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3.4 圆周角与圆心角的关系
一．选择题（共10小题）
1．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝46°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（　　）
A．34° B．44° C．46° D．54°
2．如图，AB是半圆O直径，C，D是圆上的两点，∠BAC＝38°，则∠D的度数为（　　）
A．138° B．128° C．52° D．126°
3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．量角器上点A，B处的读数分别为0°，40°．则∠ACB的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．55°
5．如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（　　）
A．37° B．74° C．53° D．63°
6．如图，在⊙O中，，∠AOB＝40°，则∠BDC的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，，若∠A＝50°，则∠B的大小为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接OD，OB，若OD∥BC，且OD＝BC，则∠BOD的度数是（　　）
A．65° B．115° C．130° D．120°
9．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　）
A．100° B．120° C．130° D．150°
10．如图，点O为线段AB的中点，∠ACB＝∠ADB＝90°，连接OC、OD．则下面结论不一定成立的是（　　）
A．OC＝OD B．∠BDC＝∠BAC
C．∠BCD+∠BAD＝180° D．AC平分∠BAD
二．填空题（共6小题）
11．如图，⊙O的直径是AB，∠BPQ＝45°，圆的半径是4，则弦BQ＝　 　．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是 　 　．
13．如图，用直角曲尺可以检查半圆形的工件是否合格，其中的数学依据是 　 　．
14．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，若∠CAD＝25°，则∠ABD的度数为 　 　．
15．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上异于A、B的一点，连接AE、BE，直径DC⊥AE交AE于点P，且D在优弧ABE上，若AB＝25，AE＝24，则PC的长为 　 　．
16．已知在半径为3的⊙O中，弦AB＝3，弦AC＝3，则∠BAC的度数为　 　．
三．解答题（共9小题）
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，C为的中点，若∠CBD＝30°，⊙O的半径为12．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求扇形OCD的面积．
18．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，连结DO并延长交⊙O于点F，连结AF交CD于点G，连结AC、GO，且AC∥DF．求证：GO⊥DF．
19．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．
20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD，求DB的长．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接AC、BD，若DA＝DB，求证：CD平分∠ACE．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AB，DC交于点E，DE＝DA．
（1）求证：△BCE是等腰三角形；
（2）若点C是中点，AB＝11，BC＝4，求AD的长．
23．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，DB平分∠ADC，∠CAD＝∠ABD．
（1）求证：BD平分∠ABC；并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，圆的半径长为8，求BF的长．
24．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC，BD，F为AC的中点，且OF＝1．
（Ⅰ）求BC的长；
（Ⅱ）当∠BCD＝30°时，求△ABC的面积．
25．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，求证：BF＝CE．
3.4 圆周角与圆心角的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】根据外角∠APD，求出∠C，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B．
【解答】解：∵∠A＝486，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣46°＝34°，
∴∠B＝∠C＝34°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键．
2．【答案】B
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝52°，然后利用圆内接四边形对角互补，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝38°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝52°，
∵四边形ABCD是半⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝128°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．【答案】A
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到，即可得出结果．
【解答】解：如图，连接OB，
由题意，得：∠AOB＝40°，
∴；
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解决问题的关键．
4．【答案】C
【分析】根据题意可知，即可推出∠AOC＝50°．
【解答】解：∵OA⊥BC，∠ADB＝25°，
∴，
∴∠AOC＝2∠ADB＝50°．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于求出．
5．【答案】C
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得∠DOA＝74°，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【解答】解：如下图，连接OA，
∵A是劣弧的中点，
即弧DA＝弧FA，
∴∠DOA＝∠FOA，
∵∠EOD＝32°，
∴，
∵OD＝OA，
∴，
即∠CDA＝53°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
6．【答案】B
【分析】连接OC，根据弧，弦，圆心角之间的关系得出BOC＝∠AOB＝40°，根据圆周角定理得出BDCBOC，求出答案即可．
【解答】解：连接OC，
∵，∠AOB＝40°，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，
∴∠BDCBOC＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理和弧，弦，圆心角之间的关系，能熟记知识点是解此题的关键．
7．【答案】D
【分析】连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠CAB，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：如图，连接AC，
∵，
∴∠CAB＝∠CAD∠BAD＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BCAB＝90°﹣25°＝65°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
8．【答案】D
【分析】首先根据OD∥BC，且OD＝BC得到四边形OBCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到∠BOD＝∠BCD，然后利用圆周角定理和圆内接四边形的性质得到∠BAD∠BOD，∠BCD+∠A＝180°，从而得到∠BOD+∠BOD＝180°，最后求得∠BOD＝120°．
【解答】解：∵OD∥BC，且OD＝BC，
∴四边形OBCD是平行四边形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∵∠BAD∠BOD，∠BCD+∠A＝180°，
∴∠BOD+∠BOD＝180°，
解得：∠BOD＝120°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，能够判定四边形OBCD是解答本题的关键，难度不大．
9．【答案】A
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠BOC和∠A都对，
∴∠BOC＝2∠A＝2×50°＝100°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．【答案】D
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出OD＝OC＝OA＝OB，得到点A、D、C、B在以O为圆心，OA长为半径的圆上，由圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC，由圆内接四边形的性质推出∠BCD+∠BAD＝180°，由和不一定相等，得到AC不一定平分∠BAD，
【解答】解：∵点O为线段AB的中点，∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴ODAB，OCAB，
∴OD＝OC＝OA＝OB，
∴点A、D、C、B在以O为圆心，OA长为半径的圆上，
∵OD＝OC，
故A不符合题意；
由圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC，
故B不符合题意；
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
故C不符合题意；
∵和不一定相等，
∴∠DAC和∠BAC不一定相等，
∴AC不一定平分∠BAD，
故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质证明点A、D、C、B在以O为圆心，OA长为半径的圆上．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】连接OQ，利用圆周角得出∠BOQ＝90°，进而解答即可．
【解答】解：连接OQ，
∵∠BPQ＝45°，
∴∠BOQ＝90°，
∵OB＝OQ＝4，
∴BQ＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查圆周角，关键是根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答．
12．【答案】140°．
【分析】先利用圆内接四边形的对角互补计算出∠B的度数，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠B＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
13．【答案】90°圆周角所对的弦是直径．
【分析】由圆周角定理：90°圆周角所对的弦是直径，即可判定半圆形的工件是否合格．
【解答】解：直角曲尺检查半圆形的工件是否合格，运用到的道理是：90°圆周角所对的弦是直径．
故答案为：90°圆周角所对的弦是直径．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径定理的应用是解此题的关键．
14．【答案】65°．
【分析】先根据圆周角定理求出∠ADC的度数，进而可得出∠ACD的度数，据此可得出结论．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝25°，
∴∠ACD＝90°﹣25°＝65°，
∴∠ABD＝∠ACD＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
15．【答案】9．
【分析】根据圆周角定理及勾股定理求出BE＝7，根据三角形中位线的判定与性质求出OP，再根据线段的和差求解即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠E＝90°，
∵AB＝25，AE＝24，
∴BE7，
∵DC⊥AE，
∴∠OPA＝90°＝∠E，
∴OP∥BE，
∵OA＝OB，
∴OP是△ABE的中位线，
∴OPBE，
∵OC，
∴PC＝OC﹣OP9，
故答案为：9．
【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理，根据圆周角定理求出∠E＝90°是解题的关键．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】分类讨论：当AC与AB在点A的两旁．由OA＝OC＝3，AC＝3，得到△OAC为等边三角形，则∠OAC＝60°，又由OA＝OB＝3，AB＝3，得到△OAB为等腰直角三角形，则∠OAB＝45°，所以∠BAC＝45°+60°＝105°；当AC与AB在点A的同旁．有∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°．
【解答】解：如图1，当AC与AB在点A的两旁．
连OC，OA，OB，如图，
在△OAC中，
∵OA＝OC＝3，AC＝3，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC＝60°；
在△OAB中，
∵OA＝OB＝3，AB＝3，即32+32＝（3）2，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∴∠BAC＝45°+60°＝105°；
如图2，当AC与AB在点A的同旁．
同理可求得∠OAC＝60°，∠OAB＝45°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°．
综上所述：∠BAC的度数为：105°或15°．
故答案为：105°或15°．
【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了特殊三角形的边角关系和分类讨论的思想的运用．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可得2，进而可得∠BAD＝∠COD，∠BAD＝2∠CBD，再由条件∠CBD＝30°可得∠BAD的度数；
（2）根据圆周角定理可得∠COD＝60°，再根据扇形的面积公式可得答案．
【解答】解：（1）∵C是为的中点，
∴2，
∴∠BAD＝∠COD，
∵，
∴∠COD＝2∠CBD，
∴∠BAD＝2∠CBD，
∵∠CBD＝30°，
∴∠BAD＝60°；
（2）∵，
∴∠COD＝2∠CBD，
∵∠CBD＝30°，
∴∠COD＝60°，
则S扇形OCD24π．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，以及扇形的面积计算，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
18．【答案】证明见解答过程．
【分析】由平行线的性质得出∠CDF＝∠ACD，由圆周角定理得出∠ACD＝∠AFD，证出∠AFD＝∠CDF，则DG＝FG，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠CDF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠CDF，
∴DG＝FG，
∵OD＝OF，
∴GO⊥DF．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】由⊙O中，OA⊥BC，利用垂径定理，即可证得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角∠ADC的度数．
【解答】解：∵⊙O中，OA⊥BC，
∴，
∴∠ADC∠AOB50°＝25°．
【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后利用互余可计算出∠BAD的度数；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
（2）在Rt△ADB中，BDAD3．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠DAB＝∠DCE，再根据DA＝DB得出∠DAB＝∠DBA，故可得出∠DBA＝∠DCE，再由圆周角定理得出∠DBA＝∠DCA，故可得出∠DCA＝∠DCE，故可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DAB＝∠DCE．
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DCE．
∵∠DBA与∠DCA是同弧所对的圆周角，
∴∠DBA＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠DCE，即CD平分∠ACE．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
22．【答案】（1）见解答；
（2）AD的长为10．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠A，，圆内接四边形的性质及邻补角的定义得到∠A＝∠BCE，从而得到E＝∠BCE，，即可得到BE＝CB；
（2）通过证得△BCE∽△DAE，得到，即，解得m＝10，即可求得AD＝10．
【解答】（1）证明：∵DE＝DA，
∴∠E＝∠A，
∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠BCE，
∴∠E＝∠BCE，
∴BE＝CB，
∴△BCE是等腰三角形；
（2）解：∵点C是中点，
∴DC＝BC＝4，
∵BE＝CB，AB＝11，
∴AE＝15，
设AD＝ED＝m，则CE＝m﹣4，
∵∠A＝∠BCE，∠AED＝∠CEB，
∴△BCE∽△DAE，
∴，即，
解得m＝10或m＝﹣4（舍去），
∴AD的长为10．
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的有关性质、等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
23．【答案】（1）BD平分∠ABC，∠BAD＝90°；
（2）BF＝4．
【分析】（1）根据角平分线，线段垂直平分线的判定和性质以及等腰三角形的性质即可得出结论，根据圆周角定理，等边三角形的性质即可求出∠BAD；
（2）根据平行线的性质，正三角形的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴AB＝CB，
∵∠CAD＝∠ABD，∠ACD＝∠ABD，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴BD是AC的垂直平分线，
∵BE⊥AC，AB＝CB，
∴BD平分∠ABC；
∵BD是弦AC的垂直平分线，
∴BD是圆的直径，
∴∠BAD＝90°；
（2）解：∵CF∥AD，
∴∠F＝180°﹣∠BAD＝90°，
∵AC＝AD，而AD＝CD，
∴△ACD是正三角形，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB∠ADC＝30°，
∵圆的半径长为8，即直径BD＝16，
∴AB＝CBBD＝8，
在Rt△BCF中，∠CBF＝180°﹣60°×2＝60°，CB＝8，
∴BFCB＝4．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的边角关系以及正三角形的判定和性质，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的边角关系以及正三角形的判定和性质是正确解答的关键．
24．【答案】（1）2；
（2）2．
【分析】（1）由题意可得OF∥BC且OFBC，即可求解；
（2）由圆周角定理可得∠BAC＝∠BCD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得ACBC＝2，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵F为AC中点，O为AB中点，
∴OF∥BC且OFBC，
∵OF＝1，
∴BC＝2OF＝2；
（2）∵∠BAC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝90°，
∴ACBC＝2，
∴△ABC的面积为AC BC22＝2．
【点评】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质等知识点．熟记定理内容是解题关键．
25．【答案】答案见证明．
【分析】若要证明BE＝CF，则可转化为证∠BAE＝∠FAC即可，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可．
【解答】证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
∵AF⊥BC 于D，
∴∠FAC+∠ACB＝90°，
∵∠E＝∠ACB，
∴∠BAE＝∠FAC，
∴，
∴，
∴，
∴BF＝CE．
【点评】本题考查了圆周角定理和其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
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