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2.5 二次函数与一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．若抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0），则代数式m2+m+119的值为（　　）
A．118 B．119 C．120 D．121
2．关于抛物线y＝（x﹣2）2+4图象的性质，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是x＝2
C．顶点坐标是（2，4） D．与x轴有两个交点
3．已知二次函数y＝x2+x+1，则下列关于这个函数图象和性质的说法错误的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是
C．图象的对称轴是直线
D．图象与x轴无交点
4．若关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（　　）
A．4 B．﹣3 C．5 D．﹣6
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③x时，函数y＝﹣ax2+（m﹣b）x+n+3有最大值；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　）
x
6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06
A．6.17 B．6.18 C．6.19 D．6.20
7．如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），则另一交点的坐标是（　　）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（1，0） D．（2，0）
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），则以下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＝0．其中正确的结论个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
10．如图，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与x轴交于AB两点，Rt△ABC的顶点C在抛物线对称轴上，P为AB上一点，且AP＝2，则tan∠ACP的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．抛物线y＝x2+4x﹣m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 　 　．
12．若二次函数y＝（a+1）x2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个公共点，且关于y的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　 　．
13．二次函数y＝ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根，则c的最小值为 　 　．
14．若二次函数y＝x2x+cosα与x轴只有1个公共点，则锐角α＝　 　度．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于点A，B（4，0），交y轴于点C，以OC为边的正方形OCDE的顶点D在抛物线上，则点A的坐标是 　 　．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；
（3）若方程ax2+bx+c＝k无实数根，写出k的取值范围．
18．二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标和a的值；
（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围．
19．如图，二次函数图象顶点坐标为（﹣1，﹣4），与x轴一个交点坐标为（1，0）．
（1）该函数图象与x轴的另一个交点坐标为 　 　；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 　 　．
20．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣8m（m≠0）．
（1）当y＝0时，求x的值；
（2）点Q（a，b）是抛物线上一点，若m＜0，且a≥0时b≤3，求m的值；
（3）当m＝﹣1时，把抛物线G向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线H，设抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，请求出n的取值范围．
21．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为2的圆上，则DE+EF的最小值是 　 　．
22．如图，一次函数y＝﹣2x+6的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A、B两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当x取何值时，﹣2x+6＞﹣x2+bx+c＞0；
（3）点P是抛物线在第一象限上的一个动点，是否存在点P，使△ABP面积最大，若存在，求出此时点P坐标以及△ABP面积，若不存在，请说明理由．
23．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）当y≥0时，写出x的取值范围．
24．已知抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．
2.5 二次函数与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】根据抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0），可以求得m2+m的值，然后代入所求式子即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0），
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴m2+m+119＝1+119＝120，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、代数式求值，解答本题的关键是求出m2+m的值．
2．【答案】D
【分析】由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，可判断A、B、C，令y＝0计算相应的一元二次方程的判别式即可判断D，则可求得答案．
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+4，
∴抛物线开口向上、对称轴为x＝2、顶点坐标为（2，4），故A、B、C说法是正确的；
在y＝（x﹣2）2+4中，令y＝0可得（x﹣2）2+4＝0，
∴（x﹣2）2＝﹣4，
∵（x﹣2）2≥0，﹣4＜0，
∴该方程无解．
∴抛物线与x轴没有交点，
∴选项D的说法是错误的，
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
3．【答案】C
【分析】利用a＞0可对A选项进行判断；利用配方法把一般式配成顶点式，则可对B选项和C选项进行判断；通过计算根的判别式的值，利用根的判别式的意义可对D选项进行判断．
【解答】解：y＝x2+x+1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，所以A选项不符合题意；
∵y＝x2+x+1＝（x）2，
∴抛物线的顶点坐标为（，），所以B选项不符合题意；
抛物线的对称轴为x，所以C选项符合题意；
∵Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
4．【答案】B
【分析】关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可．
【解答】解：∵关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4×3＞0，
∴b2＞12，
∴四个选项中只有B选项中的数不满足b2＞12，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．【答案】C
【分析】根据函数与不等式及方程份关系求解．
【解答】解：由图象得：直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A（﹣2，5），B（3，0），且当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；
故①是正确的；
②∵点B在y2上，
∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，
故②是正确的；
③设y＝y2﹣y1＝﹣ax2+（m﹣b）x+n+3，
由题意得：当x＝﹣2或x＝3时，y＝0，
∴对称轴为：x，
∵a＞0，
∴﹣a＜0，
∴当x时，函数y＝﹣ax2+（m﹣b）x+n+3有最大值，
∴③是正确的；
④当﹣2＜x＜3时，y2的最大值为5，最小值为顶点的纵坐标，故④是错误的；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握二次函数与不等式的关系及数形结合思想是解题的关键．
6．【答案】B
【分析】根据表格中的数据可得出“当x＝6.18时，y＝﹣0.01；当x＝6.19时，y＝0.02．”由﹣0.01更接近于0即可得出结论．
【解答】解：当x＝6.18时，y＝﹣0.01；当x＝6.19时，y＝0.02．
∵﹣0.01更接近于0，
∴方程的一个近似根为6.18．
故选：B．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
7．【答案】A
【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线x＝1求解．
【解答】解：抛物线对称轴为直线x＝1，点A坐标为（﹣1，0），
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为（3，0），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．
8．【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，c＜0，0，b＜0，∴abc＞0，结论正确；
②∵抛物线的对称轴是直线x1，∴2a+b＝0，结论正确；
③图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，结论正确；
④当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，结论正确．
故正确结论有4个．
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
9．【答案】D
【分析】由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣1，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系．
10．【答案】A
【分析】根据题意，求出AP，CP及AC的长即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与x轴交于AB两点，
∴A（﹣1，0），B（5，0）．
∵抛物线的对称轴为直线x，
∴点C的横坐标为2．
又∵△ABC是直角三角形，且C为顶点，
∴点C的纵坐标为3，
故点C的坐标为（2，3）．
令抛物线的对称轴与x轴的交点为D，过点A作CP的垂线，垂足为H，
∵AP＝2，AD＝3，
∴PD＝1．
在Rt△CPD中，
CP．
同理可得，AC．
∵，
∴AH．
∴CH．
在Rt△ACH中，
tan∠ACP．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形及二次函数的图象和性质，过点A作CP的垂线构造出直角三角形是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】（﹣5，0）．
【分析】根据抛物线解析式求得该抛物线的对称轴，然后结合抛物线与x轴的一个交点的坐标是（1，0），计算出抛物线与x轴的另一个交点坐标．
【解答】解：由抛物线y＝x2+4x﹣m知：该抛物线的对称轴为直线x2．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为2×（﹣2）﹣1＝﹣5，
则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0），
故答案为：（﹣5，0）．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，根据抛物线解析式y＝x2+4x﹣m确定抛物线的对称轴是解题关键．
12．【答案】1．
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组至少有两个整数解确定出a的取值范围，再根据二次函数y＝（a+1）x2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个公共点，由判别式Δ＞0求出a的取值范围，然后由a为整数，确定出a的值，进而求和，即可得出结论．
【解答】解：不等式组，
解①得y＜5，
解②得y≥2a﹣1，
∴不等式组的解集为：2a﹣1≤y＜5，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴2a﹣1≤3，
解得a≤2，
∵二次函数y＝（a+1）x2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个公共点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（a+1）×（﹣2）＝16+8（a+1）＞0，
解得a＞﹣3，
∴﹣3＜a≤2，
∵a为整数，
∴a＝﹣2，﹣1，0，1，2，
∵a≠﹣1，
∴符合条件的所有整数a的和为﹣2+0+1+2＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及解一元一次不等式组，根据题意得到关于a的不等式是解本题的关键．
13．【答案】﹣4．
【分析】结合图象可得y≤4，即ax2+bx≤4，由ax2+bx+c＝0可得ax2+bx＝﹣c，则有﹣c≤4，即可解决问题．
【解答】解：由图可知：y≤4，即ax2+bx≤4，
∵ax2+bx+c＝0，
∴ax2+bx＝﹣c，
∴﹣c≤4，
∴c≥﹣4．
∴c的最小值为﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查抛物线与一元二次方程之间的关系、解一元一次不等式等知识，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
14．【答案】60．
【分析】先利用根的判别式的意义得到Δ＝（）2﹣4×1×cosα＝0，则可得到cosα，然后根据特殊角的三角函数值确定锐角α的度数．
【解答】解：∵二次函数y＝x2x+cosα与x轴只有1个公共点，
∴Δ＝（）2﹣4×1×cosα＝0，
解得cosα，
∴锐角α＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，理解根的判别式的意义是解决问题的关键．也考查了特殊角的三角函数值．
15．【答案】（﹣1，0）．
【分析】先根据正方形的性质求出D的坐标，再根据抛物线的对称性求解．
【解答】解：设A（a，0），
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
在正方形OCDE中，
CD＝OC＝3，
∴D（3，3），
根据抛物线的对称性得：0+3＝a+4，
解得：a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题考查了抛物线的与x轴的交点，掌握抛物线的对称性是解题的关键．
16．【答案】x＝1或x＝3．
【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，
故答案为：x＝1或x＝3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）（2）（3）利用图象法即可解决问题．
【解答】解：（1）观察图象可知，方程ax2+bx+c＝0的根，即为抛物线与x轴交点的横坐标，
∴x1＝0，x2＝2．
（2）观察图象可知：不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜0或x＞2．
（3）由图象可知，k＞2时，方程ax2+bx+c＝k无实数根．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
18．【答案】（1）点B的坐标为（1，0），a＝﹣1；
（2）x的取值范围为﹣3＜x＜1．
【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求得B点坐标，再把B点坐标代入解析式可求出a的值；
（2）根据二次函数的性质结合函数图象可得结论．
【解答】解：（1）∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0），
把点B坐标代入y＝a（x+1）2+4得，4a+4＝0，
解得a＝﹣1；
（2）∵a＜0，二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交点为（﹣3，0）和（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数的性质．
19．【答案】（1）（﹣3，0）；
（2）二次函数的表达式表达式为y＝（x+1）2﹣4；
（3）﹣4≤y＜5．
【分析】（1）根据函数的对称性可得结论；
（2）用待定系数法可求解析式即可；
（3）根据函数的性质结合函数图象求y的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴一个交点坐标为（1，0），
∴二次函数图象与x轴的另一交点为（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）；
（2）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2﹣4，
把（1，0）代入解析式得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴二次函数的表达式表达式为y＝（x+1）2﹣4；
（3）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴抛物线的最小值为﹣4，
∵﹣1﹣（﹣4）＝3＞0﹣（﹣1）＝1，
∴当x＝﹣4时，y＝5，
∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜5，
故答案为：﹣4≤y＜5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象的性质，用待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象的性质是本题的关键．
20．【答案】（1）x＝4或x＝﹣2；（2）m；（3）5＜n≤9．
【分析】（1）依据题意，由mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝0，结合m≠0，解方程即可得解；
（2）依据题意，y＝mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝m（x﹣1）2﹣9m，又m＜0，从而当x＝1时，函数y＝m（x﹣1）2﹣9m有最大值为﹣9m，又此时点Q（a，b）是抛物线上一点，a≥0时，都有b≤3，进而﹣9m＝3，故可以得解；
（3）依据题意，当m＝﹣1时，抛物线G为y＝﹣（x﹣1）2+9，从而表示出H为y＝﹣（x﹣1）2+9﹣n，抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，从而若当x1＝﹣1时，y＝5﹣n＝0，结合二次函数的性质，n＞5，又抛物线H与x轴有交点，故9﹣n≥0，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意得，mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝0，
又m≠0，
∴x2﹣2x﹣8＝0．
∴（x﹣4）（x+2）＝0．
∴x＝4或x＝﹣2．
（2）由题意，y＝mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝m（x﹣1）2﹣9m．
∵m＜0，
∴当x＝1时，函数y＝m（x﹣1）2﹣9m有最大值为﹣9m．
又此时点Q（a，b）是抛物线上一点，a≥0时，都有b≤3，
∴﹣9m＝3．
∴m．
（3）由题意，当m＝﹣1时，抛物线G为y＝﹣（x﹣1）2+9．
∴把抛物线G向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线H为y＝﹣（x﹣1）2+9﹣n．
∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，
又若当x1＝﹣1时，y＝5﹣n＝0，
∴n＝5．
∵开口向下，
∴n＞5．
又抛物线H与x轴有交点，
∴9﹣n≥0．
∴n≤9．
∴5＜n≤9．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
21．【答案】23．
【分析】过点D作y轴的对称点H（﹣12，15），连接CH交y轴于点E，交圆C于点F，则点E、F为所求点，即可求解．
【解答】解：由题意得：点A、B、C的坐标分别为（0，15）、（4，0）、（8，0），
函数的对称轴为x＝6，则点D（12，15），
过点D作y轴的对称点H（﹣12，15），连接CH交y轴于点E，交圆C于点F，则点E、F为所求点，
理由：∵点H、D关于y轴对称，则EH＝ED，
则DE+EF＝HE+EF＝HF为最小，
则DE+EF最小＝HF＝HC﹣22＝23，
故答案为23．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出一次函数y＝﹣2x+6与y轴、x轴交点A、B的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）观察图象直接得到答案；
（3）过点P作y轴的平行线PQ交AB于点Q，先利用图象上点的特征表示出P、Q两点的坐标，再求出PQ的长，进而表示出△ABP的面积，利用顶点坐标求最值．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+6的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，
∴A（0，6），B（3，0），
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A、B两点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式的解析式为：y＝﹣x2+x+6；
（2）当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0），（3，0），
当x＜0或x＞3时，﹣2x+6＞﹣x2+bx+c，
但只有当﹣2＜x＜0时，﹣2x+6＞﹣x2+bx+c＞0，
当﹣2＜x＜0时，﹣2x+6＞﹣x2+bx+c＞0；
（3）过点P作y轴的平行线PQ交AB于点Q，
由点P在y＝﹣x2+x+6的图象上，
可设P（m，﹣m2+m+6）（0＜m＜3），则Q（m，﹣2m+6），
则PQ＝﹣m2+m+6+2m﹣6＝﹣m2+3m，
∴S△ABPOB×PQ3×（﹣m2+3m）（m）2，
∵0，
∴当m时，即P点坐标为（，）时，S△ABP取得最大值，最大值为．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与不等式组、二次函数的最值问题，观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键．
23．【答案】（1）抛物线与x轴的交点坐标为 （5，0）、（1，0）；
（2）当y≥0时，1≤x≤5．
【分析】（1）解方程x2+2x﹣3＝0可得到抛物线与x轴的交点坐标；
（2）写出函数图象不在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+6x﹣5＝0，
解得x1＝5，x2＝1
∴抛物线与x轴的交点坐标为 （5，0）、（1，0）；
（2）∵二次函数y＝﹣x2+6x﹣5图象开口向下，
∴当y≥0时，1≤x≤5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
24．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）把解析式设为交点式，再把点C坐标代入解析式中求解即可；
（2）根据题意G是边AB，BC垂直平分线的交点，由AB的垂直平分线为直线x＝2，可设点G的坐标为（2，m），利用勾股定理求出GB2，GC2，据此利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6）．
将C（0，﹣3）代入y＝a（x+2）（x﹣6）得﹣3＝﹣12a，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）∵点G到A，B，C三点的距离相等，
∴G是边AB，BC垂直平分线的交点，
∴GA＝GB＝GC，
∵A（﹣2，0），B（6，0），
∴AB的垂直平分线为直线x＝2，
∴可设点G的坐标为（2，m），
∴GB2＝（2﹣6）2+m2＝m2+16，GC2＝（2﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+13，
∵GB＝GC，
∴m2+6m+13＝m2+16，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等等，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
25．【答案】（1）见解析；
（2）1＜m＜2．
【分析】（1）表示出Δ，根据Δ的数值判断即可；
（2）利用公式求出两根，根据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可．
【解答】解：（1）依题意，得
∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4＞0
∴方程总有两个实数根；
（2）解：方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0
由（1）得Δ＝4
∴，
∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，
∵方程的一根大于2，一根小于1，m+1＞m﹣1
∴
∴1＜m＜2．
∴m的取值范围是1＜m＜2．
【点评】本题考查了一元二次方程，相关知识点有：根的判别式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的知识点是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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