答案为：（﹣2，﹣4）；
（3）如图所示：
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2＝﹣1，
当x＝3时，y＝﹣32＝﹣9，
∴当﹣1≤x＜3时，﹣9＜y≤0，
故答案为：﹣9＜y≤0．
【点评】本题考查二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，关键是求二次函数的解析式．
24．【答案】（﹣3，﹣1）．
【分析】利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案．
【解答】解：根据题意知，
y＝（x+2）2﹣（﹣2）（x+2）＝x2+4x+4+2x+4＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，
∴顶点坐为（﹣3，﹣1）．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标，解题的关键是掌握新定义运算法则．
25．【答案】（1）2，（﹣1，﹣3）；（2）①1；②﹣4或1．
【分析】（1）将点P（﹣2，﹣2）代入二次函数，利用待定系数法求解a的值；将该二次函数的解析式配方，可得图象的顶点坐标；
（2）①将m＝﹣3代入二次函数的解析式即可求出n的值；
②当二次函数的y值为1时，求出x的2个值，根据m≤x≤m+1的端点可求出m的值．
【解答】解：（1）将点P（﹣2，﹣2）代入 y＝x2+ax+a﹣4，
得 4﹣2a+a﹣4＝﹣2，
解得 a＝2，
∴二次函数的表达式为 y＝x2+2x﹣2，
∵y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3，
∴二次函数图象的顶点坐标为 （﹣1，﹣3）；
（2）①将 x＝﹣3 代入 y＝x2+2x﹣2，
得 y＝9﹣6﹣2＝1，
∴当 m＝﹣3 时，n＝1；
②由（1），可知抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，点（﹣3，1）关于直线 x＝﹣1 的对称点为（1，1），如解图所示，
根据函数图象，若满足当m≤x≤m+1时，该二次函数有最小值1，
则 m+1＝﹣3 或 m＝1，
∴m＝﹣4 或 m＝1．
【点评】本题考查二次函数的图象、性质、最值等，熟练掌握二次函数及图象特点是解答有关二次函数问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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