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3.2 圆的对称性
一．选择题（共10小题）
1．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，圆的半径为2，且CB＝CD＝2，AB＝AD，则该S四边形ABCD＝（　　）
A．4 B．2 C．3 D．6
2．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，，AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（　　）
A．1 B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．等弧所对的弦相等
B．相等的弦所对的弧相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．相等的圆心角所对的弦相等
4．下列语句中不正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
5．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则△OBC的面积是（　　）
A．3 B．1.5 C． D．
6．在⊙O中2，则弦AB与弦CD的大小关系是（　　）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD
7．如图，在⊙O中，，则∠BOC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．150°
8．如图，在⊙O中，2，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD
C．AB＜2CD D．以上都不正确
9．如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＝CD，AC为直径，若四边形ABCD的面积是S，BD的长是x，则S与x之间的函数关系式是（　　）
A．S＝x2 B．Sx2 C．Sx2 D．Sx2
10．因班级文化建设需要，小方需要在一张2cm×24cm的矩形卡纸中裁剪出若干张半径为2cm，圆心角是30°的扇形纸片，若采取如图所示进行裁剪，则最多可以裁剪出扇形纸片（　　）张．
A．20 B．21 C．40 D．41
二．填空题（共6小题）
11．已知圆的半径为1，弦，则弧AB的度数是 　 　．
12．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB＝2，BC＝1，则⊙O的半径为 　 　．
13．如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝　 　．
14．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是　 　度．
15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC 　 　BD（填“＞”“＜”或“＝”）．
16．如图，在⊙O中，，∠1＝45°，则的度数为 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．已知，如图，AD＝BC．求证：AB＝CD．
18．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AE的长．
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求，，的度数．
20．如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，，AE交CD于F．求证：CF＝AF．
21．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．
22．已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE．
求证：．
23．如图，点A，B，C，D在⊙O在中，若BC＝AD，
求证：AC＝BD．
24．如图AB、CD是⊙O的两条弦，相交于点P，若AB＝CD，求证：
（1）AD＝BC；
（2）PA＝PC．
25．已知锐角∠POQ，如图，在射线OP上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作，交射线OQ于点B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，交于点E，F，连接OE，EF．
（1）证明：∠EAO＝∠BAO；
（2）若OE＝EF．求∠POQ的度数．
3.2 圆的对称性
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】连接AC，求出，求出AC是圆的直径，根据勾股定理求出AD、AB，分别求出△ADC和△ABC的面积即可．
【解答】解：连接AC，
∵CB＝CD，AD＝AB，
∴，，
∴，
即AC是圆的直径，
∴∠D＝∠B＝90°，
∵圆的半径为2，
∴AC＝4，
∵CB＝CD＝2，
由勾股定理得：AD＝AB2，
∴S四边形ABCD
＝S△ADC+S△ABC
＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
2．【答案】C
【分析】由圆周角定理得出∠AOC＝90°，由直角三角形的性质求出OE的长，则可得出答案．
【解答】解：∵，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵∠DAB＝30°，，
∴OE＝OA tan30°1，
∵OA＝OC，
∴CE＝OC﹣OE1．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系及直角三角形的性质，解题的关键是根据题意求出∠AOC＝90°．
3．【答案】A
【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可解答．
【解答】解：A、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确；
B、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误；
D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故原说法错误；
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键．
4．【答案】D
【分析】①和④、没有前提；②、注意不是直径的弦；③、注意对称轴是直线．
【解答】解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过直径所在的直线才是它的对称轴．
故选：D．
【点评】在叙述命题时注意要强调命题成立的条件．
5．【答案】B
【分析】连接AD、DC、OD，过C点作CE⊥AB于E点，过O点作OF⊥CE于F点，OH⊥BC于H点，如图，先根据垂径定理的推论得到OD⊥AB，则利用勾股定理可计算出OD＝1，再根据折叠的性质得到和在等圆中，由于它们所对的圆周角定理得到，则AC＝DC，于是根据等腰三角形的性质得到AE＝DE＝1，接着证明四边形ODEF为正方形得到EF＝OF＝1，则可计算出CF＝2，BC＝3，所以BH＝CH，然后利用勾股定理计算出OH，最后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：连接AD、DC、OD，过C点作CE⊥AB于E点，过O点作OF⊥CE于F点，OH⊥BC于H点，如图，
∵点D为AB的中点，
∴OD⊥AB，AD＝BD＝2，
在Rt△OBD中，OD1，
∵弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴和在等圆中，
∴，
∴AC＝DC，
∵CE⊥AD，
∴AE＝DE＝1，
∵∠ODE＝∠DEF＝∠OFE＝90°，DE＝DO＝1，
∴四边形ODEF为正方形，
∴EF＝OF＝1，
在Rt△OCD中，CF2，
∴CE＝CF+EF＝3，
在Rt△BCE中，BC3，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
在Rt△OBH中，OH，
∴△OBC的面积3．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理．
6．【答案】C
【分析】根据两弧的关系，作出的中点E，则AE＝BE＝CD，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论．
【解答】解：AB＜2CD．
取的中点E，连接EA、EB，则，
所以EA＝EB＝CD，
在△ABE中，AE+BE＞AB，即2CD＞AB，
则AB＜2CD，
∴CD＜AB＜2CD，
故选：C．
【点评】本题主要考查了：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立．
7．【答案】C
【分析】证明△ABC是等边三角形，求出∠BAC＝60°，根据圆周角定理求出即可．
【解答】解：∵，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠A的度数和根据定理得出∠BOC＝2∠A是解此题的关键．
8．【答案】C
【分析】首先取的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中，2，可证得，即可得AE＝BE＝CD，然后由三角形的三边关系，求得答案．
【解答】解：取的中点E，连接AE，BE，
∵在⊙O中，2，
∴，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：C．
【点评】此题考查了弧与弦的关系以及三角形的三边关系．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧，所对的弦相等．
9．【答案】C
【分析】作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N，由条件推出△DAM≌△DCN（AAS），得到AM＝DN，从而可以证明AM+CN＝BD，由三角形面积公式即可解决问题．
【解答】解：作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N，
∴∠AMD＝∠CND＝90°，
∵∠DAM+∠ADM＝∠CDN+∠ADM＝90°，
在△DAM和△CDN中，
，
∴△DAM≌△CDN（AAS），
∴AM＝DN，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∵∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠NBC＝∠NCB＝45°，
∴BN＝NC，
∴AM+CN＝DN+BN＝BD＝x，
∴S＝△ABD的面积+△BCD的面积，
∴SBD AMBD CN
BD （AM+CN）
BD2
x2．
故选：C．
【点评】本题考查圆心角，弦，弧的关系，圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是把四边形ABCD的面积分成两个三角形的面积．
10．【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质得到BCAB，根据题意列式计算即可．
【解答】解：如图，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，
∴BCAB，
∴242＝2440，
答：最多可以裁剪出扇形纸片40，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】90°．
【分析】如图，连接OA、OB，先根据勾股定理的逆定理证明△OAB为直角三角形得到∠AOB＝90°，然后利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵OA＝OB＝1，AB，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为直角三角形，∠AOB＝90°，
∴弧AB的度数为90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．也考查了勾股定理的逆定理．
12．【答案】．
【分析】过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得结论．
【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，连接AC．
∵∠AOC＝90°，
∴∠ABC（360°﹣90°）＝135°，
∴∠ABE＝45°，
∵∠E＝90°，AB＝2，
∴AE＝EB＝2，
∵BC＝1，
∴EC＝3，
∴AC，
∴OA＝OCAC．
故答案为：．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求解．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴∠COD＝∠AOB，
∵∠AOB＝50°，
∴∠COD＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论，三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】如图，连接OA、OB，先证明△ABC为等边三角形，则可得到∠AOB＝60°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵AB＝OA＝OB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弧的度数是60°．
故答案为60．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
15．【答案】＝．
【分析】根据同圆与等圆中，圆心角、弦、弧的关系得出即可．
【解答】解：∵，
∴，
即，
∴AC＝BD，
故答案为：＝．
【点评】本题考查圆心角、弦、弧的关系，掌握在同圆与等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余两组量也对应相等是正确解答的前提．
16．【答案】45°．
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．
【解答】解：∵，∠1＝45°，
∴∠2＝∠1＝45°，
∴的度数为45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到，则，所以AB＝CD．
【解答】证明：∵AD＝BC，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝CD，推出△ABE≌△CDE，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，根据垂径定理得到AF＝FD，BG＝OG，由于AD＝BC，于是得到AF＝CG，推出Rt△AOF≌Rt△OCG，根据全等三角形的性质得到OF＝OG，证得四边形OFEG是正方形，于是得到OF＝EF，设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵，
∴AB＝CD，
在△ABE与△CDE中，，
∴△ABE≌△CDE，
∴BE＝DE；
（2）过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，
根据垂径定理得：AF＝FD，BG＝OG，
∵AD＝BC，
∴AF＝CG，
在Rt△AOF与Rt△OCG中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△OCG（HL），
∴OF＝OG，
∵AD⊥CB，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF，
设OF＝EF＝x，
则AF＝FD＝x+1，
∴OF2+AF2＝OA2，
即：x2+（x+1）2＝52，
解得：x＝3，x＝﹣4（舍去），
∴AF＝4，
∴AE＝7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，熟练则全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接BE、AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据直径得出∠BEA＝∠ADB＝90°，求出∠ABE、∠DAB、∠DAC的度数，根据圆周角定理求出即可．
【解答】解：（1）连接BE、AD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥CB，
∴BD＝CD，
（2）∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°，
AD⊥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠BAD＝∠DAC∠BAC＝20°，
∴由圆周角定理得：弧BD所对的圆心角的度数是2∠DAB＝40°，
弧DE所对的圆心角的度数是2∠DAE＝40°，
弧AE所对的圆心角的度数是2∠ABE＝100°．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查了学生的推理能力和计算能力，注意：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半．
20．【答案】见解析．
【分析】连接AC，根据垂径定理得，再根据，得，根据圆心角、弧、弦的关系得∠C＝∠CAF，即可得出结论．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，
∵，
∴弧AD＝弧CE，
∴∠C＝∠CAF，
∴CF＝AF．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握以上知识点是解题的关键．
21．【答案】见解答过程．
【分析】根据弦和弧的关系，由AB＝CD可得，进而得到，即可证明AD＝BC．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴AD＝BC．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆心角，弧、弦之间的关系定理是解题的关键．
22．【答案】证明过程见解答．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出∴，，再求出答案即可．
【解答】证明：∵圆心角∠BOE＝圆心角∠AOD，
∴，
∵BE＝CE，
，
∴．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，能熟记圆心角、弧、弦的关系是解此题的关键，在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，如果其中一对量相等，那么其它两对量也分别相等．
23．【答案】见解析．
【分析】根据BC＝AD，得，所以，根据圆心角、弧、弦的关系定理即可得出结论．
【解答】证明：∵BC＝AD，
∴，
∴，
即，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
24．【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）如图所示，连接AC，利用AAS证明△CAD≌△ACB即可证明AD＝BC；
（2）由AD＝BC可得∠BAC＝∠DCA，即可证明PA＝PC．
【解答】证明：（1）证如图所示，连接AC，
∵AB＝CD，
∴
∴∠CAD＝∠ACB，
又∵∠D＝∠B，
∴△CAD≌△ACB（AAS），
∴AD＝BC；
（2）∵AD＝BC，
∴
∴∠BAC＝∠DCA，
∴PA＝PC．
【点评】本题主要考查了同圆中等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
25．【答案】（1）证明见解析；
（2）20°．
【分析】（1）由题意得OB＝OE＝OA，AE＝AB，则∠EAO＝∠AEO，∠BAO＝∠ABO，，再证出∠AOE＝∠AOB，即可得出结论；
（2）连接OE、OF，证OE＝OF＝EF，则∠EOF＝60°，再证，得∠AOE＝∠BOF＝∠AOB，即可求解．
【解答】（1）证明：连接AE、OE、OF，如图所示，
由题意得：OB＝OE＝OA，AE＝AB，
∴∠EAO＝∠AEO，∠BAO＝∠ABO，，
∴∠AOE＝∠AOB，
∴∠EAO＝∠BAO；
（2）解：∵OE＝OF，OE＝EF，
∴OE＝OF＝EF，
∴∠EOF＝60°，
∵AE＝BF＝AB，
∴，
∴∠AOE＝∠BOF＝∠AOB，
∴∠POQ∠EOF＝20°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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