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3.3 垂径定理
一．选择题（共10小题）
1．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（　　）
A．5米 B．米 C．6米 D．米
2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D，E分别是AC，BC上的一点，且DE＝6．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M，N，则MN的最大值为（　　）
A．5.6 B．4.8 C．4 D．1.6
3．把半径为5cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8cm，则EF的长为（　　）
A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm
4．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6m，OC⊥AB于点C，则OC的长度等于（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（　　）
A．2.25米 B．2.2米 C．2.15米 D．2.1米
6．如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点C，若路面AB＝6m，此圆的半径OA的长为5m，则净高CD的长为（　　）
A．5m B．6m C．m D．9m
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，CD＝8，则AE的长为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
8．如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝12，CE的最大值为18，则EF的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦AB的垂直平分线交AB于点C，交圆弧于点D，测出AB和CD的长度，即可计算出轮子的半径．若测得AB＝48cm，CD＝12cm，则轮子的半径为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
二．填空题（共6小题）
11．如图，在平面直角平坐标系xOy中，某京剧脸谱轮廓可以近似看成是一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B是图形G的最低点，且的坐标为（0，﹣4），线段CD为半圆的直径，且CD＝4，点O为半圆的圆心，点M在半圆上，点N在抛物线上，N的纵坐标为﹣2，MN与y轴平行，下列关于图形G的四个结论，其中正确的有 　 　．（填所有正确结论的序号）
①图形G关于y轴对称；
②线段MN的长为2；
③扇形OMA的面积为π；
④当﹣4＜a＜2时，直线y＝a与图形G有两个公共点．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径＝　 　．
13．如图，⊙O的弦AB⊥OC，且，则⊙O的半径是 　 　．
14．如图，以O为圆心，4为半径作圆，OH＝2，直径CD⊥AB于点H，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 　 　；当点E在⊙O的运动过程中，线段FO的长度的最小值为 　 　．
15．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，弦CD＝8，则OE＝　 　．
16．如图，PA交⊙O于点B，PB＝4，AB＝4，⊙O的半径为5，则OP的长为 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线M和下方拱线N的最高点均为点C，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线N的跨径AB长为14m，高HC为6.125m．HC右侧的四根立柱在拱线N上的端点D，E，F，B的相关数据如下表所示．
点D 点E 点F 点B
距HC的水平距离（m） 4 5 6 7
距AB的竖直距离（m） 4.125 3.000 1.625 0
所查阅的资料显示：拱线M为某个圆的一部分，拱线N为某条抛物线的一部分．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）选取拱线M上的任意三点，通过尺规作图作出拱线M所在的圆；
（2）建立适当的平面直角坐标系，选取拱线N上的点，求出拱线N所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线N上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）．
18．一根排水管的截面如图所示．已知水面宽AB＝8dm，测得排水管内水的最大深度为2dm，求排水管截面的半径．
19．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）以AB为直径的圆M与y轴交于C、D两点，求弦CD的长．
20．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径；
（2）在（1）的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？
21．已知：如图，AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，点C是弦AB上一动点（不与点A、B重合），连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD．
（1）求弦AB的长；
（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、O、C为顶点的三角形相似？
22．如图是博物馆展出的古代车轮实物．是该车轮的一段圆弧，已知AB＝90 cm，点C是的中点，CD⊥AB，CD＝15cm，求圆弧（即车轮）的半径．
23．如图，在直角坐标系中，直线y＝x﹣4与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的⊙E与该直线相交于点C，连结OE，OE＝2.5．
（1）求点E到x轴的距离．
（2）连结OC，求OC的长．
24．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，E是AC的中点，连接OE并延长与⊙O交于点F，AC＝8，EF＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求cosC的值．
25．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．
3.3 垂径定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】设⊙O的半径是r米，由垂径定理，勾股定理，列出关于r的方程，即可求解．
【解答】解：设⊙O的半径是r米，
∵CD⊥AB，
∴ADAB＝4（米），
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
∴r＝5，
∴⊙O的半径OA是5米．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于半径的方程．
2．【答案】B
【分析】作CF⊥AB于F，根据垂线段最短，当CF经过圆心O时，OF最小，根据垂径定理，勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，作CF⊥AB于F，
∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴，
∴，
∵DE＝6，
∴，
根据垂线段最短，当CF经过圆心O时，OF最小，MN有最大值，
∴OF＝CF﹣OC＝1.8，
连接OM，
∴，
根据垂径定理，得MN＝2MF＝4.8，
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理，过O作OG⊥AB于G，作CF⊥AB于F，连接OC，OM，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键．
3．【答案】A
【分析】设球心为O，过O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，连接OF，结合题意可解得OF＝5cm，OM＝3cm，根据勾股定理求得MF，最后由垂径定理求得结果．
【解答】解：如图，设球心为O，过O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，连接OF，
由题意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5cm，
∵CD＝8cm，
∴MN＝8cm，
∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），
∵MN⊥AD，
∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，
∴，
∴EF＝2FM＝8cm，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，涉及到圆的基本性质，勾股定理等知识，掌握求弦长通常运用垂径定理构造直角三角形的方法是解题的关键．
4．【答案】B
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，OC过O，AB＝6cm，
∴AC＝BC＝3cm，
在Rt△OCA中，由勾股定理得：OC4（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出AC的长度是解此题的关键．
5．【答案】A
【分析】根据矩形的性质可推出线段AB为圆的直径，然后根据勾股定理可求出AB的长，再根据垂径定理求出点D为BE的中点，利用中位线即可求出OD的长，即可求出最大高度．
【解答】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作OD⊥BE于点D，
∴点O为线段AB的中点，∠ACB＝90°，
∴AB为圆O的直径，
∵宽为1.5米，高为2米，
∴AB2.5（米），
∴圆的半径AB＝1.25（米），
∵OD⊥BE，
∴点D为BE的中点，
又∵点O为线段AB的中点，
∴ODBC＝1（米），
则改造后门洞的最大高度＝1.25+1＝2.25（米）；
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，解题关键是求出直径和线段OD的长．
6．【答案】D
【分析】先根据垂径定理的推论得到OD⊥AB，由于ADAB＝3m，则利用勾股定理计算出OD＝4（m），然后计算OC+OD即可．
【解答】解：∵点D是⊙O中弦AB的中点，
∴OD⊥AB，ADAB＝3m，
在Rt△OAD中，OD4（m），
∴CD＝OC+OD＝5+4＝9（m），
即净高CD的长为9m．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
7．【答案】C
【分析】连接OC，利用勾股定理求出OE，可得结论．
【解答】解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴CE＝EDCD＝4，
∴OE3，
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，利用勾股定理解决问题．
8．【答案】D
【分析】连接OA，根据垂径定理得AEAB＝6，设半径为r，在Rt△AOE中，根据勾股定理构建方程求解．
【解答】解：如图，连接OA，
∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，AB＝12，
∴AEAB＝6，
当C，O，E在同一条直线上时CE最长，
设半径为r，则OE＝18﹣r，
在Rt△AOE中，OE2＝OA2﹣AE2，
即（18﹣r）2＝r2﹣62，
解得r＝10，
∴OE＝18﹣10＝8，
∴EF＝OF﹣OE＝10﹣8＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是利用垂径定理得AEAB＝6，，属于中考常考题型．
9．【答案】B
【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【解答】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BCAB＝24cm，
根据勾股定理得：
OC2+BC2＝OB2，即：
（OB﹣12）2+242＝OB2，
解得：OB＝30；
故轮子的半径为30cm．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．【答案】C
【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BDAB＝2（米），再由勾股定理得OD（米），然后求出CD的长即可．
【解答】解：连接OC，OC交AB于D，
由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，
∴AD＝BDAB＝2（米），∠ADO＝90°，
∴OD（米），
∴CD＝OC﹣OD＝（3）米，
即点C到弦AB所在直线的距离是（3）米，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】①②④．
【分析】由图象可知图形G关于直线x＝0对称，则①不正确；根据点N的纵坐标可以得出NE＝2，再根据已知求出抛物线解析式，求出N的横坐标，再求出OE＝ME，从而可判断②；G根据OE＝ME，可得∠MOE＝∠MOA＝45°，根据扇形的面积公式可以判断③；由图象可知当﹣4＜a＜2时，直线y＝a与图形G有两个公共点，则可判断④．
【解答】解：由图象可知图形G关于y轴对称，即关于直线x＝0对称，故①正确；
如图所示：MN和x轴相交于E，
∵线段CD为半圆的直径，且CD＝4，
∴点C（﹣2，0），点D（2，0），
∵点B的坐标为（0，﹣4），
∴设抛物线解析式为y＝mx2﹣4，
把点C（﹣2，0）代入解析式得：4m﹣4＝0，
解得：m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4，
∵点N在抛物线上，N的纵坐标为﹣2，
∴x2﹣4＝﹣2，
解得：x＝±，
∴点N的横坐标为，
则点E（，0），即OE，
∵OM＝OD＝OC＝2，
∴ME，
∴MN＝ME+NE2，
故②正确；
∵OE＝ME，
∴∠MOE＝∠MOA＝45°，
∴S扇形OMAπ，
故③错误；
由图形可知，当﹣4＜a＜2时，直线y＝a与图形G有两个公共点，
故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用、圆的定义及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
12．【答案】．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，连接OA，
∴OA，
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
13．【答案】3．
【分析】⊙O的弦AB⊥OC，，得到，∠ADO＝90°，设⊙O的半径是r，则OA＝OC＝r，，在Rt△ADO中，由勾股定理得到，即可得到答案．
【解答】解：∵⊙O的弦AB⊥OC，，
∴，∠ADO＝90°，
设⊙O的半径是r，则OA＝OC＝r，
∵OD＝2DC，
∴，
在Rt△ADO中，OA2＝OD2+AD2，
∴，
解得r＝3或r＝﹣3（不合题意，舍去）
即⊙O的半径是3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据勾股定理列方程是解题的关键．
14．【答案】4，22．
【分析】连接OA，AC，过O作OK⊥AC于K，连接FK，由垂径定理得到AB＝2AH，由勾股定理求出AH2，得到AB＝2AH＝4；由sin∠AOH，得到∠AOH＝60°，由三角形外角的性质求出∠ACO＝30°，由含30度角的直角三角形的性质求出OKOC＝2，求出AC＝2AH＝4，由直角三角形斜边中线的性质得到FKAC＝2，而OF≥FK﹣OK＝22，即可求出OF的最小值是22．
【解答】解：连接OA，AC，过O作OK⊥AC于K，连接FK，
∵直径CD⊥AB于点H，
∴AB＝2AH，
∵OA＝4，OH＝2，
∴AH2，
∴AB＝2AH＝4；
∵sin∠AOH，
∴∠AOH＝60°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO，
∵∠ACO+∠CAO＝∠AOH＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∵∠OKC＝90°，
∴OKOC4＝2，
∵∠ACH＝30°，∠AHC＝90°，
∴AC＝2AH＝4，
∵OK⊥AC，
∴K是AC中点，
∵∠AFC＝90°，
∴FKAC＝2，
∵OF≥FK﹣OK＝22，
∴OF的最小值是22．
故答案为：4，22．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边的中线，关键是由含30度角的直角三角形的性质求出OK的长，由直角三角形斜边中线的性质得到FK的长．
15．【答案】3．
【分析】连接OC，根据垂径定理得，再利用勾股定理求出即可
【解答】解：如图，连接OC，
∵直径AB＝10，弦CD⊥AB，弦CD＝8，
∴OC＝OB＝5，∠OEC＝90°，，
由勾股定理得：．
故答案为：3．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，应用垂径定理是解题关键．
16．【答案】．
【分析】利用垂径定理，构造直角三角形，再运用勾股定理解题．
【解答】解：过O点作OC⊥PA于P，连接OA，OP，
则，PC＝6，
在Rt△OAC中，，
在Rt△OPC中，OP．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）见解析；
（2）函数解析式为：y（x﹣7）（x+7），点D、E、F、B都在拱线N所在的抛物线上．
【分析】（1）选取拱线M上的任意三点，连线构成圆的弦，作两条弦的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OC为半径作圆即可得到答案；
（2）以H为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，以HC所在的直线为y轴，如图所示，利用交点式，待定系数法确定函数关系式即可得到拱线N所在的抛物线对应的函数解析式为y（x﹣7）（x+7），再将D，E，F，B的横坐标代入表达式验证纵坐标是否与y值相等即可得到答案．
【解答】解：（1）如图所示：
⊙O即为所求；
（2）以H为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，以HC所在的直线为轴，如图所示：
∵拱线N的跨径AB长为14m，高HC为6.125m，
∴A（﹣7，0）、B（7，0）、C（0，6.125），
设拱线N的表达式为y＝a（x﹣7）（x+7），将C（0.6.125）代入表达式得6.125＝﹣49a，
解得a，
∴拱线N所在的抛物线对应的函数解析式为：y（x﹣7）（x+7），
将x＝4代入y（x﹣7）（x+7）得：y（4﹣7）×（4+7）＝4.125，
故点D在拱线N所在的抛物线上；
将x＝5代入y（x﹣7）（x+7）得：y（5﹣7）×（5+7）＝3，
故点E在拱线N所在的抛物线上；
将x＝6代入y（x﹣7）（x+7）得：y（6﹣7）×（6+7）＝1.625，
故点F在拱线N所在的抛物线上；
将x＝7代入y（x﹣7）（x+7）得：y（7﹣7）×（7+7）＝0，
故点B在拱线N所在的抛物线上．
【点评】本题考查圆与二次函数综合，涉及圆的性质、尺规作图﹣中垂线、待定系数法确定函数关系式、验证点是否在函数图象上等知识，熟练掌握中垂线的尺规作图及待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．
18．【答案】排水管截面的半径为5dm．
【分析】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．由垂径定理可得出BP的长，在Rt△OBP中，根据勾股定理列出方程解出即可．
【解答】解：过点O作AB的垂线，交AB于点P，交圆于C点，连结OB，
∵AB＝8dm，
∴BP＝4dm，
设排水管截面的半径为rdm，
由垂径定理和勾股定理得：
（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5dm，
故排水管截面的半径为5dm．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，正确构建直角三角形是解题关键．
19．【答案】（1）A、B两点的坐标分别为、；
（2）．
【分析】（1）令y＝0，解方程，即可求解；
（2）连接CM．根据（1）中的结论，求出直径的长以及CM，OM的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理即可求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则，
∴4x2﹣4x﹣3＝0，即（2x+1）（2x﹣3）＝0，
解得，，
∴A、B两点的坐标分别为、；
（2）解：∵A、B两点的坐标分别为、，
∴，
圆心M的横坐标为，
∴圆心M的坐标为，
如图，连接CM，
则，，
∴，
∴．
【点评】本题考查了二次函数的性质，垂径定理以及勾股定理，掌握二次函数的性质是解题关键．
20．【答案】（1）10cm；
（2）小船能顺利通过这个管道．理由见解析．
【分析】（1）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB，根据垂径定理得到BDAB16＝8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
（2）连接OM，设MF＝6cm，可求得此时OF的高，即可求得DF的长与13cm相比较，即可得到此时小船能顺利通过这个管道．
【解答】解：（1）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．
∵OE⊥AB，
∴BDAB16＝8cm，
由题意可知，ED＝4cm，
设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD2+BD2＝OB2
∴（x﹣4）2+82＝x2
解得x＝10．
即这个圆形截面的半径为10cm．
（2）如图，小船能顺利通过这个管道．理由：
连接OM，设MF＝6cm．
∵EF⊥MN，OM＝10cm，
在Rt△MOF中，OF8cm
∵DF＝OF+OD＝8+6＝14cm
∵14cm＞13cm，
∴小船能顺利通过这个管道．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，根据锐角三角函数值，即可推出BE的长度，然后根据垂径定理即可推出AB的长度，（2）连接OA，由OA＝OB＝OC，即可推出∠OAB＝∠B＝30°，∠OAD＝∠D＝20°，然后结合图形即可推出∠BAD的度数，即可推出∠BOD的度数，（3））由∠BCO＝∠DAB+∠D，可知∠BCO＞∠DAB，∠BCO＞∠D，根据相似三角形的判定定理，结合图形可推出，要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，由此可得，∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∠DAC＝60°，由此可推出△DAC∽△BOC，可推出OC⊥AB，然后即可推出AC的长度．
【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵在Rt△OEB中，OB＝2，∠B＝30°，
∴，
∴，
（2）连接OA，
∵OA＝OB＝OD，∠B＝30°，∠D＝20°，
∴∠OAB＝∠B＝30°，∠OAD＝∠D＝20°，
∴∠BAD＝∠OAB+∠OAD＝30°+20°＝50°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°，
（3）∵∠BCO＝∠DAB+∠D，
∴∠BCO＞∠DAB，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，
∴∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，
∴∠DAC＝60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，
∴ACAB，
∴当时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、O、C为顶点的三角形相似．
【点评】本题主要考查垂径定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识点，关键在于熟练正确的运用分性质定理，认真的进行计算，正确的运用数形结合的思想进行分析．
22．【答案】圆弧的半径为75cm．
【分析】根据垂径定理求出AD＝45 cm，再根据勾股定理得到AD2+OD2＝AO2，代入数值计算即可求出半径．
【解答】解：取所在圆的半径O，连接AO，BO，DO．
∵C是的中点，CD⊥AB，AB＝90 cm，
∴AD＝45 cm，
在 Rt△OAD中，可得AD2+OD2＝AO2．
即452+（OA﹣15）2＝AO2．
解得OA＝75．
所以圆弧的半径为75cm．
【点评】此题考查了垂径定理及勾股定理，在圆中，通常同时利用垂径定理与勾股定理求半径，弦长及弦心距的长度．
23．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）过点E作EH⊥x轴于点H，如图，先确定A（4，0），再根据垂径定理得到OH＝2，然后利用勾股定理计算出EH即可；
（2）连结OC，CE，如图，先求出B（0，﹣4），则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°，再根据圆周角定理得到∠OEC＝90°，所以△OCE为等腰直角三角形，于是根据等腰直角三角形的性质可求出OC的长．
【解答】解：（1）过点E作EH⊥x轴于点H，如图，
当y＝0时，x﹣4＝0，解得x＝4，
∴A（4，0），
∵EH⊥OA，
∴OH＝AHOA＝2，
在Rt△OHE中，EH，
∴点E到x轴的距离为；
（2）连结OC，CE，如图，
当x＝0时，y＝x﹣4＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
∵OA＝OB＝4，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∴∠OEC＝2∠OAB＝90°，
△OEC为等腰直角三角形，
∴OCOE．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征．
24．【答案】（1）⊙O的半径为5；
（2）．
【分析】（1）设AO＝r，则OF＝r，OE＝r﹣2，由垂径定理可知AE＝4，在Rt△AEO中利用勾股定理求出r的值即可；
（2）根据OE⊥AE可知∠A+∠AOE＝90°，再由CO⊥AB可知∠A+∠C＝90°，故可得出∠C＝∠AOE，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AC＝8，EF＝2，
∴设AO＝r，则OF＝r，OE＝r﹣2，
∵E是AC的中点
∴ 且OF⊥AC，
在Rt△AEO中，AE2+OE2＝OA2，
∴42+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5；
（2）∵OE⊥AE，
∴∠A+∠AOE＝90°，
∵CO⊥AB，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠C＝∠AOE，
∴．
【点评】本题考查的是圆周角定理，涉及到垂径定理，勾股定理及解直角三角形，熟知以上知识是解题的关键．
25．【答案】该门洞的半径为1.3m．
【分析】设该门洞的半径的半径为r m，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则OC＝（2.5﹣r）m，由垂径定理得AC＝BCAB＝0.5m，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设该门洞的半径的半径为r m，
如图，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，
则CD＝2.5m，OC＝（2.5﹣r）m，AC＝BCAB1＝0.5（m），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：0.52+（2.5﹣r）2＝r2，
解得：r＝1.3，
答：该门洞的半径为1.3m．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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