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第1章 直角三角形的边角关系
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，下列用线段比表示cosA的值，错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为（　　）m．
A．3 B．5 C．2 D．4
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC：AB＝12：13，则tanA的值是（　　）
A． B． C． D．
4．已知实数a＝tan30°，b＝cos60°，c＝sin45°，则下列判断正确的是（　　）
A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b
5．若tanα，则锐角α的度数是（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
6．如图，河堤横断面是直角三角形，斜坡AB的坡度，BC＝4m，则AB的长是（　　）
A． B． C．8m D．
7．已知，则∠A＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦值（　　）
A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．保持不变 D．缩小3倍
9．如图，某河堤迎水坡AB的坡度为，河堤高BC＝5m，则坡面AB的长为（　　）
A．5m B．10m C． D．
10．tan60°的值是（　　）
A． B． C．1 D．
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，若（2sinA﹣1）20，则∠C的度数为　 　．
12．如图，当太阳光线与地面成53°角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.25m，则玲玲的身高约为 　 　m．（精确到0.01m）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）．
13．如图，某时刻码头A和码头B分别在游船M的南偏东60°和南偏东75°方向上，已知A，B相距1000米，此时游船M距离岸边AB的距离为 　 　米．
14．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是 　 　米．
15．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，BC＝3，则AB边的长度为 　 　．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）sin30°﹣cos60°+tan60°；
（2）cos230°+sin230°﹣tan45°；
（3）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
17．如图，A，B两个村庄之间有一条小河，为测量A，B两村之间的距离，在小河一侧的公路l上选出了C，D两个观测点，并使AC⊥CD，BD⊥CD，若测得∠BCD＝30°，∠ADC＝60°，CD＝300米，试求A，B两个村庄之间的距离（结果保留根号）．
18．某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度AB，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔顶A的仰角为37°，然后沿CB方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为45°．请根据他们的测量数据求塔高AB的长度大约是多少．（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，sin53°，cos53°，tan53°．）
19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A是锐角，且，．
（1）求sinA；
（2）求AB的长．
20．某综合实践研究小组为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．今年10月“愉悦创造营”的同学们积极参加劳动实践，在校园“耕读园”里播种了近百粒萝卜种子．某周日下午返校时涵涵和静静约好一起去“耕读园”看看萝卜的生长情况．如图，已知“耕读园”在点A处，涵涵家位于点A正南方一条东西走向的街道BD上，且在耕读园西南方向800米的C处；静静家位于点D正北方100米且位于“耕读园”南偏西60°方向上的点E处，图中点A、B、C、D、E在同一平面内．
（1）求静静家离耕读园的距离是多少？（结果保留根号）
（2）涵涵周日下午5：40出门，先以80米/分钟的速度从C出发，往正西方向走到点D处后再向正北方向到静静家楼下两人碰面，然后两人以此速度一起前往“耕读园”，请问她们能在5：55前到达耕读园吗？（参考数据：1.414，2.449，结果精确到十分位）
22．如图，屋架跨度的一半OP＝5m，高度OQ＝2.5m，现在屋顶上开一个天窗，AB在水平位置，且AB＝2.4m，求天窗高度AC的长．
23．为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB∥CD∥l，车轮半径为32cm，∠ABC＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为84cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0．lcm．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
第1章 直角三角形的边角关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】证明∠A＝∠DCB，根据余弦函数的定义判断即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴cosA＝cos∠DCB，
故选项A，B，C正确，选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是记住余弦函数的定义．
2．【答案】C
【分析】根据题意可得：在Rt△ABC中，，从而可得BCAC，进行计算即可解答．
【解答】解：∵滑坡AB的坡度是1：3，
∴在Rt△ABC中，，AC＝6m，
∴BCAC＝2（m），
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．【答案】A
【分析】由BC：AB＝12：13，令BC＝12x，AB＝13x，由勾股定理求出AC5x，由锐角的正切定义得到tanA．
【解答】解：∵BC：AB＝12：13，
∴令BC＝12x，AB＝13x，
∵∠ACB＝90°，
∴AC5x，
∴tanA．
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数定义，关键是掌握锐角的正切定义．
4．【答案】B
【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可．
【解答】解：∵a＝tan30°，b＝cos60°，c＝sin45°，
∵，
∴c＞a＞b．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
5．【答案】D
【分析】根据tan60°，计算判断选择即可．
【解答】解：∵tan60°，，
∴锐角α＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．【答案】C
【分析】根据坡度的概念计算出AC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵BC＝4m，斜坡AB的坡度i＝1：，
∴AC4＝4（m），
∴AB8（m），
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
7．【答案】C
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠A＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
8．【答案】C
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：Rt△ABC中，cosA，
Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦，
cosA．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9．【答案】B
【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是，可得到∠BAC＝30°，所以求得AB＝2BC，得出答案．
【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是，
即tan∠BAC，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×5＝10（m），
∴坡面AB的长是10m，
故选：B．
【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键．
10．【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
【解答】解：tan60°的值是，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】据非负数的和为零，根据特殊角三角函数值，根特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2sinA﹣1＝0，cosB0，
∴A＝30°，B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°
故答案为：90°．
【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数和为零得出2sinA﹣1＝0，cosB0是解题关键，又利用了特殊角三角函数值．
12．【答案】1.65．
【分析】身高、影长和光线构成直角三角形，根据tan53°＝身高：影长即可解答．
【解答】解：玲玲的身高＝影长×tan53°＝1.25×1.32≈1.65（m）．
故答案为：1.65．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，正切的概念，掌握正切的定义是解题的关键．
13．【答案】500．
【分析】过点M作MC⊥AB，根据三角形的外角性质求出∠AMB，得到MA＝AB，再根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：如图，过点M作MC⊥AB，交BA的延长线于点C，
由题意得，∠MAC＝90°﹣75°＝15°，∠MAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AMB＝∠MAC﹣∠MBC＝15°，
∴∠AMB＝∠MBC，
∴MA＝AB＝1000米，
在Rt△MAC中，∠MAC＝30°，
则MCMA1000＝500（米），
故答案为：500．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
14．【答案】．
【分析】过点A作AD⊥CB，垂足为D，根据题意可得：∠ABD＝60°，∠ACD＝30°，然后利用三角形的外角性质可得∠CAB＝∠ACD＝30°，从而可得BA＝BC＝160米，最后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥CB，垂足为D，
由题意得：∠ABD＝60°，∠ACD＝30°，
∵∠ABD是△ABC的一个外角，
∴∠CAB＝∠ABD﹣∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝∠ACD＝30°，
∴BA＝BC＝160米，
在Rt△ABD中，AD＝AB sin60°＝16080（米），
∴该主塔的高度是80米，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．【答案】6．
【分析】先根据三角形内角和计算出∠C＝90°，然后根据30度的正弦求AB的长．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝90°，
∴sinA，
∴AB6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．【答案】（1）；
（2）0；
（3）2．
【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
（2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
（3）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）sin30°﹣cos60°+tan60°
；
（2）cos230°+sin230°﹣tan45°；
＝（）2+（）2﹣1
1
＝1﹣1
＝0；
（3）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°
＝﹣1+2（）2
＝﹣13
＝2．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．【答案】米．
【分析】连接AB，作BE⊥AC于E．求得AC，AE，BE的长，再利用勾股定理计算即可．
【解答】解：连接AB，作BE⊥AC于E．则四边形BECD是矩形，
在Rt△ADC中，，
∴（米），
在Rt△BCD中，，
∴（米）．
∴（米），
又四边形BECD是矩形，CD＝300（米），
∴BE＝CD＝300（米），CE＝BD，
∴（米），
∴（米），
答：A，B两个村庄之间的距离为米．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解决此题的关键．
18．【答案】塔高AB的长约为22.5m．
【分析】根据题意可得：BG＝CD＝EF＝1.5m，DE＝CF＝7m，然后在Rt△AGE中，利用锐角三角函数的定义可得AG＝GE，从而可设AG＝GE＝x m，则GD＝（x+7）m，再在Rt△AGD中，利用锐角三角函数的定义可得4AG≈3GD，从而可得4x≈3（x+7），最后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：BG＝CD＝EF＝1.5m，DE＝CF＝7m，
在Rt△AGE中，∠AEG＝45°，
∴tan45°1，
∴AG＝GE，
设AG＝GE＝x m，
∵DE＝7m，
∴GD＝EG+DE＝（x+7）m，
在Rt△AGD中，∠ADG＝37°，
∴tan37°，
∴4AG≈3GD，
4x≈3（x+7），
解得：x＝21，
∴AB＝AG+GB＝21+1.5＝22.5（m），
答：塔高AB的长约为22.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．【答案】（1）；
（2）8．
【分析】过B作BH⊥AC于H，（1）由tanA，令BHx，AH＝3x，由勾股定理求出AB4x，由锐角的正弦定义即可求出sinA；
（2）求出CH＝AC﹣AH＝x，由勾股定理得到x2，求出x＝2，即可得到AB＝4x＝8．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，
（1）∵tanA，
∴令BHx，AH＝3x，
∴AB4x，
∴sinA；
（2）∵AC＝AB＝4x，
∴CH＝AC﹣AH＝x，
∵BC2＝CH2+BH2，
∴x2，
∴x＝2（舍去负值），
∴AB＝4x＝8．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是掌握锐角的正切，正弦定义，由勾股定理列出关于x的方程．
20．【答案】气球A离地面的高度AD约为60m．
【分析】根据题意可得：AD⊥BD，然后设CD＝x m，则BD＝（x+20）m，分别在Rt△ACD和Rt△ABD中，列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AD⊥BD，
设CD＝x m，
∵BC＝20m，
∴BD＝BC+CD＝（x+20）m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD tan45°＝x（m），
在Rt△ABD中，∠ABD＝37°，
∴AD＝BD tan37°≈0.75（x+20）m，
∴x＝0.75（x+20），
解得：x＝60，
∴AD＝60m，
∴气球A离地面的高度AD约为60m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．【答案】（1）米；
（2）她们能在5：55前到达耕读园．
【分析】（1）过E作EH⊥AB于H，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，AB，BC，进而求出AH，在Rt△AEH中，利用三角函数求出AE；
（2）先求出EH，可得到BD的长，进而将她们所走总路程除以速度求出她们走完整个路程需要的时间，再比较即可作出判断．
【解答】解：（1）过E作EH⊥AB于H，
则∠EHA＝BHE＝90°，
∵△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝45°＝∠BAC，
∴BA＝BC，
在Rt△ABC中，
由勾股定理，得AC2＝AB2+BC2，
∵AC＝800米，
∴米，
∵∠D＝∠B＝∠BHE＝90°，
∴四边形EDBH为矩形，
∴HE＝BD，ED＝HB，
∵米，
∴米，
∴AH＝AB﹣HB米，
∵∠AHE＝90°，∠EAH＝60°，
∴（米），
答：静静家离耕读园距离为米；
（2）∵∠AHE＝90°，∠EAH＝60°，米，
∴（米），
∵四边形EDBH是矩形，
∴米，
∴CD＝BD﹣BC＝（）米，
∴总用时：14.48≈14.5（分），
∵5：50﹣5：40＝15（分），14.5＜15，
∴她们能在5：55前到达耕读园．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答时涉及勾股定理，三角函数公式，矩形的判定和性质，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．【答案】1.2m．
【分析】根据平行线的性质得出∠ABC＝∠OPQ，得出tan∠ABC＝tan∠OPQ，得出比例式代入数据即可求解．
【解答】解：∵AB在水平位置，
∴AB∥OP，
∴∠ABC＝∠OPQ，
∴tan∠ABC＝tan∠OPQ，
∴，
∴，
∴AC＝1.2，
即天窗高度AC的长为1.2m．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据tan∠ABC＝tan∠OPQ得出是解题的关键．
23．【答案】（1）坐垫E到地面的距离为95cm；
（2）EE′长4.7cm．
【分析】（1）过点E作EG⊥CD于点G，根据64°的正弦值可得DE的长，加上半径的长即为坐垫E到地面的距离；
（2）算出坐垫E′到CD的舒适距离，根据64°的正弦值可得CE′长度，减去CE长即为EE′的长度．
【解答】解：过点E作EG⊥CD于点G，
∴∠EGC＝90°．
∵BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm，
∴CE＝70（cm）．
∵∠ABC＝64°，AB∥CD，
∴∠ECD＝64°．
∴EG＝EC sin64°≈70×0.90＝63（cm）．
∵CD∥l，CF⊥l，l与⊙D相切，车轮半径为32cm，
∴CF＝32（cm）．
∴坐垫E到地面的距离为：63+32＝95（cm）．
答：坐垫E到地面的距离为95cm；
（2）过点E′作E′G′⊥CD于点G′，
∴∠E′G′C＝90°．
∵小明的腿长约为84cm，
∴E′G′＝84×0.8＝67.2（cm）．
∵∠ECD＝64°，
∴CE′74.67（cm）．
∴EE′＝CE′﹣CE＝74.67﹣70＝4.67≈4.7（cm）．
答：EE′长4.7cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所给线段及角整理到直角三角形中是解决本题的关键．用到的知识点为：sinA．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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