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3.5 确定圆的条件
一．选择题（共10小题）
1．如图，圆内接正三角形ABC的半径是5，则它的边长是（　　）
A．5 B． C．7.5 D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，平面上有一点P，AP＝1，连接AP，BP，取BP的中点G．连接CG，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是（　　）
A．3 B．4 C． D．2
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝70°．过点O作BC的垂线交BC于点D，连接BD，则∠D的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．60°
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若⊙O的半径为6，∠BPC＝30°，则AB的长度为（　　）
A．3 B． C． D．6
5．同一平面内，已知⊙O的直径是4cm，线段OP＝3cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定
6．已知⊙O的半径为3，OA＝4，则点A在（　　）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，M是AB的中点，以点C为圆心，1为半径作⊙C，则（　　）
A．点M在⊙C外 B．点M在⊙C上 C．点M在⊙C内 D．不能确定
8．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝8，CD为AB边上的中线，将沿BC翻折后刚好经过点D，若已知⊙O的半径为，则BC的长是（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
10．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4．则△ABC外接圆半径R＝　 　．
12．半径为6的圆内接正三角形的边长为 　 　．
13．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为D，AE，CB的延长线交于点F．若DE＝2，AB＝8，则AF的长是 　 　．
14．若⊙P的半径为4，圆心P的坐标为（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是 　 　．
15．已知⊙O的半径为6，若点P在⊙O外，则OP 　 　6（填“＞”“＝”或“＜”）．
16．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长．
18．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．
（1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为（ 　 　，　 　）；
（2）请通过计算判断点D（3，﹣5）与⊙M的位置关系．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AO的延长线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC交⊙O于点F，连接CF，CD．
（1）若CF∥AD，求证：AC＝CE；
（2）求证：点O到AB的距离等于的长．
20．已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长．
21．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，求CD的长．
22．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在图中清晰标出点P的位置；
（2）点P的坐标是 　 　，⊙P的半径是 　 　．
23．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，BE平分∠ABC交⊙O于E，过B作BD⊥EC的延长线于D．
（1）若AB＝BE，求证：∠BCA＝∠BAE；
（2）若AB＝12，BC＝5，求AE的长度．
24．如图，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上一点（不与点A，C重合），连接AD，BD，CD，且BC＝3CD＝18．
（1）如图1，若BD为⊙O直径．
①求tan∠BAC的值；
②求四边形ABCD的面积．
（2）如图2，在上取一点E，使，连接CE，交AB于点F，若∠BDC＝∠AFC，求AD的长度．
25．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，点P是弧ABC的中点，过点P作PD⊥AB，交AB延长线于点D，连接BP．
（1）求证：∠CBP＝∠PBD；
（2）过P作PG⊥BC交BC于G点，若AB＝6，BD＝4，求BC的长．
3.5 确定圆的条件
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据垂径定理得：AD＝CD，利用30°的直角三角形的性质求AD的长，即可求得答案．
【解答】解：过O作OD⊥AC于D，连接OA，OC，
∴AD＝DC，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴∠OAD（180°﹣∠AOC）＝30°，
在Rt△AOD中，AO＝5，
∴OD，
由勾股定理得AD，
∴AC＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了正三角形和外接圆，要知道圆心既是内心也是外心，．正确作出辅助线是解决问题的关键．
2．【答案】A
【分析】利用中位线的性质，求出点G的运动轨迹即可解决问题．
【解答】解：取AB的中点H，连接GH，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB．
∵点G为BP中点，点H为AB中点，
∴GH为△ABP的中位线，
∴GH，
则点G在以点H为圆心，为半径的圆上，
连接CH，
∴CH，
则CG的最大值为：．
故选：A．
【点评】本题考查点与圆的位置关系及三角形中位线定理，能求出点G的运动轨迹是解题的关键．
3．【答案】C
【分析】作圆的直径BM，连接CM，由圆周角定理得到∠BCM＝90°，由MC⊥BC，OD⊥BC，推出MC∥OD，得到∠BOD＝∠M，由圆周角定理得到∠M＝∠A＝70°，因此∠BOD＝70°，由等腰三角形的性质即可求出∠D的度数．
【解答】解：作圆的直径BM，连接CM，
∴∠BCM＝90°，
∴MC⊥BC，
∵OD⊥BC，
∴MC∥OD，
∴∠BOD＝∠M，
∵∠M＝∠A＝70°，
∴∠BOD＝70°，
∵OB＝OD，
∴∠D＝∠OBD（180°﹣70°）＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外接圆与外心，关键是由圆周角定理推出OD⊥BC，得到MC∥OD．
4．【答案】C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC＝90°，根据半径以及含30度的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠BPC＝30°，⊙O的半径为6，
∴AC＝12，
∴BCAC＝6，
∴AB6，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，含30度的直角三角形，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
5．【答案】A
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【解答】解：∵⊙O的直径是4cm，
∴⊙O的半径是2cm，
∴点P到圆心的距离d＝3＞2＝r，
∴该点P在⊙O外．
故选：A．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内．
6．【答案】C
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【解答】解：⊙O半径为3，
∴OA＝4＞3，
∴点P在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外．
7．【答案】A
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再由直角三角形的性质得出OM的长，再与⊙C的半径相比较即可．
【解答】解：如图，
∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB．
∵M是AB的中点，
∴CMAB1，
∴点M在⊙C外．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
8．【答案】B
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD＝BDAB＝4，于是根据勾股定理可计算出OD＝2，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC＝DC，利用等腰三角形的性质得AE＝DE＝2，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF＝EF＝2，然后计算出CF后得到CE＝BE＝6，于是得到BC＝6．
【解答】解：连接DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BDAB＝4，
在Rt△OBD中，OD2，
∵将弧沿BC折叠，
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴，
∴AC＝DC，
∴AE＝DE＝2，
∵∠ODE＝∠OFE＝∠DEF＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∵DE＝OD＝2，
∴四边形ODEF是正方形，
∴OF＝EF＝2，
在Rt△OCF中，CF4，
∴CE＝CF+EF＝4+2＝6，
而BE＝BD+DE＝4+2＝6，
∴BC6．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，垂径定理，正确地找出辅助线是解题的关键．
9．【答案】A
【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可．
【解答】解：根据题意可知，点D是△ABC外心．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，属于基础题型，比较简单．
10．【答案】C
【分析】根据不共线的三点确定一个圆可得答案．
【解答】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个，
故选：C．
【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】4．
【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先由勾股定理求出斜边长，即可求出半径．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为斜边长的一半4＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用．明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径是解决问题的关键．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意作出图形，然后由垂径定理，可得，∠BOD＝60°，再利用三角函数求得BD的长，继而求得答案．
【解答】解：如图：△ABC是等边三角形，过点O作OD⊥BC于D，连接OB，OC，
∴BD＝CDBC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴，
∵半径为6，即OB＝OC＝6，
∴BD＝OB sin∠BOD＝63，
∴，
即直径为6的圆的内接正三角形的边长为：．
故答案为：．
【点评】此题考查了正多边形和圆的性质、垂径定理以及三角函数等知识．注意掌握数形结合思想的应用．
13．【答案】4．
【分析】根据垂径定理可得D是AB的中点，结合圆周角定理得出DE∥BF，即DE是△ABF的中位线，则BF＝4，根据勾股定理即可求出AF．
【解答】解：∵OE⊥AB，O是圆心，
∴D是AB的中点，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°＝∠ABF，
∴DE∥BF，
∴DE是△ABF的中位线，
∵DE＝2，
∴BF＝4，
∴AF4．
故答案为：4．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，三角形的中位线的性质，勾股定理，证明DE是△ABF的中位线是解题关键．
14．【答案】点O在⊙P外．
【分析】先根据点P坐标求出点P到原点O的距离OP，再判断OP与圆的半径的大小关系，从而得出答案．
【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），
∴OP5，
又⊙P的半径r＝4，
∴OP＞r，
∴原点O在⊙P外．
故答案为：点O在⊙P外．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r；②点P在圆上 d＝r；③点P在圆内 d＜r．
15．【答案】＞．
【分析】根据点与圆的三种位置关系的判定方法，直接判断，即可解决问题．
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，
点P在⊙O外，
∴OP＞6．
故答案为：＞．
【点评】该题主要考查了点与圆的位置关系及其应用问题；设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，点与圆的三种位置关系是：（1）当r＞d时，点在圆内；（2）当r＝d时，点在圆上；（3）当r＜d时，点在圆外；反之，亦成立．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．
【解答】解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O′，
因此CO′交⊙O′于点M，此时CM的值最大，
由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′OA＝1＝O′M，
在Rt△O′OC中，OC＝2，OO′＝1，
∴O′C，
∴CM＝CO′+O′M1，
故答案为：1．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，理解“圆外一点到圆上任意一点的最大距离”的计算方法是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）见详解；（2）4．
【分析】（1）先根据垂径定理得出，再依据圆周角定理即可得出结论；
（2）先根据垂径定理和已知条件求出AD，再利用勾股定理求出半径，最后计算出BD即可．
【解答】（1）证明：∵半径 OD⊥AC，
∴弧AD＝弧CD，AE＝CE，
∴∠ABC＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
（2）解：如图，连接AD，
∵OD⊥AC，AC＝8，
∴AE，
设圆O的半径为R，则OE＝R﹣2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：
（R﹣2）2+42＝R2，
解得R＝5，
∴AB＝10，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AD2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
BD4．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及圆周角定理，即平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
18．【答案】（1）（1，﹣2）；
（2）点D（3，﹣5）在⊙M外．
【分析】（1）连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得M的坐标；
（2）由勾股定理即可求得圆的直径，根据点与圆的位置关系即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示：连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M，
则点M就是过A，B，C三点的圆的圆心，由图形可知M的坐标为M（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）；
（2）连接MB，
由勾股定理得MB，
∵D（3，﹣5），
∴MD．
∴点D（3，﹣5）在⊙M外．
【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出圆心位置．
19．【答案】（1）（2）证明见解答过程．
【分析】（1）由CF∥AD，得∠AEC＝∠ECF，而DF∥BC，有∠ECF+∠CFD＝180°，又四边形ADFC是⊙O的内接四边形，知∠EAC+∠CFD＝180°，故∠AEC＝∠EAC，得AC＝CE；
（2）过O作OG⊥AB于G，连接BD，由DF∥BC，可得BD＝CF，根据AD是⊙O的直径，OG⊥AB，可得OG∥BD，又AO＝OD，故OG是△ABD的中位线，有OGBD，从而点O到AB的距离等于的长．
【解答】证明：（1）∵CF∥AD，
∴∠AEC＝∠ECF，
∵DF∥BC，
∴∠ECF+∠CFD＝180°，
∴∠AEC+∠CFD＝180°，
∵四边形ADFC是⊙O的内接四边形，
∴∠EAC+∠CFD＝180°，
∴∠AEC＝∠EAC，
∴AC＝CE；
（2）过O作OG⊥AB于G，连接BD，如图：
∵DF∥BC，
∴，
∴BD＝CF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵OG⊥AB，
∴∠AGO＝90°，
∴∠ABD＝∠AGO，
∴OG∥BD，
∵AO＝OD，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OGBD，
∴OGCF，
∴点O到AB的距离等于的长．
【点评】本题考查考查三角形外接圆与外心，垂径定理，解题的关键是掌握圆的相关性质和三角形中位线定理．
20．【答案】（1）证明见解析；
（2）3．
【分析】（1）由垂径定理证出∠ACB＝∠ACD，则可得出结论；
（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，证明四边形AECD是平行四边形，则AE＝CD＝3，根据勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OA⊥BD，
∴，
∴∠ACB＝∠ACD，
即CA平分∠BCD；
（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，
∵AE⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AMB＝∠CNB＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，
∴AD∥NC，CD∥AM，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝3，
∴BC3．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
21．【答案】．
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得圆心角为90°，根据勾股定理求出AC，再根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出CD．
【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC2．
∵CD⊥AB，∠CAB＝30°，
∴CDAC．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，含30°角的直角三角形，其中构造圆心角，利用圆周角定理是解题的关键．
22．【答案】（1）见解析；（2）（6，6），5．
【分析】点P的坐标是弦AB，CD的垂直平分线的交点．
【解答】解：（1）弦AB的垂直平分线是y＝6，弦CD的垂直平分线是x＝6，因而交点P的坐标是（6，6）．
（2）点P的坐标是，⊙P的半径是P的半径是PA的长，，
故答案为：（6，6），5．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系，掌握圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键．
23．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据等边对等角，圆周角相等即可证明；
（2）先利用勾股定理得出，再根据角平分线以及圆周角定理证明△AEC是等腰直角三角形，问题随之得解．
【解答】（1）证明：∵AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵∠BCA＝∠BEA，
∴∠BCA＝∠BAE；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝12，BC＝5，∠ABC＝90°，
∴，AC是⊙O的直径，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴CE＝AE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴，
∵AC＝13，
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．【答案】（1）①tan∠BAC＝3；②；
（2）．
【分析】（1）①根据圆周角定理得出∠BAC＝∠BDC，根据BD为⊙O直径，得出∠BCD＝90°，根据BC＝3CD＝18，得出；
②过点A作AE⊥BC于点E，连接CO，根据勾股定理得出，求出，根据BO＝DO，得出，，证明AE垂直平分BC，根据BO＝CO，得出点O在AE上，证明△AMO∽△CMD，得出，求出，得出，求出，最后求出四边形的面积即可；
（2）证明△BCF≌△DBA，得出BF＝AD，∠BFC＝∠BAD，BD＝BC＝18，求出FM∥AD，得出，证明△ACF∽△BCD，得出，求出，得出，设AD＝x，则，，求出，证明△ACD∽△BCM，得出，即，求出x的值即可．
【解答】解：（1）①∵，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵BD为⊙O直径，
∴∠BCD＝90°，
∵BC＝3CD＝18，
∴；
②过点A作AE⊥BC于点E，连接CO，如图所示：
∵∠BCD＝90°，BC＝3CD＝18，
∴，
，
∵BO＝DO，
∴，，
∴，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE，
∴AE垂直平分BC，
∵BO＝CO，
∴点O在AE上，
∵∠AEB＝∠BCD＝90°，
∴AE∥CD，
∴∠MAO＝∠MCD，∠MOA＝∠MDC，
∴△AMO∽△CMD，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）∵AB＝AC，
∴，∠ABC＝∠ACB，
∵，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝∠AFC，
∴∠BAC＝∠AFC，
∴AC＝CF，
∴AB＝CF，
∵，
∴∠ADB＝∠ACB，
∴∠FBC＝∠ADB，
∵，，
∴，
∴∠BCF＝∠ABD，
∴△BCF≌△DBA，
∴BF＝AD，∠BFC＝∠BAD，BD＝BC＝18，
∴FM∥AD，
∴，
∵，
∴∠CBD＝∠ACF，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴△ACF∽△BCD，
∴，
∴，
∴，
∴，
设AD＝x，则，，
∴，
∵，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵，
∴∠CBM＝∠CAD，
∴△ACD∽△BCM，
∴，
即，
解得：，负值舍去，
即．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和相似的判定方法．
25．【答案】（1）见详解；（2）14．
【分析】（1）连接PC，根据圆内接四边形性质可得∠DBP＝∠ACP，等量代换可证明∠CBP＝∠PBD；
（2）连接AP，利用条件证明△PBD≌△PBG，△PCG≌△PAD，根据BC＝CG+BG即可计算出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接PC，
∵点P是弧ABC的中点，
∴∠ACP＝∠PBC（等弧所对的圆周角相等），
∵四边形ABPC是圆内接四边形，
∴∠DBP＝∠ACP，
∴∠CBP＝∠PBD；
（2）解：连接AP，
在△PDB和△PGB中，
，
∴△PDB≌△PGB（AAS），
∴BD＝BG＝4，PD＝PG，
∵点P是弧ABC的中点，
∴PC＝PA，
在Rt△PCG和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PCG≌Rt△PAD（HL），
∴CG＝AD＝AB+BD＝6+4＝10，
∴BC＝BG+CG＝4+10＝14．
【点评】本题考查了圆的内接四边形性质以及有关圆周角性质，熟练掌握圆周角性质是解答本题的关键．
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